山西省2020年高中阶段教育学校招生统一考试数学试卷
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山西省2020年高中阶段教育学校招生统一考试冲刺卷
数 学
第I卷 选择题(共30分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1.-5,2,-3,3这四个数中,比-4小的数是
A.-5 B.2 C.-3 D.3
2.某学习小组绘制了以下四个美丽的几何图形,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是
A B C D
3.养成良好的阅读习惯将受益终生.“文学社团”的7名同学在今年2~4月期间阅读课外书籍的数量分别是(单位:本):10,9,11,5,9,8,7,则这组数据的中位数是
A.10 B.9 C.8 D.7
4.下列运算正确的是
A. B.
C. D.
5.分解分式方程时,下列去分母的步骤正确的是
A.1+3(x-2)=1-x B.1-3(x-2)=1-x
C.1-3(x-2)=x-1 D.1+3(x-2)=x-1
6.如图是由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体的三种视图,则搭成这个几何体的小正方体的个数是
A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个
7.将抛物线化为顶点式,正确的是
A. B.
C. D.
8.二果问价(源于我国古代算书《四元玉鉴》,作者为元朝数学家朱世杰):
九百九十九文钱,甜果苦果买一千.
甜果九个十一文,苦果七个四文钱.
试问甜苦果几个?又问各该几个钱?
若设买甜果x个,根据题意,可列方程
A. B.
C. D.
9.如图,四边形ABOD是菱形,点A,B,D在⊙O上,BC是⊙O的直径且BC=6,将弓形BAD沿着BD折叠,得到如图所示的图形,则阴影部分的面积为
A. B. C. D.9
10.如图,已知点E是正方形ABCD对角线上的一点,BD=,DE=,F是AD边上的一点,∠ABF=∠DAE,则FD的长度是
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)将答案直接写在答题卡相应位置.
11.2020年4月28日,由商务部、工业和信息化部、国家邮政局与中国消费者协会共同组织的“双品网购节”正式启动.据商务部数据显示,活动首日,参与活动的品牌超十万个,总交易额超110亿元,带动全网销售约305亿元,数据305亿元用科学计数法可表示为 元.
12.小新手中有5张数字连续的扑克牌,他们除了正面外其余都相同,将牌洗匀后背面朝上,从中随机抽取1张,剩余的4张牌数字不连续的概率是 .
13.如图为一组有规律的图案,依次规律,第n个图案中“●”和“■”的个数为 个.(用含n的代数式表示).
14.汾河、桑干河、滹沱河、漳河、沁河、涑水河、大清河是山西七大河流.2020年,我省将完成“两山七河一流域”生态修复工作.如图,某水库管理处计划将水坝进行加高加固,水坝BE加高1m(即EF=1m),加固后水坡AF的坡度i=1:1,已知AB=4m,∠ABE=120°,则水坝原来的高度EC约为 .(精确到0.1m,参考数据:=1.73)
15.如图,菱形ABCD的边长为5,,将△ABD沿射线BD方向平移得到△,点A、B、D的对应点分别为、、,连接,.当=时△的平移距离为 .
三、解答题(本大题共8个小题,共75分)解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.
16.(本题共2个小题,每小题5分,共10分)
(1)解不等式组:;
计算:.
(本题7分)
如图,已知反比例函数的图象与一次函数y=2x+2的图象相交于点A/B两点,其中点A的坐标为(m,4),点B的坐标为(-2,n).
(1)求m,n的值和反比例函数的解析式;
(2)根据图象,请直接写出不等式的解集.
18.(本题9分)2020年4月16日,山西省人民政府公布《山西省城市生活垃圾分类管理规定》自2020年6月1日起实施.数学活动小组在某社区以“垃圾分类知多少”为主题,用随机抽样的方式进行了问卷调查,问卷调查结果统计分为“A.非常了解”,“B.比较了解”,“C.基本了解”,“D.了解较少”四个等级,并根据统计数据绘制了图1和图2两幅统计图(不完整).
请根据图中信息解答下列问题:
(1)这次随机抽样共调查了 人;
(2)求图2中“B.比较了解”所对应的扇形的圆心角度数,并将图1和图2的统计图补充完整;
(3)调查结束后,在数学活动小组的5名同学(3男2女)中,随机选出2名同学撰写调查报告,求选出的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率.
19.(本题7分)阅读以下材料,并解决问题.
共边三角形和共边定理
共边三角形的定义:有一条公共边的两个三角形叫做共边三角形.
共边定理:如果有一条公共边AB的两个三角形,△PAB和△QAB的第三个顶点P、Q所在的直线与直线AB相交于点M,那么两个三角形的面积比就等于线段PM与QM的长度比.即.
定理证明:如图,分四种情况:在四个图中,分别作PC⊥AB,QD⊥AB,垂足分别为C、D.
证明过程如下:
∵PC⊥AB,QD⊥AB
∴∠PCB=∠QDC=90°(图1,图2)或∠PCB+∠QDC=180°(图3,图4).
∴PC∥QD.∴△PCM∽△QDM.∴.
∴.
问题:
(1)在定理证明过程中,针对直线AB和点P、Q的不同位置关系分别进行探究,这种探究方式体现的书写思想是 ;
(2)如图5,P为△ABC内一点,射线AP、BP、CP分别与边BC、AC、CB相交于点D、E、F三点.
①请直接写出一个以点P为其中一个顶点的三角形,并且这个三角形和△ABC为共边三角形;
②请根据阅读,证明.
20.(本题9分)2020年,“直播+扶贫”作为一种线上新型扶贫模式,引起社会广泛关注,多地市、县长变身“网红”,走进直播间“带货”,为当地农产品销售助威.某贫困县借助“直播+扶贫”模式销售当地农特优绿色产品,4月份销售额为300万元,6月份销售额为432万.(1)该县农特优绿色产品4月份到6月份销售额的月均增长率为多少?(2)“黄河滩枣”是该县重点销售的农特优绿色产品之一,已知某种包装型号的“黄滩枣”的成本为15元/袋,标价为20元/袋,在某次直播中,商家决定在标价的基础上对该产品进行打折销售,但利润率不能低于20%,则该商家最多可以按几折进行销售?
21.(本题9分)在△ABC中,AC=AB,以BC为直径作O交AB于点D,过点D作O的切线EF交CB的延长线于点E,交AC于点F.
(1)求证:EF⊥AC;
(2)若AB=10,BC=13,求的值.
22.(本题11分)综合与实践
问题情景:
如图1,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,在△ABC外部作等边三角形CDE,连接AD.
操作猜想
(1)请在图1中,以AB、AD为边作平行四边形ABFD,连接AE、AF;(尺规作图,不写作法,保留痕迹)
(2)如图2,在(1)的基础上,将等边三角形CDE绕点C逆时针旋转,当点E在线段BC上时,通过对线段AE、AF进行观察或测量,可猜想得出:线段AE与AF之间的数量关系是 ,∠EAF的度数是 .
探索证明
(3)如图3,在(2)的基础上,再将等边三角形CDE绕点C逆时针旋转旋转至点D在线段BC上时,(2)中的猜想是否成立,请说明你的理由;
(4)在(3)的基础上,继续将等边三角形CDE绕点C逆时针旋转至如图4所示位置,试判断(3)中的结论是否发生变化?若不变,请结合图4写出证明过程;若变化,请说明理由.
23.(本题13分)综合与探究
如图,已知抛物线与x轴相交于A、B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C,点G是BC的中点,OH⊥BC于点H,点P是抛物线在第四象限图象上的一个动点,点P的横坐标为t,请解答下列问题:
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)猜想OH和HG的数量关系,并说明理由;
(3)过点P作PE⊥BC于点E,猜想抛物线上是否存在一点P,使得△CPE的某个内角恰好等于∠ABC的2倍?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.