高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册第四章数列章末复习课（含答案）
时间：2021-04-30 17:03:44 来源：达达文档网 本文已影响 人 
2021年高中数学人教A版（新教材）选择性必修第二册第四章章末复习课 (满分：150分 时间：120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知数列1，，，，3，，…，，…，则是这个数列的( ) A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第21项 2．已知等差数列{an}满足3a3＝4a4，则该数列中一定为零的项为( ) A．a6 B．a7 C．a8 D．a9 3．等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( ) A．8 B．－8 C．±8 D．以上选项都不对 4．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝( ) A．1 B．9 C．10 D．55 5．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( ) A．＋ B．＋ C．＋ D．n2＋n 6．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则该数列第18项为( ) A．200 B．162 C．144 D．128 7．已知数列{an}，若a1＝2，an＋1＋an＝2n＋1，则a2 020＝( ) A．2 017 B．2 018 C．2 019 D．2 020 8．已知等差数列的公差不为零，其前n项和为Sn，若S3，S9，S27成等比数列，则＝( ) A．3 B．6 C．9 D．12 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9．已知等比数列的前n项和为Sn，下列数列中一定是等比数列的有( ) A． B． C． D．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 10．设是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是( ) A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值 11．已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．14 12．在公比q为整数的等比数列中，Sn是数列的前n项和，若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是( ) A．q＝2 B．数列是等比数列 C．S8＝510 D．数列是公差为2的等差数列 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知各项均不为0的等差数列，满足2a3－a＋2a11＝0，数列为等比数列，且b7＝a7，则b1·b13＝________. 14．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝________. 15．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为________． 16．已知数列满足a1＝21，an＋1＝an＋2n，则a4＝________，数列的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a7＝13. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足an＝log4bn，求数列{bn}的前n项和Tn. 18．(本小题满分12分)已知正项数列的前n项和为Sn，且Sn＝2. (1)求a1，a2；
(2)求证：数列是等差数列． 19．(本小题满分12分)已知数列{an}，{bn}满足an＋1－an＝bn，为等比数列，且a1＝2，a2＝4，a3＝10. (1)试判断列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(2)求an. 20．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋kn＋k. (1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 21．(本小题满分12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7. (1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和． 22．(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元． (1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)． 参考答案 (满分：150分 时间：120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．答案：B 解析：观察可知该数列的通项公式为an＝(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n－1，解得n＝11，故选B. 2． 答案：B 解析：∵3a3＝4a4，∴3a3＝4(a3＋d)＝4a3＋4d，∴a3＝－4d， ∴an＝a3＋(n－3)·d＝－4d＋(n－3)d＝(n－7)d，∴a7＝0，故选B. 3． 答案：A 解析：∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a＝64，且a2>0，a6>0， ∴a4＝a2q2>0(q为公比)，∴a4＝8. 4． 答案：A 解析：a10＝S10－S9.由条件知S1＋S9＝S10. ∴a10＝(S1＋S9)－S9＝S1＝a1＝1，故选A. 5． 答案：A 解析：设公差为d，则a1(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，把a1＝2代入可解得d＝. ∴an＝2＋(n－1)×＝n＋.∴Sn＝＝n2＋.故选A. 6． 答案：B 解析：偶数项分别为2，8，18，32，50，即2×1，2×4，2×9，2×16，2×25， 即偶数项对应的通项公式为a2n＝2n2， 则数列的第18项为第9个偶数， 即a18＝a2×9＝2×92＝2×81＝162，故选B. 7． 答案：C 解析：∵an＋1＋an＝2n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝－(an－n)， 即数列{an－n}是以1为首项，－1为公比的等比数列， ∴an－n＝(－1)n－1，∴an＝n＋(－1)n－1，∴a2 020＝2 020－1＝2 019. 8． 答案：C 解析：由题意，知S3，S9，S27成等比数列，所以S ＝ S3 ×S27 ， 即＝×， 整理得81a＝ 3a2 ×27a14 ，所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋13d)，解得d＝2a1， 所以＝÷＝＝＝＝9，故选C. 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9．答案：AB 解析：由数列{an}为等比数列可知，＝q，(q≠0)， 对于A， ＝ q2，故A正确；
对于B，＝＝q2≠0，故B正确；
对于C，lg an－lg an－1＝lg＝lg q，为等差数列，但是不一定为常数，即不一定为等比数列，故C错误；
对于D，若an＝(－1)n为等比数列，公比为－1，则Sn有可能为0，不一定成等比数列，故D错误．故选AB. 10答案：ABD 解析：由是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5<S6，S6＝S7>S8， 则a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S6＝0，a8＝S8－S7<0，a7＋a8＝S8－S6<0， 则数列为递减数列，即选项A，B正确；
由S9－S5＝a9＋a8＋a7＋a6＝2(a8＋a7)<0，即S9<S5，即选项C错误；
由a1>a2>…>a6＞a7＝0>a8>a9>…，可得S6与S7均为Sn的最大值，即选项D正确，故选ABD. 11.答案：ACD 解析：由题意可得＝＝＝， 则＝＝＝＝3＋， 由于为整数，则n＋1为15的正约数，则n＋1的可能取值有3，5，15， 因此，正整数n的可能取值有2，4，14.故选ACD. 12． 答案：ABC 解析：因为数列为等比数列，又a1·a4＝32，所以a2·a3＝32， 又a2＋a3＝12，所以 或又公比q为整数，则 即an＝2n，Sn＝＝2n＋1－2， 对于选项A，由上可得q＝2，即选项A正确；
对于选项B，Sn＋2＝2n＋1，＝＝2，则数列是等比数列，即选项B正确；
对于选项C，S8＝29－2＝510，即选项C正确；
对于选项D，lg an＋1－lg an＝(n＋1)lg2－nlg2＝lg2，即数列是公差为lg2的等差数列，即选项D错误．故选ABC. 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．答案：16 解析：各项均不为0的等差数列，2a3－a＋2a11＝0，∴4a7－a＝0， ∴a7＝4，b1 ·b13 ＝ b ＝ a ＝ 16. 14.答案：768 解析：由an＋1＝3Sn，得Sn＋1－Sn＝3Sn，即Sn＋1＝4Sn，所以数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，所以Sn＝4n－1，所以a6＝S6－S5＝45－44＝3×44＝768. 15． 答案： 解析：设第n天织布的尺数为an，可知数列为等差数列， 设等差数列的公差为d，前n项和为Sn，则a1＝5，an＝1，Sn＝90， 则Sn＝＝3n＝90，解得n＝30，∴a30＝a1＋29d＝5＋29d＝1，解得d＝－， 因此，每天比前一天少织布的尺数为. 16． 答案：33 解析：因为an＋1＝an＋2n，所以an＋1－an＝2n，从而an－an－1＝2(n－1)(n≥2)．所以 a4－a3＝2×3＝6，a3－a2＝2×2＝4，a2－a1＝2×1＝2，a1＝21，∴a4＝6＋4＋2＋21＝33. an－a1＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2＋2×1＝2×[1＋2＋…＋(n－1)]＝2×＝n2－n. 而a1＝21，所以an＝n2－n＋21，则＝＝n＋－1， 因为f (n)＝n＋－1在(0，4]递减，在[5，＋∞)递增， 当n＝4时，＝＝8.25，当n＝5时，＝＝8.2， 所以n＝5时取得最小值，最小值为. 四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解： (1)设an＝a1＋(n－1)d， 则解得a1＝1，d＝2. 所以{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)依题意得bn＝4an＝42n－1，因为＝＝16， 所以{bn}是首项为b1＝41＝4，公比为16的等比数列， 所以{bn}的前n项和Tn＝＝(16n－1)． 18．解： (1)由已知条件得：a1＝2，∴a1＝1. 又有a1＋a2＝2，即a－2a2－3＝0，解得a2＝－1(舍)或a2＝3. (2)由Sn＝2得n≥2时，Sn－1＝2， ∴Sn－Sn－1＝＝， 即4an＝a－a＋2an－2an－1，∴a－a－2an－2an－1＝0， ∴＝0，∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2， 经过验证n＝1也成立，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列． 19．解： (1)数列{bn}不是等比数列． 理由如下：
由an＋1－an＝bn，且a1＝2，a2＝4，a3＝10得：
b1＝a2－a1＝2，b2＝a3－a2＝6， 又因为数列{bn＋2}为等比数列，所以可知其首项为4，公比为2. 所以b3＋2＝4×22＝16，∴b3＝14，显然b＝36≠b1b3＝28， 故数列{bn}不是等比数列． (2)结合(1)知，等比数列{bn＋2}的首项为4，公比为2， 故bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，所以bn＝2n＋1－2， 因为an＋1－an＝bn，∴an－an－1＝2n－2(n≥2)． 令n＝2，…，(n－1)，累加得an－2＝－2(n－1)， ∴an＝－2n＋2＝－2n＋2＝2n＋1－2n， 又a1＝2满足上式，∴an＝2n＋1－2n. 20．解：(1)当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2n2＋kn＋k－22－k－k＝4n＋k－2， 当n＝1时，a1＝S1＝2k＋2， 又数列为等差数列，故当n＝1时，a1＝2k＋2＝2＋k， 解得k＝0，故an＝4n－2. (2)由(1)可知，bn＝＝， 故Tn＝＝＝ . 故数列{bn}的前n项和Tn＝. 21．解： (1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d， 由题意知q＞0.由已知，得 消去d，整理得q4－2q2－8＝0. 因为q＞0，解得q＝2，所以d＝2. 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*；
数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*. (2)由(1)有cn＝(2n－1)·2n－1，设{cn}的前n项和为Sn，则 Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1， 2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n， 上述两式相减，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n ＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3， 所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*. 22．解：(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d， a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d， an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d. (2)由(1)得an＝an－1－d＝－d ＝·an－2－d－d ＝… ＝a1－d. 整理得an＝(3 000－d)－2d＝·(3 000－3d)＋2d. 由题意知am＝4 000，所以(3 000－3d)＋2d＝4 000， 解得d＝＝. 故该企业每年上缴资金d的值为万元时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．
