高中数学专题2.15,超越方程反解难，巧妙构造变简单（解析版）
时间：2020-09-09 11:01:34 来源：达达文档网 本文已影响 人 
【题型综述】 导数研究超越方程 超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解． 在探求诸如，方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决． 此类题的一般解题步骤是：
1、构造函数，并求其定义域． 2、求导数，得单调区间和极值点． 3、画出函数草图． 4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况求解． 【典例指引】 例1．已知函数在处取得极小值． （1）求实数的值；
（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由． 【思路引导】 （1）先求导数，再根据，解得，最后列表验证（2）即研究是否成立，因为，利用，得，所以=0，转化为．其中，最后利用导数研究函数单调性，确定方程解的情况 （2）由（1）知函数． ∵函数图象与轴交于两个不同的点，（ ）， ∴，． 两式相减得 ．学*科网 ． 下解．即． 令，∵，∴，即． 令，． 又，∴， ∴在上是増函数，则， 从而知，故，即不成立． 故不是的根．学*科网 例2．设函数 （1）当时，求函数的单调区间；
[来源:Zxxk.Com] （2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围． （3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围． 【思路引导】 （1）先求导数然后在函数的定义域内解不等式和的区间为单调增区间， 的区间为单调减区间；
（2）先构造函数再由以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，知导函数恒成立，再转化为求解；
（3）先把握有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解． [来源:Z.xx.k.Com] 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性的步骤：①确定函数的定义域；
②对求导；
③令，解不等式得的范围就是递增区间；
令，解不等式得的范围就是递减区间． 例3．已知函数（）
（1）讨论的单调性；
（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围． 【思路引导】 （1）求出，分两种情况讨论，分别令 得增区间，令得减区间；
（2）
，令，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果． 试题解析：
（1），当时，在上单调递减，在单调递增；
当时，在上单调递增，在单调递减；
（2）依题意， ， 令，则，学*科网 令，则，即在上单调递增． 又，， 存在唯一的，使得． 当， 在单调递增；
当， 在单调递减． ，，， 且当时，， 又， ，．学*科网 故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为． 【同步训练】 1．已知函数（），且的导数为． （Ⅰ）若是定义域内的增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围． 【思路引导】 （Ⅰ）只需，即恒成立，求出即可得结果；
（Ⅱ）原方程等价于，研究函数的单调性，结合图象可得结果． 令，解得或． 列表得：
1 0 0 增 极大值 减 极小值 增 由表可知当时， 取得极大值；
当时， 取得极小值． 又当时，，，此时．学*科网 因此当时，；
当时，；
当时， ，因此实数的取值范围是． 2．已知函数的图象的一条切线为轴．（1）求实数的值；
（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证：
． 【思路引导】 （1）对函数求导，由题可设切点坐标为，由原函数和切线的斜率为可得方程组，解方程组得值；
（2）由题知，可构造去绝对值后的函数，利用导数与函数单调性的关系，判断的单调性，再构造函数，利用导数判断出的单调性，最后可令，利用单调性可得结论． 且在上单调递减，在上单调递增， ， 当时， ，学*科网 记， 记函数的导函数为，则 3．已知函数（），． （1）若的图象在处的切线恰好也是图象的切线． ①求实数的值；
[来源:学*科*网Z*X*X*K] ②若方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围． （2）当时，求证：对于区间上的任意两个不相等的实数， ，都有成立． 【思路引导】 （1）①首先求函数的图象在处的切线， ， ，又因为切点为，所以切线方程为，于是问题转化为直线与函数图象相切，于是可以根据直线与抛物线相切进行解题；
②问题转化为方程在区间内有唯一实数解，参变量分离得，设， ，研究的单调性、极值，转化为直线与有且只有一个交点，（2）当时， 在上单调递增， 在上单调递增，设，则， ，于是问题转化为，构造函数，通过函数在上单调递减，可以求出的取值范围． ∵，∴， ，函数单调递增， ， ，函数单调递减， ∵， ，且时， ， ∴；
证明：（2）不妨设，则， ， ∴可化为 ∴ 设，即，∴在上单调递减， ∴恒成立，即在上恒成立， ∵，∴， 从而，当时，命题成立． 4．已知函数． （1）设， ①记的导函数为，求；
②若方程有两个不同实根，求实数的取值范围；
（2）若在上存在一点使成立，求实数的取值范围． 【思路引导】 （1）①对进行求导，将代入可得的值；
②对进行二次求导，判断的单调性得其符号，从而可得的单调性，结合图象的大致形状可得的取值范围；
（2）将题意转化为，令，题意等价于在上的最小值小于0，对进行求导，对导函数进行分类讨论，判断单调性得其最值． （2）由题可得，∴，∴， 令，则在上的最小值小于0， 又， 1，当时，即， 在上递减，所以，解得；
2，当即， 在递增，∴解得；
3，当，即，此时要求又， 所以， 所以此时不成立， 综上或．学*科网 点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题，正确求导是解题的关键．在正确求导的基础上，利用导数与的关系得到函数的单调区间，也是在高考中的必考内容也是基础内容；
注意存在性问题与恒成立问题的区别． 5．已知函数．[来源:Z&xx&k.Com] （1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；
（2）若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围． 【思路引导】 （1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据为某个单调区间的子集得的取值范围，（2）结合三次函数图像确定的取值范围：当,且时，方程在上有可能有三个不等实根，再根据端点值大小确定实数的满足的条件：
，最后解不等式可得实数的取值范围． 只需满足即可． 因为，且， 因而， 所以，即，学*科网 综上所述，当,且时，满足题意，此时实数的取值范围是． 6．已知函数，且直线是函数的一条切线． （1）求的值；
（2）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；
（3）已知方程有两个根，若，求证: ． 【思路引导】 （1）对函数求导， ，设直线与函数相切与点，根据导数的几何意义可得， ，解得，求出；
（2）对任意的 ，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用导数的方法分别求、的值域，即可求出的取值范围；
（3）根据题意得,两式相减得， ，所以，令，则，则，令，对求导，判断的单调，证明． (2) 由（1）得，所以，当， 时， ，所以在上单调递减，所以当， 时， ， ，当时， ，所以在上单调递增，所以当时， ，依题意得 ，所以，解得． (3) 依题意得,两式相减得，所以，方程可转化为 7．已知函数（为自然对数的底数，），，． （1）若，，求在上的最大值的表达式；
（2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；
（3）若，，求使的图象恒在图象上方的最大正整数． 【思路引导】 (1)先求函数导数，根据定义域以及 取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得原函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大于零，解不等式可得的取值范围；
(3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化为对应函数最值问题（利用导数求差函数最小值），再研究最小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在定理限制或估计极点范围，最后范围确定最大正整数． 试题解析：
(1) 时，,；
①当时，，在上为增函数，此时， ②当时，，在上为增函数， 故在上为增函数，此时 ③当时，，在上为增函数，在上为减函数， 若，即时，故在上为增函数，在上为减函数， 此时 若，即时，在上为增函数，则此时， 综上所述：
（2），， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在上恰有两个相异实根， ， 实数的取值范围是， 8．设函数． （1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；
（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小． 【思路引导】 (1)先求函数导数,再求导函数零点 ,根据定义域舍去,对进行讨论, 时，，单调增区间为．时,有增有减;(2) 函数有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比较大小, 设,构造函数,利用导数可得最值,即可判定大小． (3)证明：因为是方程的两个不等实根，由(1)知． 不妨设，则，． 两式相减得， 即．[来源:Zxxk.Com] 所以．因为， 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．
