探索表达式规律巧解两类数学题
时间：2020-12-25 18:04:36 来源：达达文档网 本文已影响 人 
谢莉
摘 要：我们换一个新的视角考察表达式kα+β（k为任意整数，α，β为常数），定义β为初始值，k的系数α称为周期值，可以发现xx=kα+β，k∈Z表示的是以β为起点，其余各个x的值每隔α出现一次，且与β相差α的整数倍的实数集.从初始值和周期值的角度理解此表达式，可以巧妙地解决一类集合关系、三角函数任意角等问题.
关键词：初始值;周期值;集合关系;任意角
高中数学课程中，在学习集合和三角函数时，会经常接触到表达式kα+β，其中k为任意整数，α，β为常数.如x=k4+12，k∈Z.当我们取k=-3，-2，-1，0，1，2，3，…时，可得x=-14，0，14，12，34，1，54，….经过观察可以发现每两个数之间均相差14，x的值以12为起点，每个x的值与12均相差14的整数倍.因此，对于一般的表达式x=kα+β，k∈Z，可以定义β为初始值，它是一个固定值，定义k的系数α为周期值， kα即表示与初始值β相差k个周期.从“周期”的角度理解此表达式，可以简单快捷地解决以下两类数学题.
1 “打点法”解集合关系问题
集合的关系问题是集合内容的一个重要知识点，在高考和平时练习中均有这种类型的习题.
例1 （2002年广东卷）设集合M={x|x=k2+14，k∈Z};N={x|x=k4+12，k∈Z}，则（ ）.
A.M=NB.MNC.MND.M∩N=
通常有两种方法：分类讨论和列举法. 但这两种方法各有其缺点.分类讨论比较抽象，部分学生难以理解为什么这样分类;列举法涉及到计算，容易出错并且需要花费不少时间.下面介绍一种新方法——打点法，它能有效避免以上两个问题.
1.1 确定初始值和周期值
对集合xx=kα+β，k∈Z，k为整数，k的系数α称为周期值;β为初始值，它与周期无关.
1.2 确定数轴的最小刻度
已知两个集合A=xx=α1k+β1，k∈Z;B=xx=α2k+β2，k∈Z，取α1，β1，α2，β2四者的最小值（0除外）为数轴的最小刻度.
1.3 在数轴上列举出集合的一些点
如对集合A=xx=α1k+β1，k∈Z，先在数轴上标出初始值β1，再在β1两侧每隔α1个周期打一个点.如此，在数轴上便标记有集合A的若干个点.同理，用不同的符号在同一数轴上标记集合B=xx=α2k+β2，k∈Z的若干个点.通过在数轴上打的点对比，就能分辨集合A，B的关系.
例如采用“打点法”解决上述高考题.
解 集合M的初始值为14，周期值为12;
集合N的初始值为12，周期值为14.
因此取14为数轴的最小刻度，并在数轴上用“”表示集合M的点：先在数轴上标记出初始值为14，然后每隔12打一点“”;同理，用“△”在同一数轴上标记出集合N的点，如图1.
从图中显然可见MN.
例2 （1984年全国）数集X={（2n+1）π，n∈Z}与数集Y={（4k±1）π，k∈Z}之间的关系是（ ）.
A.XYB.XYC.X=YD.X≠Y
解 集合X的初始值为π，周期值为2π;
集合Y的初始值为π和-π，周期值为4π.
因此取π为数轴的最小刻度，并在数轴上用“”表示集合X的点：先在数轴上标记出初始值π，然后每隔2π打一点“”;集合Y有两个初值，先用“”表示初始值π，并在π的两侧每隔4π打一点“”;用“△”标志初值-π，并在-π的两侧每隔4π打一点“△”，如图2.
从图中显然可见X=Y.
打点法的本质是列举法，由于其结合了数形结合思想，所以可避免繁复的运算和抽象的分类.实践证明，这是一种被大部分不同基础的学生所接受的办法.
2 任意角的象限问题
从“周期”的角度，可由给出的角的集合轻松作出角的终边，或者由给定的终边写出角的表达式.
例3 已知α是第二象限角，则α2是第象限角.
解 由于α是第二象限角，所以π2+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z.所以π4+kπ<α2<π2+kπ，k∈Z.
先把π4+kπ的終边作出.在坐标系中先画出π4的终边，该终边逆时针旋转，每转过π时画一条射线，可以发现，π4+kπ表示一、三象限的角平分线（图3）.同理可作出π2+kπ的终边.于是α2表示终边在图中阴影部分的角（图4）.因此α2是第一或第三象限角.
例4 终边在直线y=±x上的角的集合是.
解 终边在y=x上且在第一象限的角为π4，令它作为初始值β，观察发现每隔π2出现一个终边，故周期值α为π2，代入表达式kα+β，故终边在直线y=±x上的角的集合是{x|x=kπ2+π4，k∈Z}.
{x|x=kα+β，k∈Z}的本质是以β为初始值，α为周期的数集.在这个视角下，后续课程中出现的三角函数周期、诱导公式、复数的根式方程的根的个数等问题就变得简单易懂了.
参考文献：
[1]欧阳光中，陈传璋，等.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2008.
（收稿日期：2019-12-15）
