突破解三角形中的“选择综合征”
时间：2021-02-10 00:04:53 来源：达达文档网 本文已影响 人 
林丽娟
【摘要】在高考备考复习中发现，尽管已经过一轮复习，但学生仍对有些知识点或基本题型存在固化误区或“选择难”“入手难”的问题.如果我们能从学生的角度出发，从学生的困惑出发，将各基本题型进行针对性的归纳总结，再以微专题的形式展示给学生，势必会达到事半功倍的效果.现就解三角形中的困惑进行探讨，这一类型，学生的盲点在于其困惑如何选择，也就是通常所讲的“选择综合征”，如何将其突破，以便于在复习中达到绝佳效果，值得探究.
【关键词】解三角形;正余弦定理;全国卷高考复习;“选择综合征”
运用正、余弦定理解三角形是全国卷中的必考题型，也是同学们容易失分的基础题型，总是纠结于“选什么”“如何选”等问题，而这类“选择综合征”也让他们总是“摸不着头脑”，时而会时而不会，极其不稳定.立足于学生平时解题中的困惑，“选择困难症”一般分别為：① 正余弦定理的选择;② 三角形的选择;③ 变量的选择.本文围绕如何突破这一难点，结合笔者的教学经验，谈谈想法，举例探析，供读者参考.
一、合理选择正、余弦定理优化解题
解三角形时，要分析和研究问题中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的.是否能根据题目中的已知条件，灵活选取正、余弦定理解三角形，也就尤为重要.
例1 在△ABC中，已知a=22，b=4，A=30°，求S△ABC.
另外，我们也可以从被求的面积出发，不难推出，只需再得到c边就可以迎刃而解.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，即8=16+c2-8c·3 2，即c2-43c+8=0，由方程解得c=23±2，再分类讨论，从而利用公式S△ABC=1 2bcsinA 求三角形面积.解三角形要根据题设条件合理选择正、余弦定理，可用正弦定理也可用余弦定理时，要注意这两种方法的利弊之处，也要注意正、余弦定理间的共性，从而更有效地解题.
二、合理选择三角形优化解题
当遇到多个三角形时，如何根据题设条件及求解对象合理选择三角形？基本原则是要目标明确，把所有的条件“已知—可知—未知”尽可能集中在某个三角形中，利用正、余弦定理建立等量关系，用方程思想化之解之.
例2 （2013年高考全国课标Ⅰ卷）如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°.
（1）若PB=1 2，求PA的长;
（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA.
解析 本题第一小题引导学生观图分析已知量和未知量在哪个三角形中，所解的三角形若条件不足“三个”，应弄清缺什么条件，这些条件怎样由已知推出.第二小题引导学生利用方程思想解三角形，让学生体会方程思想在解三角形中的应用.我们直接看一下第二小题：
（2）设∠PBA=θ，则∠PBC=90°-θ，在Rt△PBC中，BC=1，∴BP=cos（90°-θ）=sinθ.
在△ABP中，由正弦定理得：
显然，第二种方法简单许多，把尽可能多的边角关系集中在一个三角形中，再利用正、余弦定理用方程思想将其化简.本例中有多个三角形，应先根据条件画图，通常选择条件较多的三角形及目标三角形.本例第二问我们就是根据方程思想，直接解三角形条件不足时，引入一个变量解三角形，尽可能集中在某个可关联边角的三角形中.
三、合理选择变量优化解题
如果所要解的三角形条件不足，能否根据题中的信息结合图形进行观察、比较，恰当地选择一个变量结合函数或方程思想进行求解呢？
例3 在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，则四边形ABCD面积的最大值为.
解析 合理设元，由SAS可确定三角形、建立函数关系求最值.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求 解能力，考查化
例3变形 如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，则△BCD面积的最大值为
解析 此小题较难，难点在于如何设元、如何合理选择变量.求△BCD的面积要先设出∠ACB=β，而在△ABC中已知AB=1，BC=2，设出∠ABC=α，由两边一夹角，三角形是确定的（可解），可表示出边AC，不妨设AC=a，如何转化变量也是个难点.
在△ABC中，设∠ABC=α，AC=a，
由余弦定理得：a2=12+22-2×1×2cosα=5-4cosα，
（转化变量，消去边）在△ABC中，由正弦定理得：
在高考复习中，如果能从学生的盲点、纠结点出发，帮助学生适当理清、剖析，再以微专题的形式展示给学生，那么复习势必会达到事半功倍的效果.“他山之石，可以攻玉”，希望学生在复习的路上能少走些弯路，直捣黄龙.我们也希望成功的课堂教学能“常态化”，在高考的备考路上渐行渐稳.当然，在复习过程中这也是在培养学生自学能力、迁移能力，提高学生分析问题和解决问题的能力，掌握科学的学习方法，形成良好的思维习惯，培养数学核心素养.教学相长，培养学生的同时，教师的专业素养也得到了相应的提升，希望早日由“教书匠”向“研究型”乃至“专家型”教师过渡.
【参考文献】
[1]苏建强.优化教学过程，提高例题教学的有效性[J].中学数学教学参考，2007（9）：9-10.
[2]鞠妍.一道反复用作压轴的高考题——高考复习的一些思考[J].中数数学，2011（5）：46-48.
