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崇明区2016-2017学年第二次高考模拟考试试卷

数 学

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）

1．函数212sin (2)y x =-的最小正周期是 ▲ ．

2．若全集U R =，集合{}{}10A x x x x =<≥∪，则U C A = ▲ ．

3．若复数z 满足2i z i i

++=（i 为虚数单位），则z = ▲ ． 4．设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线22

19

y x m -=的一个焦点，则m = ▲ ． 5．已知正四棱锥的底面边长是2

，则该正四棱锥的体积为 ▲ ．

6．若实数,x y 满足10304x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩

≤≥≤，则目标函数2z x y =-的最大值为 ▲ ．

7

．若1n x ⎫⎪⎭的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则展开式中的常数项的值为 ▲ ．

8．数列

{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，若122a a +=，231a a +=-，则lim n n S →∞= ▲ ．

9．若函数1()42x x f x +=+的图像与函数()y g x =的图像关于直线y x =对称，则 (3)g = ▲ ．

10．甲与其四位朋友各有一辆私家车，甲的车牌尾数是0，其四位朋友的车牌尾数分别是0, 2, 1,

5，为遵守当地4月1日至5日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案总数为 ▲ ．

11．已知函数[)22sin(),0(),0,23

cos(),0x x x f x x x x παπα⎧++>⎪=∈⎨⎪-++<⎩是奇函数，则α= ▲ ．

12．已知ABC ∆

是边长为PQ 为ABC ∆外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆

边上的动点，则PM MQ ⋅u u u u r u u u u r 的最大值是 ▲ ．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】

13．一组统计数据12345,,,,x x x x x 与另一组统计数据1234523,23,23,23,23x x x x x +++++

相比较

(A)标准差相同 (B)中位数相同 (C)平均数相同 (D)以上都不相同 14．2b <

是直线y b =+与圆2240x y y +-=相交的

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

15．若等比数列{}n a 的公比为q ，则关于,x y 的二元一次方程组132

421a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩的解的情况下列说法正确的是

(A)对任意(0)q R q ∈≠，方程组都有唯一解 (B)对任意(0)q R q ∈≠，方程组都无解 (C)当且仅当12q =时，方程组有无穷多解 (D)当且仅当12

q =时，方程组无解 16．设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0c a c b >>>>．若a 、b 、c 是ABC ∆的三条边长，

则下列结论中正确的个数是

①对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使,,x x x xa b c 不能构成一个三角形的三边长；③若ABC ∆为钝角三角形，则存在(1,2)x ∈，使()0f x =．

(A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】

17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）

在三棱锥C ABO -中，OA 、OB 、OC 所在直线两两垂直，

A B C O

D

（17题图）

（1）求三棱锥C ABO -的高；

18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）

设12F F 、分别为椭圆22

221(0)x y a b a b

C +=>>:的左、右焦点，点

A 为椭圆C 的左顶点， 点

B 为椭圆

C 的上顶点，且AB =12BF F ∆为直角三角形．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设直线2y k x =+与椭圆交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，求实数k 的值．

19.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）

某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按EP u u u r 方

向释放机器人甲，同时在A 处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q 处成功拦截机器人甲．若点Q 在矩形区域ABCD 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．

已知18AB =米，E 为A B 中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人

均按匀速直线运动方式行进，记EP u u u r 与EB u u u r 的夹角为θ．

（1）若60θ=︒，AD 足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1︒）

（

2）如何设计矩形区域ABCD 的宽AD 的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设

置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲？

E

20.（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)

小题满分7分）

对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”．

()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由； （2）设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“M 类函数”，求实数m 的最小值；

（3）若22,2log (2)(),23

x x mx f x x ⎧-⎪=⎨<-⎪⎩≥为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围．

21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)

小题满分8分）

已知数列{}n a 满足111,,*n n n a a a p n N +=-=∈．

（1）若1p =，写出4a 所有可能的值；

（2）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值；

（3）若12

p =

，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．

崇明区2016-2017学年第二次高考模拟高三数学

参考答案及评分标准

一、填空题 1.

2π; 2.[0,1);

4.16;

5.43

； 6.2； 7.15； 8.83； 9.0； 10.64； 11.76π； 12.3

二、选择题

13.D ； 14.A ； 15.C ； 16.A

三、解答题

17.解：（1）因为,OC OA OC OB ⊥⊥，所以OC AOB ⊥平面...............................2分 所以CAO ∠就是CA 与平面AOB 所成角，所以60CAO ∠=︒..............................3分

分

（2

分

分 分

分

18.解：（1

）||AB ==223a b +=

因为12BF F ∆为直角三角形，所以b c =..........................................................................3分

又222b c a +=

，...............................................................................................................4分 所以1a b ==，所以椭圆方程为2

212

x y +=........................................................6分 （2）由2

2122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩

，得：22(12)860k x kx +++=.............................................8分 由22(8)4(12)60k k ∆=-+⋅>，得：232

k >..........................................................9分 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则有121222

86,1212k x x x x k k +=-

⋅=++.......................10分 因为OP OQ ⊥ 所以1212OP OQ x x y y ⋅=⋅+⋅u u u r u u u r 2

212122610(1)2()44012k k x x k x x k

-=+⋅+++=+=+.....12分 所以25k =，满足232

k

>........................................................................................13分 所以k =分

19.解：（1）AEQ V 中，2,120AQ EQ AEQ =∠=︒............................................2分 由正弦定理，得：sin sin EQ AQ QAE AEQ

=∠∠ 所以sin QAE ∠=............................................................................................4分

所以arcsin 25.74QAE ∠=≈︒

所以应在矩形区域ABCD 内，按照与AB u u u r 夹角为25.7︒的向量AQ uuu r 方向释放机器人乙，才

能挑战成功.............................................................................................................6分

（2）以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴，建平面直角坐标系，

设(,)(0)Q x y y ≥...........................................................................................8分

由题意，知2AQ EQ =，= 所以22(3)36(0)x y y -+=≥..................................................................11分

即点Q 的轨迹是以(3,0)为圆心，6为半径的上半圆在矩形区域ABCD 内的部分

所以当6AD ≥米时，能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲...........................................14分

20.解（1）由()()f x f x -=-分

分

00()()f x f x -=-

M 类函数”.....................................................4分 (2)因为()2f x m =+是定义在[]1,1-上的“M 类函数”，

所以存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，

即方程22

20x x m -++=在[]1,1-上有解,.....................................................5分 令1

2,22x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.............................................................................................6分 则11()2m t t

=-

+ 因为11()()2g t t t =-+在1[,1]2上递增,在[1,2]上递减..............................8分 所以当12t =或2t =时，m 取最小值54-....................................................9分

（3）由220x mx ->对2x ≥恒成立，得1m <...........................................10分

因为若22,2log (2)(),23x x mx f x x ⎧-⎪=⎨<-⎪⎩

≥为其定义域上的“M 类函数” 所以存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-

①当02x ≥时，02x -≤-，所以22003log (2)x mx -=--，所以00

142m x x =- 因为函数14(2)2y x x x

=-≥是增函数，所以1m ≥-..............................12分 ②当022x -<<时，022x -<-<，所以-3=3，矛盾.............................13分

③当02x ≤-时，02x -≥，所以2200log (2)3x mx +=，所以00

142m x x =-+ 因为函数14(2)2y x x x

=-+≤-是减函数，所以1m ≥-.............................15分 综上所述，实数m 的取值范围是[1,1)-.....................................................16分

21.（1）4a 有可能的值为-2024，，，...............................................................4分

（2）因为数列{}n a 是递增数列，所以11.n n n n n a a a a p ++-=-=

而11a =，所以2231,1a p a p p =+=++.............................................6分 又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+.....................................8分

所以230p p -=.解得13

p =或0p = 当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，所以13

p =...........10分 （3）因为{}21n a -是递增数列，所以2+1210n n a a -->，

所以()()2+122210n n n n a a a a --+-> ① 但2211122n n -<，所以2+12221n n n n a a a a --<- ②

由①，②知，2210n n a a -->，所以()221221211122n n n n n a a ----⎛⎫-== ⎪⎝⎭

③......13分

因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-< 所以()21221221122n n n n n a a ++-⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭

④ 由③，④知，()1112n n n n a a ++--==.............................................................16分 所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L

()()()112111111114121112222332

12n n n n n n -+-----=+-++=+=+⋅+L 所以数列{}n a 的通项公式为()1

141332n n n a --=+⋅...........................................18分