教辅：高考数学二轮复习考点-直线与圆﹑椭圆﹑双曲线﹑抛物线

考点十五　直线与圆﹑椭圆﹑双曲线﹑抛物线 一、选择题 1．若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是(　　) A．1 B．－2 C．1或－2 D．－ 答案　A 解析　①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不符合题意．②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得解得m＝1，故选A. 2．(2020·广州综合测试)若直线kx－y＋1＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共点，则实数k的取值范围是(　　) A．[－3，＋∞) B．(－∞，－3] C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞) 答案　D 解析　圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心为(－1,2)，半径为2，由题意可知圆心到直线kx－y＋1＝0的距离d＝≤2，化简，得32＋≥0，故k∈(－∞，＋∞)．故选D. 3．(2020·山东菏泽高三联考)已知双曲线－＝1的一条渐近线上存在一点到x轴的距离与到原点O的距离之比为，则实数a的值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　B 解析　由题意，得该双曲线的一条渐近线的斜率为＝，则＝，解得a＝4.故选B. 4．(2020·山东泰安四模)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p＝(　　) A．1 B． C．2 D．2 答案　B 解析　由题意，得在抛物线上，代入抛物线的方程可得1＝，∵p>0，∴p＝，故选B. 5．(2020·衡中高三质量检测一)已知椭圆C1：＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　) A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m<n且e1e2>1 D．m<n且e1e2<1 答案　A 解析　由于椭圆C1与双曲线C2的焦点重合，则m2－1＝n2＋1，则m2－n2＝2>0，∵m>1，n>0，∴m>n.∵e1＝＝，e2＝＝，∴e1e2＝＝＝＝>1，故选A. 6．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线(　　) A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 答案　B 解析　如图所示，因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据抛物线的定义可知|PQ|＝|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B. 7．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，(　　) A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x D．若m＝0，n>0，则C是两条直线 答案　ACD 解析　对于A，若m>n>0，则mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，因为m>n>0，所以<，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若m＝n>0，则mx2＋ny2＝1可化为x2＋y2＝，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若mn<0，则mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，此时曲线C表示双曲线，由mx2＋ny2＝0可得y＝± x，故C正确；
对于D，若m＝0，n>0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝，y＝±，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．故选ACD. 8．(多选)(2020·山东潍坊6月模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆的内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是(　　) A．|QF1|＋|QP|的最小值为2－1 B．椭圆C的短轴长可能为2 C．椭圆C的离心率的取值范围为 D．若＝，则椭圆C的长轴长为＋ 答案　ACD 解析　因为|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2－|QF2|＋|QP|≥2－|PF2|＝2－1，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故A正确；
若椭圆C的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1，又＋>1，则点P在椭圆外，故B错误；
因为点P(1，1)在椭圆内部，所以＋<1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以＋<1，即a2－3a＋1>0，解得a>＝＝，所以>，所以e＝<，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故C正确；
若＝，则F1为线段PQ的中点，所以Q(－3，－1)，所以＋＝1，又a－b＝1，所以＋＝1(a>1)，即a2－11a＋9＝0(a>1)，解得a＝＝＝，所以＝，所以椭圆C的长轴长为＋，故D正确．故选ACD. 二、填空题 9．(2020·山东省实验中学高三6月模拟)以抛物线y2＝2x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 答案　2＋y2＝1 解析　抛物线y2＝2x的焦点为，准线方程为x＝－，焦点到准线的距离为1，所以圆的圆心为，半径为1，故圆的标准方程为2＋y2＝1. 10．(2020·北京高考)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；
C的焦点到其渐近线的距离是________． 答案　(3,0)　 解析　在双曲线C中，a＝，b＝，则c＝＝3，则双曲线C的右焦点的坐标为(3,0)．双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为＝. 11．(2020·河南开封高三3月模拟)已知F1，F2是椭圆E：＋＝1的左、右焦点，点M在E上，且∠F1MF2＝，则△F1MF2的面积为________． 答案　3 解析　由题意，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，则m＋n＝2a， 由余弦定理可得， 4c2＝m2＋n2－2mncos＝(m＋n)2－mn＝4a2－mn， 又c2＝a2－3，∴mn＝12， ∴△F1MF2的面积S＝mnsin＝3. 12.(2020·株洲第二中学4月模拟)如图，点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，点A，B分别在抛物线C和圆x2＋(y－1)2＝4的实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则△AFB周长的取值范围是________． 答案　(4,6) 解析　∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，圆x2＋(y－1)2＝4的圆心F(0,1)，半径R＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝yA＋1，|AB|＝yB－yA，∴△AFB的周长为|FB|＋|AF|＋|AB|＝2＋yA＋1＋yB－yA＝3＋yB，∵1<yB<3，∴△AFB周长的取值范围是(4,6)． 三、解答题 13．过原点O作圆x2＋y2－8x＝0的弦OA. (1)求弦OA的中点M的轨迹方程；

(2)延长OA到N，使|OA|＝|AN|，求点N的轨迹方程． 解　(1)设M的坐标为(x，y)， 则A(2x,2y)，因为点A在圆x2＋y2－8x＝0上， 所以(2x)2＋(2y)2－16x＝0，即x2＋y2－4x＝0. 又点O与A不重合，所以x≠0. 因此，点M的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(x≠0)． (2)设N(x，y)，∵|OA|＝|AN|， ∴A为线段ON的中点，∴A， 又A在圆x2＋y2－8x＝0上，∴2＋2－4x＝0， 即x2＋y2－16x＝0. 又点O与A不重合，所以x≠0. 因此，点N的轨迹方程为x2＋y2－16x＝0(x≠0)． 14．(2020·全国卷Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|. (1)求C1的离心率；

(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程． 解　(1)因为椭圆C1的右焦点为F(c,0)， 所以抛物线C2的方程为y2＝4cx，其中c＝. 不妨设A，C在第一象限， 因为椭圆C1的方程为＋＝1， 所以当x＝c时，有＋＝1⇒y＝±， 因此A，B的纵坐标分别为，－. 又因为抛物线C2的方程为y2＝4cx， 所以当x＝c时，有y2＝4c·c⇒y＝±2c， 所以C，D的纵坐标分别为2c，－2c， 故|AB|＝，|CD|＝4c. 由|CD|＝|AB|，得4c＝， 即3·＝2－22， 解得＝－2(舍去)，＝. 所以C1的离心率为. (2)由(1)知a＝2c，b＝c，故椭圆C1：＋＝1， 所以C1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，(－2c,0)，(0，c)，(0，－c)，C2的准线方程为x＝－c. 由已知，得3c＋c＋c＋c＝12，解得c＝2.所以a＝4，b＝2， 所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝8x. 一、选择题 1．(2020·山东济南二模)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，点P在抛物线上且横坐标为4，则|PF|＝(　　) A．2 B．3 C．5 D．6 答案　C 解析　将x＝4代入抛物线方程得P(4,4)，根据抛物线定义得|PF|＝4＋＝4＋1＝5.故选C. 2．(2020·湖北荆州高三阶段训练)某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为(　　) A.r＋R B．r＋R C.r＋R D．r＋R 答案　A 解析　椭圆的离心率e＝∈(0,1)(c为半焦距，a为长半轴长)， 设该卫星远地点离地面的距离为n，如图：
则n＝a＋c－R，r＝a－c－R，所以a＝，c＝，所以n＝a＋c－R＝＋－R＝r＋R.故选A. 3．(2020·北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　A 解析　设圆心为C(x，y)，则＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A. 4．(2020·山东潍坊高密二模)已知双曲线－＝1的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为(　　) A. B． C． D．2 答案　A 解析　双曲线－＝1的一条渐近线的倾斜角为，tan＝，所以该条渐近线方程为y＝x，所以＝，解得a＝，所以c＝＝＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝.故选A. 5．(2020·山西太原五中3月模拟)若过椭圆＋＝1内一点P(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为(　　) A．8x＋9y－25＝0 B．3x－4y－5＝0 C．4x＋3y－15＝0 D．4x－3y－9＝0 答案　A 解析　设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，P为AB的中点，因为A，B在椭圆上，所以＋＝1，＋＝1，两式相减，得＋＝0，因为x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，可得＝－，则所求直线的斜率k＝－，因为该直线过点P(2,1)，所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，整理，得8x＋9y－25＝0.故选A. 6．(2020·山东淄博二模)当α∈时，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的轨迹不可能是(　　) A．两条直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 答案　B 解析　当α∈时，0<cosα<sinα<1，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲线为椭圆；
当α＝时，方程为y2＝1，即y＝±1，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示两条直线；
当α∈时，cosα<0<sinα，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲线为双曲线．综上所述，当α∈时，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的轨迹不可能是圆．故选B. 7．(多选)(2020·山东淄博二模)已知动点P在双曲线C：x2－＝1上，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，下列结论正确的是(　　) A．C的离心率为2 B．C的渐近线方程为y＝±x C．动点P到两条渐近线的距离之积为定值 D．当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为 答案　AC 解析　对于双曲线C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2，所以双曲线C的离心率为e＝＝2，渐近线方程为y＝±x，A正确，B错误；
设点P的坐标为(x0，y0)，则x－＝1，双曲线C的两条渐近线方程分别为x－y＝0和x＋y＝0，则点P到两条渐近线的距离之积为·＝＝，C正确；
当动点P在双曲线C的左支上时，|PF1|≥c－a＝1，|PF2|＝2a＋|PF1|＝|PF1|＋2，＝＝＝≤＝，当且仅当|PF1|＝2时，等号成立，所以的最大值为，D错误．故选AC. 8．(多选)(2020·山东威海三模)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则(　　) A．抛物线的准线方程为x＝－1 B.＋＋＝0，则||，||，||成等差数列 C．若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1 D．若|AC|＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2 答案　ABD 解析　把点B(1,2)代入抛物线y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确；
因为A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(0,2)，＝(x2－1，y2)，又由＋＋＝0，得x1＋x2＝2，所以||＋||＝x1＋1＋x2＋1＝4＝2||，即||，||，||成等差数列，故B正确；
因为A，F，C三点共线，所以直线斜率kAF＝kCF，即＝，所以＝，化简得y1y2＝－4，故C不正确；
设AC的中点为M(x0，y0)，因为|AF|＋|CF|≥|AC|，|AF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确．故选ABD. 二、填空题 9．(2020·深圳调研二)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足|OF|＝|FP|，则C的方程为________． 答案　＋＝1 解析　根据对称性知P在x轴上，因为|OF|＝|FP|，故a＝2c，又a2＝3＋c2，所以a＝2，c＝1，故椭圆C的方程为＋＝1. 10．(2020·浙江高考)设直线l：y＝kx＋b(k＞0)，圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝________，b＝________. 答案　　－ 解析　由题意，两圆圆心C1(0,0)，C2(4,0)到直线l的距离等于半径，即＝1，＝1，所以|b|＝|4k＋b|，所以k＝0(舍去)或b＝－2k，解得k＝，b＝－. 11.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2ax(a>0)经过C，F两点，则＝________. 答案　1＋ 解析　由题意可知D是抛物线y2＝2ax(a>0)的焦点，且D，又正方形DEFG的边长为b，所以F，因为F在抛物线上，所以b2＝2a，即b2－2ab－a2＝0，所以2－－1＝0，解得＝1＋或1－，因为0<a<b，所以＝1＋. 12．(2020·湖南长沙长郡中学高三下学期第一次模拟)已知一簇双曲线En：x2－y2＝2(n∈N*，且n≤2020)，设双曲线En的左、右焦点分别为Fn1，Fn2，Pn是双曲线En右支上一动点，三角形PnFn1Fn2的内切圆Gn与x轴切于点An(an,0)，则a1＋a2＋…＋a2020＝________. 答案　 解析　如图所示， 设PnFn1，PnFn2与圆Gn分别切于点Bn，Cn.根据内切圆的性质可得，|PnBn|＝|PnCn|，|BnFn1|＝|AnFn1|，|AnFn2|＝|CnFn2|，又点Pn是双曲线En右支上一动点，∴|PnFn1|－|Fn2Pn|＝＝， ∴|AnFn1|－|AnFn2|＝. ∴an＋cn－(cn－an)＝.∴an＝. ∴a1＋a2＋…＋a2020＝＝. 三、解答题 13．(2020·山东济南二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点和下顶点分别为A，B，|AB|＝2，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2. (1)求椭圆C的方程；

(2)已知M为椭圆C上一动点(M不与A，B重合)，直线AM与y轴交于点P，直线BM与x轴交于点Q，证明：|AQ|·|BP|为定值． 解　(1)由题意可知解得所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：A(－4,0)，B(0，－2)，设M(x0，y0)，P(0，yP)，Q(xQ,0)， 因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以x＋4y＝16， 由A，P，M三点共线，得＝，即yP＝， 同理可得xQ＝. 所以|AQ|·|BP|＝|xQ＋4|·|yP＋2| ＝|·| ＝||＝16. 所以|AQ|·|BP|为定值16. 14．(2020·福建高三毕业班质量检测)已知定点F(0,1)，P为x轴上方的动点，线段PF的中点为M，点P，M在x轴上的射影分别为A，B，PB是∠APF的平分线，动点P的轨迹为E. (1)求E的方程；

(2)设E上点Q满足PQ⊥PB，Q在x轴上的射影为C，求|AC|的最小值． 解　解法一：(1)设坐标原点为O， 因为PA∥BM，所以∠APB＝∠PBM， 因为PB是∠APF的平分线， 所以∠APB＝∠MPB， 所以∠MPB＝∠PBM， 所以|BM|＝|PM|， 因为M为线段PF的中点，|BM|＝， 所以2|BM|＝|PA|＋1， 因为|PF|＝2|PM|＝2|BM|，所以|PF|＝|PA|＋1， 因为P为x轴上方的动点， 所以点P到点F的距离等于点P到直线y＝－1的距离， 所以动点P的轨迹E是顶点在原点， 焦点为F(0,1)的抛物线(原点除外)， 设E的方程为x2＝2py(p>0，x≠0)，则＝1， 所以p＝2， 所以E的方程为x2＝4y(x≠0)． (2)设点P，Q， 所以点B，＝，＝， 所以·＝－(x2－x1)－＝－·(x2－x1)[8＋x1(x2＋x1)]＝0， 因为x2≠x1，且x1≠0，所以8＋x1(x2＋x1)＝0， 所以x2＝－－x1， 所以|AC|＝|x1－x2|＝|2x1＋|＝|2x1|＋|| ≥2＝8， 当且仅当x1＝±2时，等号成立， 所以|AC|的最小值为8. 解法二：(1)设点P(x0，y0)，y0>0，x0≠0，所以点B， 所以|AB|＝， 因为PB是∠APF的平分线，所以点B到直线PF的距离d＝|AB|， 因为直线PF的方程为y－1＝x， 整理，得(y0－1)x－x0y＋x0＝0， 所以d＝，所以＝， 整理，得x＝4y0(x0≠0)， 所以动点P的轨迹E的方程为x2＝4y(x≠0)． (2)设点P，Q， 所以点B，所以kPB＝＝， 因为PQ⊥PB，所以直线PQ的方程为y－＝－(x－x1)， 即y＝－x＋2＋，代入E的方程得x2＋x－8－x＝0， 所以x1x2＝－8－x，即x2＝－－x1， 所以|AC|＝|x1－x2|＝|2x1＋|＝|2x1|＋|| ≥2 ＝8， 当且仅当x1＝±2时，等号成立，所以|AC|的最小值为8.