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    一次函数典型例题精讲分析归纳

    时间:2021-03-04 10:01:52 来源:达达文档网 本文已影响 达达文档网手机站

    一次函数典型例题精讲分析归纳 类型一:正比例函数与一次函数定义
    1、当m为何值时,函数y=-(m-2)x+(m-4)是一次函数?
    思路点拨:某函数是一次函数,除应符合y=kx+b外,还要注意条件k≠0.
    解:∵函数y=-(m-2)x+(m-4)是一次函数,
      ∴m=-2.
      ∴当m=-2时,函数y=-(m-2)x+(m-4)是一次函数.
    举一反三:
      【变式1】如果函数是正比例函数,那么().
    A.m=2或m=0   B.m=2   C.m=0   D.m=1
    【答案】:考虑到x的指数为1,正比例系数k≠0,即|m-1|=1;
    m-2≠0,求得m=0,选C
    【变式2】已知y-3与x成正比例,且x=2时,y=7.
    (1)写出y与x之间的函数关系式;

      (2)当x=4时,求y的值;

      (3)当y=4时,求x的值.
    解析:(1)由于y-3与x成正比例,所以设y-3=kx.
          把x=2,y=7代入y-3=kx中,得
          7-3=2k,
          ∴k=2.
          ∴y与x之间的函数关系式为y-3=2x,即y=2x+3.
       (2)当x=4时,y=2×4+3=11.
       (3)当y=4时,4=2x+3,∴x=. 类型二:待定系数法求函数解析式
    2、求图象经过点(2,-1),且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式.
    思路点拨:图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2,则可设此表达式为y=2x+b,再将点(2,-1)代入,求出b即可.
    解析:由题意可设所求函数表达式为y=2x+b,
       ∵图象经过点(2,-1),
       ∴-l=2×2+b.
       ∴b=-5,
       ∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.
    总结升华:求函数的解析式常用的方法是待定系数法,具体怎样求出其中的待定系数的值,要根据具体的题设条件求出。


    举一反三:
      【变式1】已知弹簧的长度y(cm)在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x(kg)的一次函数,现已测得不挂重物时,弹簧的长度为6cm,挂4kg的重物时,弹簧的长度是7.2cm,求这个一次函数的表达式.
    分析:题中并没给出一次函数的表达式,因此应先设一次函数的表达式y=kx+b,再由已知条件可知,当x=0时,y=6;
    当x=4时,y=7.2.求出k,b即可.
    解:设这个一次函数的表达式为y=kx+b.
      由题意可知,当x=0时,y=6;
    当x=4时,y=7.2.
      把它们代入y=kx+b中得
      ∴
      ∴这个一次函数的表达式为y=0.3x+6.
    【变式2】已知直线y=2x+1.
    (1)求已知直线与y轴交点M的坐标;

      (2)若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称,求k,b的值.
    解析:
      ∵直线y=kx+b与y=2x+l关于y轴对称,
    ∴两直线上的点关于y轴对称.
    又∵直线y=2x+1与x轴、y轴的交点分别为A(-,0),B(0,1),
    ∴A(-,0),B(0,1)关于y轴的对称点为A′(,0),B′(0,1).
    ∴直线y=kx+b必经过点A′(,0),B′(0,1).
    把A′(,0),B′(0,1)代入y=kx+b中得

    ∴k=-2,b=1.
    所以(1)点M(0,1)(2)k=-2,b=1
    【变式3】判断三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)是否在同一条直线上.
    分析:由于两点确定一条直线,故选取其中两点,求经过这两点的函数表达式,再把第三个点的坐标代入表达式中,若成立,说明第三点在此直线上;
    若不成立,说明不在此直线上.
    解:设过A,B两点的直线的表达式为y=kx+b.
      由题意可知,
      ∴
      ∴过A,B两点的直线的表达式为y=x-2.
      ∴当x=4时,y=4-2=2.
      ∴点C(4,2)在直线y=x-2上.
      ∴三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)在同一条直线上. 类型三:函数图象的应用
    3、图中的图象(折线ABCDE)描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中,汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系,根据图中提供的信息,回答下列问题:
      (1)汽车共行驶了___________km;

      (2)汽车在行驶途中停留了___________h;

      (3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________km/h;

      (4)汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是___________.
                 
    思路点拨:读懂图象所表达的信息,弄懂并熟悉图象语言.图中给出的信息反映了行驶过程中时间和汽车位置的变化过程,横轴代表行驶时间,纵轴代表汽车的位置.图象上的最高点就是汽车离出发点最远的距离.汽车来回一次,共行驶了120×2=240(千米),整个过程用时4.5小时,平均速度为240÷4.5=(千米/时),行驶途中1.5时—2时之间汽车没有行驶.
    解析:(1)240;
    (2)0.5;
    (3);
    (4)从目的地返回出发点.
    总结升华:这类题是课本例题的变式,来源于生活,贴近实际,是中考中常见题型,应注意行驶路程与两地之间的距离之间的区别.本题图象上点的纵坐标表示的是汽车离出发地的距离,横坐标表示汽车的行驶时间.
    举一反三:
      【变式1】图中,射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间t的函数关系,求它们行进的速度关系。

                       
    解析:比较相同时间内,路程s的大小.在横轴的正方向上任取一点,过该点作纵轴的平行线,比较该平行线与两直线的交点的纵坐标的大小.所以.甲比乙快
    【变式2】小高从家骑自行车去学校上学,先走上坡路到达点A,再走下坡路到达点B,最后走平路到达学校,所用的时间与路程的关系如图所示。放学后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致,那么他从学校到家需要的时间是()
    A.14分钟   B.17分钟   C.18分钟   D.20分钟
                
    【答案】:D分析:由图象可知,上坡速度为80米/分;
    下坡速度为200米/分;
    走平路速度为100米/分。原路返回,走平路需要8分钟,上坡路需要10分钟,下坡路需要2分钟,一共20分钟。


    【变式3】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如图所示:
                     
    根据图象解答下列问题:
      (1)洗衣机的进水时间是多少分钟?清洗时洗衣机中的水量是多少升?
    (2)已知洗衣机的排水速度为每分钟19升.
      ①求排水时y与x之间的关系式;

        ②如果排水时间为2分钟,求排水结束时洗衣机中剩下的水量.
    分析:依题意解读图象可知:从0—4分钟在进水,4—15分钟在清洗,此时,洗衣机内有水40升,15分钟后开始放水.
    解:(1)洗衣机的进水时间是4分钟;
    清洗时洗衣机中的水量是40升;

        (2)①排水时y与x之间的关系式为:y=40-19(x-15)
         即y=-19x+325
        ②如果排水时间为2分钟,则x-15=2即x=17,此时,y=40-19×2=2.
         所以,排水结束时洗衣机中剩下的水量为2升. 类型四:一次函数的性质
    4、己知一次函数y=kx十b的图象交x轴于点A(一6,0),交y轴于点B,且△AOB的面积为12,y随x的增大而增大,求k,b的值. 思路点拨:设函数的图象与y轴交于点B(0,b),则OB=,由△AOB的面积,可求出b,又由点A在直线上,可求出k并由函数的性质确定k的取值.
    解析:直线y=kx十b与y轴交于点B(0,b),点A在直线上,则①,
       由,即,解得代入①,可得,
       由于y随x的增大而增大,则k>0,取则.
    总结升华:该题考查的是待定系数法和函数值,仔细观察所画图象,找出隐含条件。


    举一反三:
      【变式1】已知关于x的一次函数.
    (1)m为何值时,函数的图象经过原点
    (2)m为何值时,函数的图象经过点(0,-2)
      (3)m为何值时,函数的图象和直线y=-x平行
    (4)m为何值时,y随x的增大而减小?
    解析:
      (1)由题意,m需满足,
      故m=-3时,函数的图象经过原点;

      (2)由题意得:m需满足,
      故时,函数的图象经过点(0,-2);

      (3)由题意,m需满足,
      故m=4时,函数的图象平行于直线y=-x;

      (4)当3-m<0时,即m>3时,y随x的增大而减小.
    【变式2】若直线()不经过第一象限,则k、b的取值范围是______,______.
    【答案】:(k<0;
    b≤0);
    分析:直线不经过第一象限,有可能是经过二、四象限或经过二、三、四象限,注意不要漏掉经过原点的情况。


    【变式3】直线l1:与直线l2:在同一坐标系中的大致位置是().
             
       A.        B.         C.        D.
    【答案】:C;
    分析:对于A,从l1看k<0,b<0,从l2看b<0,k>0,所以k,b的取值自相矛盾,排除掉A。对于B,从l1看k>0,b<0,从l2看b>0,k>0,所以k,b的取值自相矛盾,排除掉B。D答案同样是矛盾的,只有C答案才符合要求。


    【变式4】函数在直角坐标系中的图象可能是().
      
    【答案】:B;
    分析:不论k为正还是为负,都大于0,图象应该交于x轴上方。故选B 类型五:一次函数综合
    5、已知:如图,平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,1),C(-1,0),过点C的直线绕C旋转,交y轴于点D,交线段AB于点E。

      (1)求∠OAB的度数及直线AB的解析式;

      (2)若△OCD与△BDE的面积相等,①求直线CE的解析式;
    ②若y轴上的一点P满足∠APE=45°,请直接
      写出点P的坐标。

                      思路点拨:(1)由A,B两点的坐标知,△AOB为等腰直角三角形,所以∠OAB=45°(2)△OCD与△BDE的面积相等,等价于△ACE与△AOB面积相等,故可求E点坐标,从而得到CE的解析式;
    因为E为AB中点,故P为(0,0)时,∠APE=45°.
    解析:(1)∵A(1,0),B(0,1),
         ∴OA=OB=1,△AOB为等腰直角三角形
         ∴∠OAB=45°
         设直线AB的解析式为:y=kx+b,将A(1,0),B(0,1)代入,
         解得k=-1,b=1
         ∴直线AB的解析式为:y=-x+1
      (2)①∵
          ∴
          即
          ∴
          ,将其代入y=-x+1,得E点坐标()
            设直线CE为y=kx+b,将点C(-1,0),点E()代入
          ,解得k=b=
          ∴直线CE的解析式:
           ②∵点E为等腰直角三角形斜边的中点
          ∴当点P(0,0)时,∠APE=45°.
    总结升华:考虑面积相等这个条件时,直接算比较困难,往往采取补全成一个容易计算的面积来解决问题。


    举一反三:
      【变式1】在长方形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,点P沿边按A→B→C→D的方向向点D运动(但不与A,D两点重合)。求△APD的面积y()与点P所行的路程x(cm)之间的函数关系式及自变量的取值范围。

                     
    【答案】:当P点在AB上运动时,
         当P点在BC上运动时,
         当P点在CD上运动是,
         ∴
    【变式2】如图,直线与x轴y轴分别交于点E、F,点E的坐标为(-8,0),点A的坐标为(-6,0)。

      (1)求的值;

      (2)若点P(,)是第二象限内的直线上的一个动点,在点P的运动过程中,试写出△OPA的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

      (3)探究:在(2)的条件下,当点P运动到什么位置时,△OPA的面积为,并说明理由。

                     
    解:(1)将E(-8,0)代入,得;
      (2)设P点坐标为()
         S=(-8<x<0)
        (3)令,解得,
       代入,算出P点纵坐标为
       当P点的坐标为时,△OPA的面积为.

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