从Euler公式谈谈幂指函数的自然定义域
时间：2021-02-09 22:09:11 来源：达达文档网 本文已影响 人 
秦玉鹏 范三妞
【摘要】针对现行教材幂指函数自然定义域尚不清晰问题，本文将实数域分为若干情形进行讨论，并借助Euler公式明确给出了幂指函数的自然定义域.作为应用，指出在对幂指函数施行对数求导法之前应先熟知幂指函数的自然定义域，而非直接对其施行对数求导，以确保数学之严谨性，使大一新生对幂指函数及对数求导法有一个更清晰更全面的认识.
【关键词】幂指函数;自然定义域;实数域;Euler公式;对数求导法
【基金项目】河南省教科规划一般课题“新时代背景下基于DBL的数学创新能力培养策略研究”〔2019〕-JKGHYB-0240;河南工学院博士科研启动基金（KQ1860）.
一、引 言
指数和底数都是变量的，形如
f（x）=u（x）v（x）（x∈E，E是数集）（1）
的函数称为幂指函数，其中u，v是E上的函数[1].通常情况下，当不给出u（x）和v（x）的具体形式时，总要求u（x）>0（x∈E），此时幂指函数可改写成
从而当u，v连续时它连续，u，v可导时它可导[1].（2）的形式在高等数学对数求导法中起到至关重要的作用[2]，通常在做题时默认u（x）>0并直接对幂指函数进行对数求导，而细心的同学会发现直接默认u（x）>0是不合适的，因为当u（x）<0时，诸如x=-2这类点显然也在幂指函数xx的自然定义域内，那么一般地，幂指函数的自然定义域是什么？在定义域内各类点处的可导性又如何呢？教材上并没有给出明确的答案.
显然，为了回答这个问题，必须首先弄清楚幂指函数的自然定义域，才能在此基础上判断各点的连续性，进而讨论其可导性.因此，本文的主要目的就是探析幂指函数的自然定义域，并在此基础上回答上述问题.
二、预备知识
本部分我们将借助Euler公式将对数函数做一个简单推广.
公式（3）被称为欧拉恒等式，也被理查德·費曼称为“最卓越的数学公式”.
本文从Euler公式的角度出发，不再限制对数函数lnx中的真数部分x>0，而将真数部分的定义推广为x>0或x<0.如当x=-1时，借助公式（3）可得
同理，对一般的x<0，不难推出
三、关于数ab（a，b为实数）的一个定理
在探讨幂指函数的定义域之前，我们先来讨论下形如ab（a，b为实数）的数在a，b满足什么样的条件下为实数.
注意在以下讨论中遵循：任意实数的0次幂等于1，即a0=1;0的正实数次幂等于零，0的负实数次幂无意义.讨论结果和举例详见定理1和表1.
定理1 若实数a，b满足下述三类情形之一：
（Ⅰ）底数a为正实数（a>0），指数b为任意实数;
（Ⅱ）底数a为负实数（a<0），指数b为满足b=m 2n-1，m，n∈Z ，（m，2n-1）=1的有理数;
（Ⅲ）底数a=0，指数b为非负实数，则ab为实数.注意这里（m，2n-1）=1表示m与2n-1互质.
证明 我们的主要思想是通过遍历a，b在实数域上的所有可能情形，即先将a在实数域上分为“正实数”，“负实数”和“0”三类情形，再将b在实数域上分为“正有理数”，“负有理数”，“正无理数”，“负无理数”和“0”五类情形进行分别讨论.
情形1（a>0）：
因为a>0是正实数，显然，不论b是何种情形（正有理数，负有理数，正无理数，负无理数，或0），ab表示的都为实数.
情形2（a<0）：
（ⅰ）当b为正有理数时，因为正有理数可表示为正分数（两个正整数之比的数），则b可表示为“奇数/奇数”，“偶数/奇数”或“奇数/偶数”三种形式，若记
结合例1的讨论，不难发现教材上在对形如（1）式的幂指函数施行对数求导时，默认u（x）>0这一前提条件并不会影响最终的求导结果，因为u（x）<0时对应的有定义的点都是孤立存在的，是一系列不可导点;而对u（x）=0时对应的有定义的点也是不可导点.
六、结 论
本文针对幂指函数在实数范围内的自然定义域问题，通过将实数域分为若干情形进行了详细讨论，明确给出了其自然定义域，如定理2所示.将其应用于幂指函数的对数求导法，结果表明在利用对数求导法求解此类问题时，默认幂指函数底数大于零这一前提条件虽然并不影响最终结果，但是考虑到数学的严谨性，有必要在熟知了幂指函数的自然定义域之后再进行对数求导.笔者希望通过本文的讨论，使大一新生对幂指函数和对数求导法有一个更清晰更全面的认识.
【参考文献】
[1]《数学辞海》总编辑委员会.《数学辞海》第1卷[M].南京：东南大学出版社，2002：514-515.
[2]同济大学数学系，高等数学（上册）：第七版[M].北京：高等教育出版社，2014：101-110.
