几道超难初中数学题

1．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点， 交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；
若不存在，请说明理由。

（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD。若存在，求出点T的坐标；
若不存在，请说明理由。

图1 A B x y O D C 图2 A B x y O D C P Q E F 图3 A B x y O D C 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF. （1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；
如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. 3.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8. （1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E. ①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；

②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标. F M N N1 M1 F1 O y x l  第4题图 4．如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）． ⑴求b的值． ⑵求x1•x2的值 ⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论． ⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；
如果没有，请说明理由． 5．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A1B1C． A A1 A C C C A1 A1 A D B1 B B B B1 B1 E P 图1 图2 图3 (1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；

【证】 (2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3；

【证】 (3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当＝ °时，EP的长度最大，最大值为 ． A B C D l1 l2 l3 l4 h1 h2 h3 6．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1＞0，h2＞0，h3＞0)． (1)求证：h1＝h2；

【证】 (2)设正方形ABCD的面积为S，求证：S＝(h1＋h2)2＋h12；

【证】 (3)若h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积S随h1的变化情况． 【解】 O y x 3 5 －5 －3 7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2＋(m―3)x―3(m＞0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C． (1)求点A的坐标；

(2)当∠ABC＝45°时，求m的值；

(3)已知一次函数y＝kx＋b，点P(n，0)是x轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y＝mx2＋(m―3)x―3(m＞0)的图象于N．若只有当－2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式． 8．在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． (1)在图1中，证明：CE＝CF；

(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数；

(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG(如图3)，求∠BDG的度数． B B A D A D C C E F E G F A B C D E G F 图1 图2 图3 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE、BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C(注：不含AB线段)．已知A(－1，0)，B(1，0)，AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上． (1)求两条射线AE、BF所在直线的距离；

(2)当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；

当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；

E A D F O B x y (3)已知□AMPQ(四个顶点A、M、P、Q按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围． 10．阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形的面积． B B C A D O A D C E O 图2 图1 A B D C E F 图3 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形(如图2)． 请你回答：图2中△BDE的面积等于____________． 参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF． (1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF 的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)；

(2)若△ABC的面积为1，则以AD、BE、CF的长度为 三边长的三角形的面积等于_______． 11．如图，⊙O的直径为，⊙O 1过点，且与⊙O内切于点．为⊙O上的点，与⊙O 1交于点，且．点在上，且，BE的延长线与⊙O 1交于点，求证：△BOC∽△． 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，求CF的长。

13．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，求△DMN的面积 O C 第14题 A B x y 14．如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、 B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）求直线BC的函数解析式；

（3）在抛物线上，是否存在一点P， 使△PAB的面积等于△ABC的面积， 若存在，求出点P的坐标，若不存在， 请说明理由． A B C D M N P Q 15.已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=DC=2，点M从点B开始，以每秒1个单位的速度向点C运动；
点N从点D开始，沿D—A—B方向，以每秒1个单位的速度向点B运动．若点M、N同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP⊥BC与P，交BD于点Q． （1）点D到BC的距离为 ；

（2）求出t为何值时，QM∥AB；

（3）设△BMQ的面积为S，求S与t的函数关系式；

（4）求出t为何值时，△BMQ为直角三角形． 16.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D. （1）求抛物线的解析式. （2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同 时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2(cm2) ①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

（第16题）
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R点的坐标；
如果不存在，请说明理由. （3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标. 17.如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=450，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上。

（1）证明：B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；

（3）将△DCE绕点C逆时针旋转（00<<900）后，记为△D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明：若不是，说明理由。

18.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；

（2）求a的取值范围；

（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0<a<1时，求证：S1- S2为常数，并求出该常数。

19.如图，抛物线：y＝ax2＋bx＋4与x轴交于点A(－2，0)和B(4，0)、与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式；

(2)T是抛物线对称轴上的一点，且△ACT是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；

C A O Q B M P T y x l (3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行．当点M原点时，点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线l⊥轴，交AC或BC于点P．求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式，并求出S的最大值． 20.已知抛物线的图象向上平移m个单位（）得到的新抛物线过点（1，8）. （1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成的形式；

（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数y的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在≤时对应的函数值y的取值范围；

（3）设一次函数，问是否存在正整数使得（2）中函数的函数值时，对应的x的值为，若存在，求出的值；
若不存在，说明理由. 21.已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MO＝MA．二次函数 y＝x2＋bx＋c的图像经过点A、M． （1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标． 图1 22.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，． （1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长． 图1 图2 备用图 23．如图（1）,在直角△ABC中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数). 试探究线段EF与EG的数量关系. (1) 如图（2）,当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是 证明: (2) 如图（3）,当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是 证明 (3) 如图（1）,当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是 (写出关系式,不必证明) 24.已知顶点为A(1,5)的抛物线经过点B(5,1). (1)求抛物线的解析式; (2)如图（1）,设C,D分别是轴、轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值；

（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P()()是直线上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PRQ. ①当△PBR与直线CD有公共点时,求的取值范围；

②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于的函数关系式，并求S的最大值。

25在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点．以点为旋转中心，把顺时针旋转，得．记旋转角为为． （Ⅰ）如图①，当旋转后点恰好落在边上时，求点的坐标；

（Ⅱ）如图②，当旋转后满足轴时，求与之间的数量关系；

（Ⅲ）当旋转后满足时，求直线的解析式（直接写出结果即可）． 26.已知抛物线，点． （Ⅰ）求抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）①若抛物线与轴的交点为，连接，并延长交抛物线于点，求证；

②取抛物线上任意一点，连接，并延长交抛物线于点，试判断是否成立？请说明理由；

（Ⅲ）将抛物线作适当的平移，得抛物线，若时，恒成立，求的最大值． 27.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC= ，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；
另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧。设运动的时间为t秒（t≥0）． （1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t ,使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；
若不存在，请说明理由． 28.如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点。P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D。

⑴求点D的坐标（用含m的代数式表示）；

⑵当△APD是等腰三角形时，求m的值；

⑶设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动。请直接写出点H所经过的路径长。（不必写解答过程）
A O C P B D M x y A O C P B D M x y （第24题图）
图1 图2 E 1、解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝a(x－1)2＋4，依题意，将点B（3，0）代入，得：
a(3－1)2＋4＝0 解得：a＝－1 ∴所求抛物线的解析式为：y＝－(x－1)2＋4 （2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称， 在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………① 设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0）， ∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线y＝－(x－1)2＋4，得 y＝－(2－1)2＋4＝3 ∴点E坐标为（2，3）
又∵抛物线y＝－(x－1)2＋4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D E F 图6 A B x y O D C Q I G H P ∴当y＝0时，－(x－1)2＋4＝0，∴ x＝－1或x＝3 当x＝0时，y＝－1＋4＝3, ∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）
又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1， ∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………② 分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：
解得：
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1 ∴当x＝0时，y＝1 ∴点F坐标为（0，1）
∴………………………………………③ 又∵点F与点I关于x轴对称， ∴点I坐标为（0，－1）
图7 A B x y O D C M T N ∴………④ 又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值， ∴只要使DG＋GH＋HI最小即可 由图形的对称性和①、②、③，可知， DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI 只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小 设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：y＝k1x＋b1（k1≠0）， 分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y＝k1x＋b1，得：
解得：
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1 ∴当x＝1时，y＝1；
当y＝0时，x＝；

∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）
∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI 由③和④，可知：
DF＋EI＝ ∴四边形DFHG的周长最小为。

（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB， 要使，△DNM∽△BMD，只要使即可， 即：MD2＝NM×BD………………………………⑤ 设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得 △AMN∽△ABD， ∴ 再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝，AB＝4 ∴ ∵MD2＝OD2＋OM2＝a2＋9， ∴⑤式可写成：
a2＋9＝× 解得：
a＝或a＝3（不合题意，舍去）
∴点M的坐标为（，0）
又∵点T在抛物线y＝－(x－1)2＋4图像上， ∴当x＝时，y＝ ∴点T的坐标为（，）
2.（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t. 又∵AE=t，∴AE=DF.…………………………………………………………………………2分 （2）能.理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF. 又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形.…………………………………………………3分 ∵AB=BC·tan30°= 若使为菱形，则需 即当时，四边形AEFD为菱形.……………………………………………………5分 （3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形. 在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE.即10-2t=2t，.………………7分 ②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°. ∵∠A=90°-∠C=60°，∴AD=AE·cos60°. 即…………………………………………………………………………9分 ③∠EFD=90°时，此种情况不存在. 综上所述，当或4时，△DEF为直角三角形.……………………………………10分 3.（1）对于，当y=0，x=2.当x=-8时，y=-. 解得…………………………………………3分 （2）①设直线与y轴交于点M 当x=0时，y=. ∴OM=. ∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2.∴AM=……………………4分 ∵OM：OA：AM=3∶4：5. 由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM～△PED. ∴DE：PE：PD=3∶4：5.…………………………………………………………………5分 ∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点， ∴PD=yP-yD =.………………………………………………………………………6分 ∴ …………………………………………………………………7分 ……………………………………8分 ②满足题意的点P有三个，分别是 ……………………………………………………………11分 【解法提示】 当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，所以 当点F落在y轴上时，同法可得， （舍去）. 4．解：⑴b=1 ⑵显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=－4 ⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：
由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1•F1N1=－x1•x2=4，而FF1=2，所以F1M1•F1N1=F1F2，另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形． F M N N1 M1 F1 O y x l  第4题解答用图 P Q ⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：
直线y=－1即为直线M1N1． 如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为,计算知NN1=， NF=，得NN1=NF 同理MM1=MF． 那么MN=MM1＋NN1，作梯形MM1N1N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=（MM1＋NN1）=MN，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切． 5.（1）易求得, , 因此得证. (2)易证得∽,且相似比为，得证. （3）120°， 6.（1）过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，证△ABE≌△CDG即可. （2）易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF,且两直角边长分别为h1、h1+h2,四边形EFGH是边长为h2的正方形， 所以. (3)由题意，得 所以 又 解得0＜h1＜ ∴当0＜h1＜时，S随h1的增大而减小；

当h1=时，S取得最小值；

当＜h1＜时，S随h1的增大而增大. 7.解：⑴ ∵点是二次函数的图象与轴的交点， ∴令即. 解得. 又∵点在点左侧且 ∴点的坐标为. ⑵ 由⑴可知点的坐标为. ∵二次函数的图象与轴交于点 ∴点的坐标为. ∵， ∴. ∴. ⑶ 由⑵得，二次函数解析式为. 依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的 图象交点的横坐标分别为和2，由此可得交点坐标为和. 将交点坐标分别代入一次函数解析式中， 得 解得 ∴一次函数的解析式为. 8.⑴ 证明：如图1. ∵平分 ∴. ∵四边形是平行四边形， ∴. ∴. ∴. ∴. ⑵ . ⑶ 解：分别连结、、（如图2）
∵ ∴ ∵且 ∴四边形是平行四边形. 由⑴得 ∴是菱形. ∴. ∴是等边三角形. ∴ ① . ∴. ∴. ② 由及平分可得. ∴. 在中，. ∴. ③ 由①②③得. ∴. ∴. ∴. 9.解：⑴ 分别连结、，则点在直线上，如图1. ∵点在以为直径的半圆上， ∴. ∴. 在中，由勾股定理得. ∵ ∴两条射线、所在直线的距离为. ⑵ 当一次函数的图象与图形恰好只有一个公共点时，的取值是或；

⑶ 假设存在满足题意的，根据点的位置，分以下四种情况讨论：
①当点在射线上时，如图2. ∵四点按顺时针方向排列， ∴直线必在直线的上方. ∴两点都在上，且不与点重 合. ∴. ∵且 ∴. ∴. ②当点在（不包括点）上时，如图 3. ∵四点按顺针方向排列， ∴直线必在直线的下方. 此时，不存在满足题意的平行四边形. ③当点在上时， 设的中点为则． 当点在（不包括点）上时，如图4． 过点作的垂线交于点垂足为点可得是的中点． 连结并延长交直线于点． ∵为的中点，可证为的中 点． ∴四边形为满足题意的平行四边形． ∴． 2）当点在上时，如图5． 直线必在直线的下方． 此时，不存在满足题意的平行四边形． ④当点的射线（不包括点）上时，如 图6． 直线必在直线的下方． 此时，不存在满足题意的平行四边形． 综上，点的横坐标的取值范围是 或． 10.解：的面积等于 1 . ⑴ 如图. 以、、的长度为三边长的一个三角形是. ⑵ 以、、的长度为三边长的三角形的面积等于. 11． 证明：连接BD，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形． …………（5分）
设与交于点，连接OM，则．又因为，所以 ． …………（15分）
又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以 △BOC∽△． …………（20分）
12.解：如图，连接AC，BD，OD. 由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以 ∠BCF =∠BAD, 所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此 . 因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC， 于是 . 因此 . 由△∽△，知．因为， 所以 ，BA=AD ，故 . 13.解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以 ， 由此得，所以. 在Rt△ABF中，因为，所以 ， 于是 . 由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ， . 于是 ， ， . 又，所以. O C 第14题 A B x y 因为，所以. 14.解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c ∵抛物线与y轴交于点C的坐标（0, 3）
∴y=ax2+bx+3 又∵抛物线与x轴交于点A（－1, 0 ）、B（4, 0）
∴ ∴抛物线的解析式为 （2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b ∴，解得 所以直线BC的函数解析式为y=x + 3 （3）存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积 ∵△ABC的底边AB上的高为3 设△PAB的高为h，则│h│=3，则点P的纵坐标为3或－3 ∴ ∴点P的坐标为（0，3），（3，3），而点（0，3）与C 点重合，故舍去。

∴点P的坐标为 ， ∴点P的坐标为：P1（3，3），P2，P3 15.解：（1）-----2分 (2)t=1.2s------------------5分 （3）当时,s= ------------------------------8分 当时,s= -----------------------11分 (4)t=1.5s或者t=12/7s-----------------14分 16.解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，—）, 则 解得 ∴抛物线的解析式为: ----------------------------4分 (2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2 , 即 S=5t2－8t+4 (0≤t≤1) --------------------6分 ②假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形. ∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1), ∴当S=时, 5t2－8t+4=,得 20t2－32t+11=0, 解得 t = ，t = （不合题意，舍去）-------------------------------7分 此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）
若R点存在，分情况讨论: 【A】假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为— 即R (3, －)，代入, 左右两边相等， ∴这时存在R(3, －)满足题意. 【B】假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为－即(1, －) 代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. 【C】假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，—)代入, 左右不相等, ∴R不在抛物线上. 综上所述, 存点一点R(3, －)满足题意. ---------------------11分 （3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—）---------------------------------------14分 17、（1）证明：∵ AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=90° ∵ ∠DCE=90° ∴∠ACB＋∠DCE=180° ∴ B、C、E三点共线。

(2)证明：连接ON、AE、BD，延长BD交AE于点F ∵ ∠ABC=45°，∠ACB=90° ∴ BC=AC，又∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC ∴ △BCD≌△ACE ∴ BD=AE，∠DBC=∠CAE ∴∠DBC＋∠AEC=∠CAE＋∠AEC=90° ∴ BF⊥AE ∵ AO=OB，AN=ND ∴ ON=BD，ON∥BD ∵ AO=OB，EM=MB ∴ OM=AE，OM∥AE ∴ OM=ON，OM⊥ON ∴ ∠OMN=45°，又 cos∠OMN= ∴ (3) 成立，证明同（2）。

18、解：(1)将点C（0，1）代入得 （2）由(1)知，将点A（1，0）代入得 ， ∴ ∴ 二次函数为 ∵二次函数为的图像与x轴交于不同的两点 ∴ ，而 ∴ 的取值范围是 且 (3)证明：
∵ ∴ 对称轴为 ∴ 把代入得 ，解得 ∴ ∴ ＝ ＝＝1 ∴为常数，这个常数为1。

19. 解：（1）把A、B(4，0)代入，得 解得 ∴抛物线的解析式为：。

（1）
由，得抛物线的对称轴为直线， 直线交x轴于点D，设直线上一点T(1，h)，连结TC，TA，作CE⊥直线，垂足为E，由C(0，4)得点E(1，4)， 在Rt△ADT和Rt△TEC中，由TA=TC得 解得，∴点T的坐标为(1,1). （3）解：（Ⅰ）当时，△AMP∽△AOC ∴ ∴ 当时，S的最大值为8. （Ⅱ）当时， 作PF⊥y轴于F，有△COB∽△CFP，又CO=OB ∴FP=FC=， ∴ ∴当时，则S的最大值为。

综合Ⅰ、Ⅱ，S的最大值为。

20、解：（1）由题意可得 又点（1，8）在图象上 ∴ ∴ ………………………………………………………（1分）
∴ ……………………………………………………………（3分）
（2）
图略 ………………………………………………（7分）
当时， ………………（9分）
（3）不存在 ………………………………………………（10分）
理由：当且对应的时， ∴ ， ………………………………………（11分）
且 得 ∴ 不存在正整数n满足条件 ……………………………（12分）
21.[解] (1) 根据两点之间距离公式，设M(a, a)，由| MO |=| MA |, 解得：a=1，则M(1, ), 即AM=。

(2) ∵ A(0, 3)，∴ c=3，将点M代入y=x2+bx+3，解得：b= -，即：y=x2-x+3。

(3) C(2, 2) (根据以AC、BD为对角线的菱形)。注意：A、B、C、D是按顺序的。

[解] 设B(0, m) (m<3)，C(n, n2-n+3)，D(n, n+3)， | AB |=3-m，| DC |=yD-yC=n+3-(n2-n+3)=n-n2， | AD |==n， | AB |=| DC |Þ3-m=n-n2…j，| AB |=| AD |Þ3-m=n…k。

解j，k，得n1=0(舍去)，或者n2=2，将n=2代入C(n, n2-n+3)，得C(2, 2)。

22.[解] (1) 由AE=40，BC=30，AB=50，ÞCP=24，又sinÐEMP=ÞCM=26。

(2) 在Rt△AEP与Rt△ABC中，∵ ÐEAP=ÐBAC，∴ Rt△AEP ~ Rt△ABC， ∴ ，即，∴ EP=x， 又sinÐEMP=ÞtgÐEMP==Þ=，∴ MP=x=PN， BN=AB-AP-PN=50-x-x=50-x (0<x<32)。

(3) j 当E在线段AC上时，由(2)知，，即，ÞEM=x=EN， 又AM=AP-MP=x-x=x， 由题设△AME ~ △ENB，∴ ，Þ=，解得x=22=AP。

k 当E在线段BC上时，由题设△AME ~ △ENB，∴ ÐAEM=ÐEBN。

由外角定理，ÐAEC=ÐEAB+ÐEBN=ÐEAB+ÐAEM=ÐEMP， ∴ Rt△ACE ~ Rt△EPM，Þ，即，ÞCE=…j。

设AP=z，∴ PB=50-z， 由Rt△BEP ~ Rt△BAC，Þ，即=，ÞBE=(50-z)， ∴CE=BC-BE=30-(50-z)…k。

由j，k，解=30-(50-z)，得z=42=AP。

23. （1）图甲：连接DE， ∵AC=mBC，CD⊥AB，当m=1，n=1时 ∴AD=BD，∠ACD=45°， ∴CD=AD=AB， ∵AE=nEC， ∴DE=AE=EC=AC， ∴∠EDC=45°，DE⊥AC， ∵∠A=45°， ∴∠A=∠EDG， ∵EF⊥BE， ∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°， ∴∠AEF=∠DEG， ∴△AEF≌△DEG（ASA）， ∴EF=EG． （2）解：EF=EG证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N， ∵EM∥CD， ∴△AEM∽△ACD， ∴ 即EM=CD， 同理可得，EN=AD， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴tanA=， ∴， 又∵EM⊥AB，EN⊥CD， ∴∠EMF=∠ENG=90°， ∵EF⊥BE， ∴∠FEM=∠GEN， ∴△EFM∽△EGN， ∴， 即EF=EG；

（3）EF=EG． 24. 解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，5）， ∴设抛物线的解析式为， 将点B（5，1）代入，得， 解得， ∴ （2）作A关于y轴的对称点，作B关于x轴的对称点，显然， 如图(5.1)，连结分别交x轴、y轴于C、D两点， ∵， ∴此时四边形ABCD的周长最小，最小值就是。

而， ∴ 四边形ABCD周长的的最小值为。

（3）①点B关于x轴的对称点B′（），点A关于y轴的对称点A′（﹣1，5），连接A′B′，与x轴，y轴交于C，D点， ∴CD的解析式为：， 联立， 得：
∵点P在上，点Q是OP的中点， ∴要使等腰直角三角形与直线CD有公共点，则． 故的取值范围是：． ②如图：
点E（2，2），当EP=EQ时，，得：， 当时， 当时，． 当时， 当时，． 故的最大值为：． 25.解：（Ⅰ）点，得， 在中，由勾股定理，得． 根据题意，有． 如图，过点作轴于点， 则， ．有， 得． 又，得． 点的坐标为． （Ⅱ）如图，由已知，得． ． 在中，由， 得． 又轴，得， 有， ． （Ⅲ）直线的解析式为或． 26.解：（Ⅰ）， 抛物线的顶点坐标为． （Ⅱ）根据题意，可得点， ， 轴，得， ． 成立． 理由如下：
如图，过点作于点， 则 中，由勾股定理， 得． 又点在抛物线上， 得，即． ， 即． 过点作，与的延长线交于点， 同理可得． ， ． 有． 这里， ， 即． （Ⅲ）令， 设其图象与抛物线交点的横坐标为，且， 抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的， 观察图象，随着抛物线向右不断平移，的值不断增大， 当满足，恒成立时，的最大值在处取得． 可得，将代入， 有， 解得或（舍去）， ． 此时，由，得， 解得， 的最大值为8． 27．解：（1）当边恰好经过点时，（如图①）
． A D C O B P F E G 26题答图① 在Rt中，， ， ． ． 即． 当边恰好经过点时，． （2）当时，． 当时，． 当时，． 当时，． （3）存在．理由如下：
在Rt中，， 又， ． （ⅰ）当时（如图②），过点作于． A D C O B P E H M 26题答图② 则． 在Rt中，， A D C O B P E H 26题答图③ 即， ．即． ． （ⅱ）当时，（如图③）， 则， A D C O(E) B P H 26题答图④ 又， ． 又． ．即或． ． （ⅲ）当时（如图④）, 则．[来源:学*科*网] ． 点和重合． ．即． ． 综上所述，存在5个这样的值，使是等腰三角形，即． 28解：⑴由题意得CM=BM， ∵∠PMC=∠DMB， ∴Rt△PMC≌Rt△DMB，………………………………………………………………2分 ∴DB=PC， ∴DB=2－m，AD=4－m, ………………………………………………………………1分 ∴点D的坐标为（2，4－m）. …………………………………………………………1分 ⑵分三种情况 A O C P B D M x y F ① 若AP=AD，则4＋m2=(4－m)2，解得………………………………………2分 若PD=PA 过P作PF⊥AB于点F（如图）， 则AF=FD=AD=（4－m）
又OP=AF， ∴ …………………………………………2分 ③若PD=DA， ∵△PMC≌△DMB， ∴PM=PD=AD=（4－m）, ∵PC2＋CM2=PM2， ∴ 解得(舍去)。………………………………………………………………2分 综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为或或 ⑶点H所经过的路径长为………………………………………………………2分