八索并联机器人空间自由位移精准控制研究

李瑞东 张云 李克强 朱朝晖 刘卫 翟永明

摘要：为了使八揉索牵引式并联机器人在空间内实现自由位移，达到其从起始位置运动至终止位置过程中的精准控制目的，建立了八索机器人空间运动模型，选取该机器人模型中八揉索伸缩量为研究对象，分别计算其经一段时间由一个坐标发生空间位移后到达另一个坐标过程中八揉索的伸缩速度，通过该伸缩速度控制八个电机转轮的正反转转速，得到了八索机器人在空间内直线位移的精准控制数学模型，达到了利用变换坐标进行路径规划的方式控制机器人实现点到点的空间运动的目的。采用迭代拟合的计算方法得到了该机器人按给定曲线轨迹运动时各揉索驱动电机的转速与时间的关系，通过反馈控制，实现八索机器人在空间内沿直线、曲线运动的精准控制，达到了空间自由位移的目的。

Abstract：
In order to realize the free displacement of the eight-knuckle cable traction parallel robot in space and achieve the precise control of its movement from the starting position to the end position， a space-kinematic model of the eight-cable robot was established， the eight-knead cable in the robot model was selected as the research object to calculate the the expansion and contraction speed of the eight rubbing ropes after they have spatially shifted from one coordinate to another coordinate over a period of time. By using this telescopic speed to control the forward and reverse rotation speeds of the eight motor runners， a precise control mathematical model of the linear displacement of the eight-robot robot in space is obtained， and the purpose of controlling the robot to achieve point-to-point space motion by using coordinate transformation for path planning is achieved. The iterative fitting calculation method is used to obtain the relationship between the rotation speed and time of each kinematic drive motor when the robot moves along a given curve trajectory. Through feedback control， the precise control of the eight-robot robot"s linear and curved movement in space is achieved and the purpose of free displacement in space is achieved.

關键词：八索机器人;并联;迭代拟合;自由位移

Key words：
eight cable robot;parallel;iterative fitting;free displacement

中图分类号：V416                                          文献标识码：A                                  文章编号：1006-4311（2020）03-0250-04

0  引言

随着现代高新科技的不断革新和发展，机械装备智能化、高效化、人性化逐渐成为高新技术产业的追求目标，为了提高工业生产效率、减少工人劳动强度、降低工业作业的危险性，机器人技术已逐渐被广泛应用于工业、化工、烟草、物流、医疗等领域，极大的加速了各行业的发展[1-2]。当前，并联机器人因其承载能力大、质量轻、动态响应速度快等特点而被广泛应用[3]。揉索牵引式机器人[4]为并联机器人的一种形式，其通过改变各揉索的伸缩量可实现机器人在空间内点对点的位移，由于各揉索间会相互影响，对揉索伸缩量的精确控制较为困难，因此研究能对揉索机器人的空间位移进行精准控制的理论模型具有十分重要的现实意义和较高的科学价值。

针对揉索机器人在空间上自由位移的精准控制，相关学者进行了大量的研究并取得了优异的成果[5-7]。Shao X G[8]等提出了一种遍历算法结合缆绳的张紧研究了四缆驱动并联机器人的正向运动学，得到了可根据四缆长度计算出平台的位姿和缆绳张力模型。Inel F[9]等基于空间坐标对五缆操纵的正方形机器人进行建模，根据路径和螺旋轨迹的运动模型控制张力和电缆长度，实现其从一点到另一点的位移控制。唐乐为[10]等通过对七索驱动的6自由度揉性并联对接机构进行结构矩阵分析，优化了该系统相关设计参数，得到了一组满足设计要求的尺度值。Diao X[11]等研究了一种用于验证在具有七根或更多缆绳的六自由度机器人在特定姿势下是否存在力闭合的方法，所得研究结果证明了所提方法的必要性和重要性。曹凌[12]等对一种八索并联机构实现其任意定方向矢量力的输出进行了计算，分别研究了该机器人在终端输出不同矢量力时的张力变化规律，并验证了理论值的正确性。王伟方[13]等分析了四杆支撑的八索驱动并联机器人工作平台的各参数对机器人工作空间的影响，通过对机器人在沿不同轨迹运动时索长、张力变化值对相关结构参数进行优化，得到了较优的运动轨迹。

本文通过对八索并联机器人运动空间进行建模，对其空间自由位移控制过程进行分析，基于空间坐标系得到了八索机器人以一定速度由起始坐标运动至终止坐标的数学模型，达到了利用变换坐标进行路径规划的方式控制机器人实现点到点的空间运动的目的。并通过迭代拟合计算了其沿指定轨迹曲线运动时电机转速与时间的变化关系。通过反馈控制，实现了八索机器人在空间内沿直线、曲线运动的精准控制。

1  数学模型建立

考虑机器人受八索约束，取上下各四索进行连接，八索端部分别连接驱动电机M1、M2、M3、M4、M5、M6、M7、M8，各电机独立驱动实现揉索的伸缩量控制。如图1所示，其中（a）为八索并联机器人空间模型;（b）为（a）的俯视模型。其中，使该八索机器人从Ⅰ位置处运动至Ⅱ位置处。

将八索空间定义为边长为a的正六面体，AB长为b，连接圆盘半径为r，M、N、P、Q分别为揉索端部连接点，即M、N、P、Q坐标为：

设起始A点坐标为（x、y、z），从Ⅰ位置运动至Ⅱ位置后终止坐标为（x′、y′、z′）。则可得B与B′坐标分别为（x、y、z-b）和（x′、y′、z′-b） 。由图1可分别计算得到揉索与连接圆盘接触点在发生位移前后的坐标值，即当机器人位于Ⅰ位置时，各连接点的坐标矩阵为：

同理当该机器人由起始位置运动至终止位置后，各揉索连接点的变换坐标矩阵为：

根据上述数学模型与坐标矩阵，分别计算并联机器人空间位移量及在该位移过程中的揉索伸缩量，通过对伸缩量的速度进行相互约束控制实现机器人的平稳位移。

2  点对点运动

2.1 揉索伸缩量数学模型

根据位置A和A′处坐标值可求出当该八索并联机器人由Ⅰ位置运动至Ⅱ位置时的空间直线位移量？驻l：

现结合上述八索并联机器人数学模型，分别研究该机器人在Ⅰ位置和Ⅱ位置时的揉索长度，如图2所示揉索伸缩模型，利用二者之差即可得到揉索伸缩量，设机器人在运动过程中，揉索为钢性材質，即不会随载荷和位移的改变而发生弹性变形。由式（1）和（2）可得该机器人在位移前八揉索的长度：

当该并联机器人由Ⅰ位置匀速运动至Ⅱ位置后，如图1（b）所示，由式（1）和（4）可计算得八索机器人在位移后各揉索的长度：

现考虑该并联机器人从Ⅰ位置匀速运动至Ⅱ位置后各揉索的伸缩量，即：

式中：？驻l为正时表示揉索伸长

？驻l为负时表示揉索缩短

2.2 揉索速度研究

当该八索并联机器人由Ⅰ位置运动至Ⅱ位置时，其速度模型如图3所示，图示仅代表在该状态下的速度模型。其中为机器人的平均运动速度，不考虑其运动过程中的轨迹和速度变化，且各揉索匀速伸缩。

根据图3所示模型，在工程实际中可通过优化控制参数来解决机器人从静止到匀速段因加速运动时间过长而产生的误差，本模型仅考虑其匀速运动阶段，定义揉索在最初状态下驱动电机由静止到匀速期间的加速时间极短，忽略其加速运动过程，在运动过程中，各驱动电机同步工作，可得机器人从Ⅰ位置匀速运动至Ⅱ位置时的时间t为：

由式（10）可计算得机器人从Ⅰ位置匀速运动至Ⅱ位置时各揉索的运动速度vi：

式中：v值为正时表示揉索伸长;

v值为负时表示揉索缩短。

其中各揉索的运动速度为各电机转轮的线速度，反馈计算各驱动电机的转速n，设驱动电机转轮的半径为rq，揉索半径为rd，可得：

将式（11）带入上式可得：

式中：n值为正时表示驱动电机正转;

n值为负时表示驱动电机反转。

当按照上式所计算的值对各电机进行控制，仅考虑起止位置，可实现该八索机器人由Ⅰ位置运动至Ⅱ位置。

依照上述数学模型，由式（13）可知，电机转轮半径rq、揉索半径rd、机器人总长b、机器人圆盘半径r和运动空间a均为常量，通过定义定义3号揉索的运动速度v3、初始位置B点坐标值和终止位置B′点坐标值，带入式（13）即可计算得到各揉索驱动电机的转速n，并可对该驱动电机的转速进行正反转控制，使该机器人在空间内实现“点对点”的自由位移。

3  曲线轨迹运动

考虑当该八索机器人按一定的曲线轨迹进行运动时，基本思路为利用微分原理将曲线分割为多段直线，通过上述“点对点”的控制方法，基本实现其按指定轨迹运动的目的，在此仅考虑其在与XOY平面平行的平面上运动，设A点轨迹方程为：

如图4所示，考虑半圆弧的计算，即定义域为x∈（500，1500），y∈（500，1000），将该轨迹方程在定义域内均分为6段，使每段轨迹运动位移相等，保证具有相同的平均速度。

在进行轨迹运动控制时，以图示x1为初始运动点，x2为终止位置点，再以x2为初始运动点，x3为终止位置点，如此迭代循环直至终止位置点为x7。通过图示数学模型可计算得到表1所示各位置点的坐标值，其中z值坐标不变。

定义前述相关计算参数值如表2所示，其中a为空间尺寸，b为机器人高度，r为圆盘半径，rq为驱动转轮半径，rd为揉索半径。

由上表可得M点坐标为M（2000，2000，2000），定义机器人沿曲线轨迹运动时的平均速度为50mm/s，设z方向坐标为1000。由式（10）可得该机器人由初始位置点x1运动到第一次迭代点x2时所用时间t：

联立式（7）、（8）和（9）可计算得到表3所示进行第一次迭代计算结束时八揉索的伸缩量？驻li。由此可由式（13）得表4所示在进行第一次迭代运算时，该八索机器人沿所述轨迹方程从x1运动至x2的过程中，各驱动电机的平均转速值。其中正值表示驱动电机正转，负值表示其反转。

同理可得第二、三、四等次迭代运算值，整合得到当该揉索机器人按照所给定的曲线轨迹运动时，各揉索驱动电机的转速与运动时间的函数曲线关系图，如图5所示。

由图可知，分段迭代计算的次数越多，该曲线关系图越接近于给定的曲线轨迹，拟合精度也越高。根据上图还可通过计算各点的切线斜率得到驱动电机在运动过程中的加速度值。

4  结论

本文建立了八揉索牵引式并联机器人空间模型，基于空间坐标系定义各连接点坐标值，并对其在空间内自由位移的精准控制进行了研究，通过考虑该机器人的起始和终止位姿，定义其运动的平均速度，得到如下结论：

①得到了该八揉索牵引式并联机器人从起始坐标位置匀速直线运动至终止坐标位置的精准控制数学模型，达到了利用变换坐标进行路径规划的方式控制机器人实现点到点的空间运动的目的;

②采用迭代拟合的计算方法研究了其沿指定曲线轨迹运动时的控制方法，得到了各揉索驱动电机与时间的变化关系，其中分步拟合计算的步长越小，拟合精度越高。

本文研究了八揉索牵引式并联机器人的空间运动过程，所得基于空间坐标的运动模型对研究八索机器人在空间内自由位移的精准控制具有十分重要的现实意义，对今后的工程应用提供了一定的理论指导。由于未考虑其运动过程中的各揉索张力的变化情况，其运动稳定性难以保证，故将该八索机器人在空间自由位移时各揉索张力的变化规律作为下一步研究重点。

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