第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)

第八章 向量代数与空间解析几何

第一节 向量及其线性运算

教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念

2.空间两点间的距离公式

3.向量的概念

4.向量的运算

教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容：

一、向量的概念

1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。

2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。

3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。

4． 量的模：向量的大小，记为a

。

模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。

5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。

6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算

1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4

2．c b a =- 即c b a =-+)(

3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为

0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ

0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ=

其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0

a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么

a

a a 0=

定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，

使b ＝a λ

例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用

a 和

b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行

四边形对角线的交点。（见图7－5）

图7－4

解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(2

1

b a +-

=→

MA 由于→

→

-=MA MC ， 于是)(21

b a +=

→

MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2

1

a b -=→MD

由于→→-=MD MB ， 于是)(2

1

a b --=→MB

三、空间直角坐标系

1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2

π

角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。

2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标面分别

为xoy 面、yoz 面、

zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示 图7－2空间直角坐标系图

图7－3空间两点21M M 的距离图3．空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。

通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。 注意：特殊点的表示

a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；

b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。 若

),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点， 则21M M 的距离（见图7－3），利用

直角三角形勾股定理为：

2

2

2

2

12

2

212

2

12NM pN p M NM N M M M d ++=+==

而 121x x P M -=

12y y PN -=

122z z NM -=

所以

21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-==

特殊地：若两点分别为),,(z y x M ，)0,0,0(o

222z y x oM d ++==

例1：求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明: 14)21()13()74(2222

21=-+-+-=M M

6)23()12()75(2222

3

2=-+-+-=M M

6)13()32()45(2222

13=-+-+-=M M

由于 1332M M M M =，原结论成立。

例2：设P 在x 轴上，它到)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍，求点P 的坐标。

解：因为P 在x 轴上，设P 点坐标为)0,0,(x

()

1132222

21+=++

=x x PP ()211222

22+=+-+=x x PP

212PP PP =Θ 22112

2+=+∴x x

1±=?x

所求点为：)0,0,1(，)0,0,1(- 四、利用坐标系作向量的线性运算

1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。

设a =21M M 是以),,(1111z y x M 为起点、),,(2222z y x M 为终点的向量，i 、j 、k 分

别表示 图7－5

沿x ，y ，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：

)(1221x x M M -=i + )(12y y -j +)(12z z -k

或

a = a x i + a y j + a z k

上式称为向量a 按基本单位向量的分解式。

有序数组a x 、a y 、a z 与向量a 一一对应，向量a 在三条坐标轴上的投影a x 、a y 、a z 就

叫做向量a 的坐标，并记为

a ＝ {a x ，a y ，a z }。

上式叫做向量a 的坐标表示式。

于是，起点为),,(1111z y x M 终点为),,(2222z y x M 的向量可以表示为

},,{12121221z z y y x x M M ---=

特别地，点),,(z y x M 对于原点O 的向径

},,{z y x OM =

注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量a 在坐标轴上的投影是三个数a x 、a y 、a z ，

向量a 在坐标轴上的分向量是三个向量a x i 、 a y j 、 a z k . 2．向量运算的坐标表示 设},,{z y x a a a =a ，},,{z y x b b b =b 即k j i a z y x a a a ++=，k j i b z y x b b b ++=

则

(1) 加法： k j i b a )()()(z z y y x x b a b a b a +++++=+ ◆ 减法： k j i b a )()()(z z y y x x b a b a b a -+-+-=-

◆ 乘数： k j i a )()()(z y x a a a λλλλ++=

◆ 或

},,{z z y y x x b a b a b a +++=+b a },,{z z y y x x b a b a b a ---=-b a

},,{z y x a a a λλλλ=a

◆ 平行：若a ≠0时，向量a b //相当于a b λ=，即

},,{},,{z y x z y x a a a b b b λ=

也相当于向量的对应坐标成比例即

z

z

y y x x a b a b a b =

= 五、向量的模、方向角、投影

设},,{z y x a a a =a ，可以用它与三个

坐标轴的夹角γβα、、（均大于等于0，小于等于π）来表示它的方向，称γ

βα、、为非零向量a 的方向角，见图7－6，其余弦表示形式γβαcos cos cos 、、

称为方向余弦。

1． 模

2

22z

y x a a a ++=a

2． 方向余弦

由性质1

知??

?????=====γγββααcos cos cos a a a a a a z y x ，当02

22≠++=z y x a a a a 时，有

????

?

?

?

????++=

=++==++=

=2222222

22cos cos cos z y x z z z y x y y z y x x

x a a a a a a a a a a a a a a a a a a γβα ◆ 任意向量的方向余弦有性质：1cos cos cos 2

2

2

=++γβα ◆ 与非零向量a 同方向的单位向量为：

}cos ,cos ,{cos },,{1γβα==

=

z y x a a a a

a

a a 0

例：已知两点M 1(2,2,2)、M 2(1,3,0)，计算向量21M M 的模、方向余弦、方向角以及与

21M M 同向的单位向量。

解：21M M ＝{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2}

2)2(1)1(222=-++-=

21cos -=α，2

1

cos =β，22cos -=γ 32πα=

，3πβ=，4

3π

γ= 设0

a 为与21M M 同向的单位向量，由于}cos ,cos ,{cos γβα=0

a

即得

}2

2

,21,21{--=0a

3． 向量在轴上的投影

(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u ，是轴u 上的有向线段，如果数λ满足

=λ且当AB 与轴u 同向时λ是正的，当AB 与轴u 反向时λ是负的，那么数λ叫

做轴u 上有向线段的值，记做AB ，即AB =λ。设e 是与u 轴同方向的单位向量，则

e λ=AB

(2) 设A 、B 、C 是u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有BC AB AC += (3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a 和b ，任取空间一点O ，作a =，

b =，规定不超过π的AOB ∠称为向量a 和b 的夹角，记为),(b a ∧

(4) 空间一点A 在轴u 上的投影：通过点A 作轴u 的垂直平面，该平面与轴u 的交点"A 叫做点A 在轴u 上的投影。

(5) 向量在轴u 上的投影：设已知向量的起点A 和终点B 在轴u 上的投影分别为点"

A 和"

B ，那么轴u 上的有向线段的值"

"

B A 叫做向量在轴u 上的投影，记做

j u Pr 。

2．投影定理

性质1：向量在轴u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角?的余弦：

?Pr j u =

性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即

2121a a a a j j j u Pr Pr )(Pr +=+

性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即

a a j j u Pr )(Pr λλ=

小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角坐标系（轴、面、卦限），空间两点间距离公式。本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。

作业：

第二节 数量积 向量积

教学目的：让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂

直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。

教学重点：1. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2.向量平行、垂直的应用

教学难点：1.活学活用数量积、向量积的各种形式 2.向量平行与垂直的相应结论 教学内容：

一、数量积：

a) 定义：θcos b a b a =?，式中θ为向量a 与b 的夹角。 b) 物理上：物体在常力F 作用下沿直线位移s ，力F 所作的功为

θcos s F =W

其中θ为F 与s 的夹角。

c) 性质：Ⅰ.2

a a a =?

Ⅱ.两个非零向量a 与b 垂直b a ⊥的充分必要条件为：0=?b a Ⅲ. a b b a ?=?

Ⅳ. c b c a c b a ?+?=?+)( Ⅴ. )()(c a c a ?=?λλ λ为数

d) 几个等价公式：

Ⅰ.坐标表示式：设},,{z y x a a a =a ，},,{z y x b b b =b 则

z z y y x x b a b a b a ++=?b a

Ⅱ.投影表示式：a b b a b a b a j j Pr Pr ==? Ⅲ.两向量夹角可以由b

a b

a ?=

θcos 式求解 e) 例子：已知三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2)，求AMB ∠

提示：先求出向量→MA 及→

MA ，应用上求夹角的公式。 二、向量积：

a) 概念：设向量c 是由向量a 与b 按下列方式定义：

c 的模θsin b a c =，式中θ为向量a 与b 的夹角。

c 的方向垂直与a 与b 的平面，指向按右手规则从a 转向b 。

※注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。 b) 公式：b a c ?= f)

性质：Ⅰ.0a a =?

Ⅱ.两个非零向量a 与b 平行a ∥b 的充分必要条件为：0b a =? Ⅲ. a b b a ?-=?

Ⅳ. c b c a c b a ?+?=?+)( Ⅴ. )()()(c a c a c a ?=?=?λλλ

λ为数

c) 几个等价公式：

Ⅰ.坐标表示式：设},,{z y x a a a =a ，},,{z y x b b b =b 则

k j i b a )()()(x y y x z x x z y z z y b a b a b a b a b a b a -+-+-=?

Ⅱ.行列式表示式：z

y x

z y x

b b b a a a k j i

b a =? d) 例子：已知三角形ABC 的顶点分别为：A (1,2,3)、B (3,4,5)和C (2,4,7)，求三角

形ABC 的面积。

解：根据向量积的定义，C S ABC =∠=

? 由于AB ＝{2,2,2}，AC ＝{1,2,4}

因此k j i k

j i

2644

21222

+-==?

于是142)6(42

1222

=+-+==?S ABC

小结：向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）（注意共线、共面的条件）

作业：

第三节 平面及其方程

教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重

要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。

教学重点：1.平面方程的求法 2.两平面的夹角

教学难点：平面的几种表示及其应用 教学内容：

一、平面的点法式方程

1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。

平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。

2．平面的点法式方程

已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量},,{C B A =n ，对平面上的任一点

),,(z y x M ，有向量⊥M M 0n ，即

n 00=?M M

代入坐标式有：

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A

（1）

此即平面的点法式方程。

例1：求过三点1M （2，－1，4）、2M （－1，3，－2）和3M （0，2，3）的平面方程。

解：先找出这平面的法向量n ，

k j i k j i

n -+=----=?=9141

3

26433121M M M M

由点法式方程得平面方程为

0)4()1(9)2(14=--++-z y x

即：

015914=--+z y x

二、 平面的一般方程

任一平面都可以用三元一次方程来表示。

平面的一般方程为：

0=+++D Cz By Ax

几个平面图形特点：

1）D ＝0：通过原点的平面。

2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。

3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。

同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n

例2：设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程。 解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知0=D

由平面过点)2,3,6(-知0236=+-C B A ，

}2,1,4{-⊥n ρΘ 024=+-∴C B A C B A 3

2-==?

所求平面方程为0322=-+z y x 三．两平面的夹角 定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。

设平面0:11111=+++∏D z C y B x A ，0:22222=+++∏D z C y B x A

},,{1111C B A n =ρ， },,{2222C B A n =ρ

按照两向量夹角余弦公式有：

2

2

2

22

22

12

12

1212121||cos C B A C B A C C B B A A ++?++++=

θ

三、几个常用的结论

设平面1和平面2的法向量依次为},,{1111C B A =n 和},,{2222C B A =n 1) 两平面垂直：0212121=++C C B B A A （法向量垂直）

2) 两平面平行：

2

1

2121C C B B A A == （法向量平行）

3) 平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点),,(0000z y x P ，平面的方程为

0=+++D Cz By Ax ，则点到平面的距离为

2

2

2

000C

B A D

Cz By Ax d +++++=

例3：研究以下各组里两平面的位置关系：013,012)1(=-+=+-+-z y z y x

01224,012)2(=--+-=-+-z y x z y x 02224,

012)3(=-++-=+--z y x z y x

解：(1)60

13

1)1(2)1(|311201|cos 2

2

2

2

2

=

+?-++-?-?+?-=

θ，

两平面相交，夹角60

1arccos

=θ }1,1,2{1-=n ρ，}2,2,4{2--=n ρ

2

1

2142-=

-=-?

两平面平行

21

)0,1,1()0,1,1(∏?∏∈M M Θ

两平面平行但不重合。

（3）2

12142-=-=-Θ

两平面平行

21)0,1,1()0,1,1(∏∈∏∈M M Θ 所以两平面重合小结：平面的方程三种常用

表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程。

两平面的夹角以及点到平面的距离公式。 作业：

第四节 空间直线及其方程

教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点 教学重点：1.直线方程

2.直线与平面的综合题

教学难点：1.直线的几种表达式

2.直线与平面的综合题

教学内容：

一、空间直线的一般方程

空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：

??

?=+++=+++0

22221111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程

平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。

已知直线上的一点),,(0000z y x M 和它的一方向向量},,{p n m =s ，设直线上任一点为

),,(z y x M ，那么M M 0与s 平行，由平行的坐标表示式有： p

z z n y y m x x 0

00-=-=- 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。（写时参照书上注释）

如设

t p

z z n y y m x x =-=-=-0

00 就可将对称式方程变成参数方程（t 为参数）

??

?

??+=+=+=pt

z z nt y y mt x x 000 三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。 例1：用对称式方程及参数方程表示直线??

?=++-=+++0

43201z y x z y x

解：在直线上任取一点),,(000z y x ，取10=x ???=--=++?0630

200

0z y z y 解得2,000-==z y ，即直线上点坐标)2,0,1(-

因所求直线与两平面的法向量都垂直取}3,1,4{--=?=21n n s 对称式方程为：

321041-+=

--=-z y x 参数方程：?????--=-=+=t

z t y t

x 3241例2 一直线过点)4,3,2(-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程 解：因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为)0,3,0(-B

→

==}4,0,2{BA s ，

所求直线方程：

4

4

0322-=

+=-z y x 两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。

设两直线1L 和2L 的方向向量依次为},,{1111p n m =s 和},,{2222p n m =s ，两直线的

夹角可以按两向量夹角公式来计算

22

22

22

21

21

2

1

2

12121cos p

n m p n m p p n n m m ++?++++=

?

两直线1L 和2L 垂直： 0212121=++p p n n m m （充分必要条件） 两直线1L 和2L 平行：

2

12121p p n n m m == （充分必要条件）

例3：求过点)5,2,3(-且与两平面34=-z x 和152=--z y x 的交线平行的直线方程 解：设所求直线的方向向量为},,{p n m =s ，根据题意知直线的方向向量与两个平面的法向量都垂直，所以可以取}1,3,4{---=?=21n n s 所求直线的方程1

5

3243-=-=+z y x 三、直线与平面的夹角

当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角)2

0(π

??≤≤称为直线

与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为

2

π。 设直线L 的方向向量为},,{p n m =s ，平面的法线向量为},,{C B A =n ，直线与平面的夹角为?，那么

2

2

2

2

2

2

sin p

n m C B A Cp Bn Am ++?++++=

?

直线与平面垂直：s //n 相当于

p

C n B m A == （充分必要条件）

直线与平面平行：s ⊥n 相当于0=++Cp Bn Am （充分必要条件）

平面束方程：

过平面直线??

?=++-=--+0

10

1z y x z y x 的平面束方程为

0)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ

四、杂例：

例1：求与两平面x －4z ＝3和2x －y －5z ＝1的交线平行且过点（－3，2，5）的直线方程。 解：由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行，故直线的方向向量s 一定与两

平面的法线向量垂直，所以

)34(5

1240

1

k j i k

j i s ++-=---=

因此，所求直线的方程为

1

5

3243-=

-=+z y x

例2：求过点（2，1，3）且与直线

1

2131-=-=+z

y x 垂直相交的直线方程 解：先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的法线向量），这平面的方程为

0)3()1(2)2(3=---+-z y x

再求已知直线与这平面的交点。将已知直线改成参数方程形式为 x = -1+3t

y =1+2t

z=-t

并代入上面的平面方程中去，求得t ＝

7

3

，从而求得交点为)73,713,72(-

以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s 即为所求直线的方向向量

}4,1,2{7

6

}733,7131,722{-=+--=s

故所求直线方程为

4

3

1122-=

--=-z y x 例3：求直线?

??=++-=--+0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程

解：应用平面束的方法

设过直线?

?

?=++-=--+010

1z y x z y x 的平面束方程为

0)1()1(=++-+--+z y x z y x λ

即

01)1()1()1(=-++-+-++λλλλz y x

这平面与已知平面0=++z y x 垂直的条件是

01)1(1)1(1)1(=?+-+?-+?+λλλ

解之得

1-=λ

代入平面束方程中得投影平面方程为 y －z －1＝0 所以投影直线为

??

?=++=--0

01z y x z y

小结：本节介绍了空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角（注意两直线的位置关系），直线与平面的夹角（注意直线与平面的位置关系）。 作业：

第五节 曲面及其方程

教学目的：介绍各种常用的曲面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础。

学生应该会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。

教学重点：1.球面的方程 2.旋转曲面的方程 教学难点：旋转曲面 教学内容：

一、曲面方程的概念

1. 实例：水桶的表面、台灯的罩子面等，曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹。

2. 曲面方程的定义：如果曲面S 与三元方程

0),,(=z y x F

（1）

有下述关系：

（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程（1） （2） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程（1）

那么，方程（1）就叫做曲面S 的方程，而曲面S 就叫做方程（1）的图形。 3．几种常见曲面 （1）球面

例1：建立球心在),,(0000z y x M 、半径为R 的球面的方程。 解：设),,(0000z y x M 是球面上的任一点，那么

R M M =0

即： R z z y y x x =-+-+-202020)()()(

或：

2202020)()()(R z z y y x x =-+-+-

特别地：如果球心在原点，那么球面方程为（讨论旋转曲面）2

2

2

2

R z y x =++ （2）线段的垂直平分面（平面方程）

例2：设有点)3,2,1(A 和)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程。

解：由题意知道，所求平面为与A 和B 等距离的点的轨迹，设),,(z y x M 是所求平面上

的任一点，由于||||MB MA =，那么

()()()()()()2222

22412321-+++-=

-+-+-z y x z y x

化简得所求方程

07262=-+-z y x

研究空间曲面有两个基本问题：

（1） 已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程。

（2） 已知坐标间的关系式，研究曲面形状。旋转曲面

定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。 二、旋转曲面的方程

设在yoz 坐标面上有一已知曲线C ，它的方程为

f （y ，z ）＝0

把这曲线绕z 轴旋转一周，就得到一个以z 轴为轴的旋转曲面，设),,0(111z y M 为曲线C 上的任一点，那么有 f （y 1，z 1）＝0

（2）

当曲线C 绕z 轴旋转时，点M 1也绕z 轴旋转到另一点),,(z y x M ，这时z ＝z 1保持不变，且点M 到z 轴的距离

122y y x d =+=

将z 1＝z ，2

2

1y x y +±=代入（2）式，就有螺旋曲面的方程为

0),(22=+±z y x f

旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式。

常用旋转曲面：锥面（直线绕直线旋转，两直线的夹角α（0°<α<90°）），方程为：

)(2222y x a z +=

其中αcot =a 三、柱面

1．定义：平行于定直线并沿曲线定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面。

定曲线C ：准线

动直线L ：母线

2．特征：x ，y ，z 三个变量中若缺其中之一（例如y ）则表示母线平行于y 轴的柱面。 3：几个常用的柱面：

b) 圆柱面：2

2

2

R y x =+（母线平行于z 轴） c) 抛物柱面：x y 22=（母线平行于z 轴） 四、二次曲面 1、定义：

三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面 2、截痕法

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。 3、几种特殊的二次曲面 1． 椭球面

方程为

12

2

2222=++c z b y a x

使用截痕法，先求出它与三个坐标面的交线：

?????==+0

12

222z b y a x ，?????

==+012222y c z a x ，??

?????==+0

1

2222

x c z b y ，这些交线都是椭圆。再看这曲面与平行于坐标面的平面的交线：椭球面与平面1z z =的交线为椭圆

???????==-+-1

2122

22

2122221)()(z z z c c b y z c c

a x （c z <||1），同理与平面1x x =和1y y =的交线也是椭圆。椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化。可知其形状如右上图所示。抛物面

例：椭圆抛物面方程为

z q

y p x =+222

2 （p 与q 同号）

其形状如右图所示。

旋转抛物面方程为

z p

y p x =+222

2 （p >0）

双曲抛物面（鞍形曲面）方程为

z q

y p x =+-2222 （p 与q 同号） 当p >0， q >0时，其形状如图所示。 2．双曲面

单叶双曲面方程为

122

2222=-+c

z b y a x 双叶双曲面方程为

122

2222-=+-c

z b y a x 各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。

小结：曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念(母线、准线)。 作业：

第六节 空间曲线及其方程

教学目的：介绍空间曲线的各种表示形式。第五、六节是为重积分、曲面积分

作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。 教学重点：1.空间曲线的一般表示形式 2.空间曲线在坐标面上的投影 教学难点：空间曲线在坐标面上的投影 教学内容：

一、空间曲线的一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线。

??

?==0

),,(0

),,(z y x G z y x F 特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。

二、空间曲线的参数方程

将曲线C 上的动点的坐标表示为参数t 的函数：

??

?

??===)()()(t z z t y y t x x 当给定1t t =时，就得到曲线上的一个点),,(111z y x ，随着参数的变化可得到曲线上的全部点。

三、空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线C 的一般方程为

??

?==0

),,(0

),,(z y x G z y x F （3）

消去其中一个变量（例如z ）得到方程

0),(=y x H

（4）

曲线的所有点都在方程（4）所表示的曲面（柱面）上。

此柱面（垂直于xoy 平面）称为投影柱面，投影柱面与xoy 平面的交线叫做空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为

??

?==0

),(z y x H 同理可以求出空间曲线C 在其它坐标面上的投影曲线。

在重积分和曲面积分中，还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影

柱面和投影曲线。

例1：设一个立体由上半球面224y x z --=

和锥面)(322y x z -=所围成，见右图，

求它在xoy 面上的投影。 解：半球面与锥面交线为

?????+=--=)

(34:2

222y x z y x z C

消去z 并将等式两边平方整理得投影曲线为：

??

?==+0

1

22z y x 即xoy 平面上的以原点为圆心、1为半径的圆。立体在xoy 平面上的投影为圆所围成的部分：

122≤+y x

小结：1.空间曲线的一般方程、参数方程：

??

?==0

),,(0

),,(z y x G z y x F ??

?

??===)()()(t z z t y y t x x

2.空间曲线在坐标面上的投影

???==00),(z y x H

?

??==00),(x z y R ?

??==00),(y z x T 作业：