期权定价理论应用：公司证券定价

期权定价理论应用

公司证券定价

By Sophie

可转换债券定价二叉树模型方法

假设条件 可转债对应股票价格服从几何布朗运动

允许使用全部所得卖空派生证券

没有交易费用和税收，即交易成本为0

不存在无风险套利机会

无风险利率为常数。

将金融资产的有效期T分为m个时间间隔，在每个时间间隔（?t）内，我们可以假定在不考虑红利支付的情况下，股价的变动是二值的，即股价上升或者下降。

二叉树公式

u=eσ?t d=e?σ?t

p=a?d

u?d

a=e r f?t

u：股票价格上涨的幅度d：股票价格下降的幅度p：股票价格上涨的概率

r f：无风险收益率?t：二叉树步长

调整二叉树模型 可转债定价的一个模型就是直接模拟债券发行方的股票价格，在这一模型中股票价格被假设为服从几何布朗运动。

与一般几何布朗运动不同之处在于，每个小的时间区间?t内，公司有λ?t的概率会违约。

公司违约时，股价会变为0，但债券会有一定的回收率。参数λ为风险中性违约密度。

股票价格所服从的过程可以通过修改一般的二叉树来表达，在每个节点上我们有：

在每个时间?t后，价格按比率u上涨的概率为p u

在每个时间?t后，价格按比率p下降的概率为p d

在每个时间Δt后，公司违约（即股票价格变为0）的概率为λ?t

p u=a?de?λΔt

u?d

p d=

ue?λΔt?a

u?d

u=e(σ2?λ)Δt d=1

u

其中，a=e(r f?q)Δt，r f为无风险利率，q为股票的收益率（红利），

Δt=(T?t)/m，t、T分别是可转换债券的初始时刻和期末时刻。调整二叉树模型

树形的期限为可转换债券的期限。

在每个可以进行债券转换的节点上，均要检验转换是否为最优。

在可允许将债券赎回的节点我们还要检验债券发行方是否会将债券赎回，这时还要检验债券转换是否为最优。

这些决策定价使得在节点上，债券价格为max[min Q 1，Q 2，Q 3]

Q 1：倒推过程中所产生的价格（假定债券还没被转换，也没被赎回）

Q 2：可赎回价格

Q 3：转换价格

可转债价格的确定

二叉树模型定价计算以“航信转债（110031）”为例股票简称航天信息

股票代码600271

债券名称航天信息股份有限公司可转换公司债券（简称“航信转债”）债券面值100.00元

债券期限 6.00年

计息起始日2015年6月12日

到期日2021年6月12日

票面利率

第一年0.20%，第二年0.50%，第三年1.00%，第四年1.50%，第五年

1.50%，第六年1.60%

付息频率1（次/年）

付息日6月12日

初始转股价86.61元

最新转股价86.6100元

上市起始日2015年6月30日

首次上市规模24.00（亿元）

赎回条款

◆到期赎回条款

在本次发行的可转债期满后五个交易日内，公司将以本次发行的可转债的票面面值的107%（含最后一期利息）向投资者赎回全部未转股的可转债。

◆有条件赎回条款

转股期内，当下述两种情形的任意一种出现时，公司有权决定按照债券面值加当期应计利息的价格赎回全部或部分未转股的可转债：

?在转股期内，如果公司股票在任何连续30个交易日中至少20个交易日的收盘价格不低于当期转股价格的130%（含130%）；

?当本次发行的可转债未转股余额不足3,000万元时。

回售条款

公司股票在最后两个计息年度任何连续30个交易日的收盘价格低于当期转股价格的70%时，可转债持有人有权将其持有的可转债全部或部分按债券面值加当期应计利息的价格回售给发行人。

可转换债券定价

二叉树模型方法计算过程

基础股票二叉树图

估计股票价格的波动率

确定二叉树模型的重要参数

计算各节点基础股票价格

可转债二叉树图

确定基本参数通过可转债终端条件和边界条

件递推二叉树各节点可转债价

格

确定贴现率

◆由于我国对可转债的发行有严格的控制，发行主体的信用状况较好，所以我国的可转换债券几乎不存在违约风险◆

我们可以不考虑可转换债券的违约风险，采用的贴现率不用

经过信用风险调整，即λ=0可转换债券定价

二叉树模型方法计算过程

?GARCH （1,1）表达式为σn 2=γV L +αu n?12+βσn?12

式中γ为对应于V L 的权重，α为对应于u n?12的权重，β为对应于σn?12的权重，且γ+α+β=1。?令ω=γV L ，我们可以将GARCH(1,1)模型写成σn 2=ω+αu n?12+βσn?12

在估计模型的参数时，通常会采用这种形式，一旦ω、α和β被估算，我们可由γ=1?α?β来计算γ，长期日方差V L =ω/γ。

为保证GARCH(1，1)模型的稳定，我们需要0<α，β<1且α+β<1，否则长期方差的权重会为负值。股票价格的波动率σ是使得σΔt 为股票价格在一个长度为?t 的短时间段上收益的标准差。

用GARCH(1，1)模型估计股票价格的波动率

选取航天信息2015年1月6日至2015年10月9日的开盘价数据建立GARCH（1,1）模型，拟合结果如下： 用GARCH(1，1)模型估计股票价格的波动率

Dependent Variable: R

Method: ML -ARCH (Marquardt) -Normal distribution

Date: 12/12/15 Time: 13:04

Sample (adjusted): 1/06/2015 10/09/2015

Included observations: 170 after adjustments

Convergence achieved after 12 iterations

Presample variance: backcast (parameter = 0.7)

GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*GARCH(-1)

Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

C0.0057740.004981 1.1593730.2463

Variance Equation

C0.0003420.000187 1.8331900.0668 RESID(-1)^20.1220130.057003 2.1404570.0323

GARCH(-1)0.7827820.0925778.4554890.0000 R-squared-0.001603Mean dependent var0.003342 Adjusted R-squared-0.001603S.D. dependent var0.060932 S.E. of regression0.060981Akaike info criterion-2.826411 Sum squared resid0.628455Schwarz criterion-2.752627 Log likelihood244.2449Hannan-Quinn criter.-2.796470?除常数项外，方差方程各项系数在5%的水平下均是显著的，且符合0<α，β<1且α+β<1

?波动率满足的方差方程为

σn2=0.000342+0.122013u n?1

2+0.782782σ

n?1

2

?航天信息长期平均日波动率

σ=V L=0.059935368

?取一年期国债收益率2.46%为无风险收益率r f

?为简化计算，取?t =1年

?假设航天信息未来不支付股息，转股价格不变

模型各项参数值如下：

u =1.06176792d =0.941825404

p u =0.692662413p d =1?p u =0.307337587

确定二叉树模型的重要参数

可转换债券二叉树图

确定基本参数?转股比例：n=可转债面值

转股价格

=100

86.61

≈1.1546010853

?可转债每年的票面利息

时间第一年第二年第三年第四年第五年第六年债券利息C（元）0.20 0.50 1.00 1.50 1.50 1.60

可转换债券二叉树图

企业债名称债券信用评级期限（年）票面利率

11新天01AAA 6 5.30%

15金街01AAA 6 3.84%14绿地债AAA 6 6.24%

15远洋04AAA 6 3.85%15吉利01AAA 6 3.88%12开滦02AAA 6 6.30%

12宝钛债AAA 6 5.40%14登电债AAA 6 6.51%13京城科AAA 6 6.21%

平均值 5.28%

确定基本参数

?确定同等风险的公司债券利率r c 目前上市企业债中信用评级和期限与航信转债相同的普通企业债如表所示。其平均票面利率为5.28%，因此，我们将5.28%作为同等风险的公司债券利率r c 。注：确定同等风险的公司债券利率的较好方法是寻找期限相同，修正久期相近的普通企业债，并计算其到期收益率，

以其平均值作为贴现率。由于数据难以搜集，因此使用票面利率和债券信用评级代替。数据来源：国泰安数据库

可转换债券二叉树图

确定模型使用的贴现率

二叉树图中的每一个节点对应一个贴现利率。在进行期权定价和债券定价时通常使用的是无风险利率和公司债券利率。在可转债的定价过程中，需采用特别的方式对贴现利率进行处理。方法如下：

?如果节点（i，j）为股票节点，在可转换债券换成股票时，根据无套利定价理论（APT），这个节点的贴现利率r i,j为无风险利率r f,即

r i,j=r f at CB i,j=n i S i,j

r i,j：t+iΔt时刻第j个节点所对应的贴现利率

CB i,j：节点（i,j）的可转换债券价格S i,j：节点（i，j）的基础股票价格

n i：t+iΔt时刻的转换比率，本案例中为简化计算，假设转股价格不变，因此转换比率也为定值。

可转换债券二叉树图

确定模型使用的贴现率

?如果节点（i，j）为债券节点，被赎回或被回售的节点，那么根据债券定价理论，这个节点的贴现利率为同等风险的公司债券利率r c，即

r i,j=r c at CB i,j=pp i or cp i

其中，cp i与pp i表示t+iΔt时刻可转换债券的可赎回价格与可回售价格。

?如果节点（i，j）既不是股票节点也不是债券节点，那么该节点贴现利率为套利比率?i,j的加权利率，即

r i,j=?i,j r f+1??i,j r c

?i,j=(CB i+1,j+1?CB I+1,J)/(n i S I+1,j+1?S i+1,j)

套利比率即为可转债的Delta。

通过可转换债券的终端条件和边界条件来递推二叉树图中各个节点的可转债价格

(6,1)

92.71478525

(5,1)108.60000

87.32114

(4,1)(6,2)

82.2412782.24126801

(3,1)(5,2)108.60000

77.4569277.45692

(2,1)（4,2）（6,3）

72.9508972.9508972.95089069

(1,1)（3,2）(5,3)108.60000

68.70768.70768.707

(0,0)(2,2)（4,3）（6,4）

64.7164.7164.7164.71

(1,2)（3,3）(5,4)108.60000

60.9455260.9455260.94552

(2,3)（4,4）（6,5）

57.4000457.4000457.40004077

（3,4）(5,5)108.60000

54.0608254.06082

（4,5）（6,6）

50.9158550.91585041

(5,6)108.60000

47.95384

（6,7）

45.16414603

108.60000

t t+1t+2t+3t+4t+5T=t+6

通过可转换债券的终端条件和边界条件来递推二叉树图中各个节点的可转债价格

第一步，首先考虑树形的最终节点，在节点（6,1）股票价格为92.71479元，高于转股价格86.61元，此时需考虑两种情形：

?债券不被转换。根据到期赎回条款，债券期满后5个交易日内，公司将以可转债票面面值的107%（含最后一期利息）向投资者赎回全部未转股的可转债，则此时，可转债的价值为100×107%+1.60=108.6元

?债券被转换。此时债券的价值为92.71479×n=107.049元

故债券将不被转换，在节点（6,1）可转债的价值为108.6元。（此处若无到期赎回条款则债券将被转换，不赎回，债券价值仅为面值加当期利息，小于转换后价值。）

同理，计算节点（6,2）、（6,3）、（6,4）、（6,5）、（6,6）的可转债价值，均为108.6元。

通过可转换债券的终端条件和边界条件来递推二叉树图中各个节点的可转债价格第二步，将最终节点的可转债价值贴现到树形图前一步

?按照前文所述贴现率的确定方法，节点（5，1）既不是股票节点也不是债券节点则

?5,1=0r5,1=?5,1r f+1??5,1r c=r c=5.28%

?节点（5,j）可转债的价值为CB5,j=CB6,j×p u+CB6,j+1×p d×e?r cΔt+C5=104.5146702元

?在节点（5,1）股票价格为87.32114007元，高于转股价格，若此时转股，则可转债的价值为

87.32114007×n=100.8210831元，转股价值低于继续持有可转债的价值，因此债券不会被转换

?节点（5,1）可转债的价值为104.5146702元

可转换债券二叉树图

通过可转换债券的终端条件和边界条件来递推二叉树图中各个节点的可转债价格

回售条款：

公司股票在最后两个计息年度任何连续30个交易日的收盘价格低于当期转股价格的70%（60.627元）时，可转债持有人有权将其持有的可转债全部或部分按债券面值加当期应计利息的价格回售给发行人

?假设在节点（5,5）、（5,6）由于连续30个交易日收盘价低于60.627元，触发了回售条款若债券持有人选择回售可转债，则债券价值为100+1.50=101.50元，低于继续持有的价值104.5146702元，因此可转债持有人不会选择回售债券。

同理，可以计算出树形图其他节点上可转债价值。

综上所述，计算出航信转债在t时点上的价值约为82.97元

(6,1)

92.714785

(5,1)108.60000

87.32114

(4,1)104.5147(6,2)

82.2412782.241268

(3,1)100.6395(5,2)108.60000

77.4569277.45692

(2,1)96.46353（4,2）104.5147（6,3）

72.9508972.9508972.950891

(1,1)92.00239（3,2）100.6395(5,3)108.60000

68.70768.70768.707

(0,0)87.47068(2,2)96.46353（4,3）104.5147（6,4）

64.7164.7164.7164.71 82.97203(1,2)92.00239（3,3）100.6395(5,4)108.60000

60.9455260.9455260.94552

87.47068(2,3)96.46353（4,4）104.5147（6,5）

57.4000457.4000457.400041

92.00239（3,4）100.6395(5,5)108.60000

54.0608254.06082

96.46353（4,5）104.5147（6,6）

50.9158550.91585

100.6395(5,6)108.60000

47.95384

104.5147（6,7）

45.164146

108.60000 t t+1t+2t+3t+4t+5T=t+6

航信转债定价二叉树图

本次计算所得航信转债价值偏低，主要原因有以下三点：◆转股价格不变的假设导致估值过程中损失部分收益航信转债转股价格过高，而根据二叉树模拟出的股票价格结果大多数情况下都是低于转股价格的，并比较其他可转债的情况，未来航信转债一定会下调转股价格，但由于转股价格调整方法未知，因此我们假设转股价格不变，导致估值过程中损失部分收益。◆不支付股利的假设使估值过程中损失了部分潜在收益，降低债券估计价值计算过程中，未来股利支付情况不便预计，因此假设基础股票不支付股利，而股利

支付前股价会有一定程度上涨，基础股票价格可能会超过转股价格，引发债券转换。不支付股利的假设使估值过程中损失了部分潜在收益，进而降低债券估计价值。◆步长?t 设置太长

二叉树模型中。步长?t 越短，其估值越准确，此次计算过程中?t =1（年），模拟股价数量太少，影响了结果的准确性。

可转换债券定价

二叉树模型方法计算过程

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