1415届,中考数学平面几何经典题

1.(2014江苏南京)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E做EF∥AB，交BC于点F．(1)求证：四边形DBFE是平行四边形；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形，为什么？ 2.(2014江苏南京) [问题提出] 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． [初步思考] 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E．然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． [深入探究] 第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF． (1)如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据________，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF． 第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF． (2)如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF． 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等． (3)在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不写作法，保留作图痕迹)． (4)∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接填写结论：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，若________，则△ABC≌△DEF． 3.(2014江苏苏州)如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为()。

4.(2014江苏苏州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB．连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF． (1)求证：△BCD≌△FCE；

(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数． 6.(2014江苏泰州)如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC． (1)求证：BE＝AF；

(2)若∠ABC＝60°，BD＝6，求四边形ADEF的面积． 7.(2014江苏无锡)如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于________． 8.(2014江苏无锡)如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于________． 9.(2014江苏无锡)如图，已知点P是半径为1的⊙A上一点，延长AP到C，使PC＝AP，以AC为对角线作□ABCD，若，则□ABCD面积的最大值为________． 10.(2014江苏无锡)如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值是________． 11.(2014江苏徐州)如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝________°． 12.(2014江苏徐州)已知：如图，在□ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形． 13.(2014江苏扬州)如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝() 14.(2014江苏扬州)如图，△ABC的中位线DE＝5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△ABC的面积为________cm2． 15.(2014江苏扬州)如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H． (1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；

(2)连结CG，求证：四边形CBEG是正方形． 16.(2014江苏扬州)已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处． (1)如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA． ①求证：△OCP∽△PDA；

②若△OCP与△PDA的面积比为1︰4，求边AB的长；

(2)若图1中的点P恰巧是CD边的中点，求∠OAB的度数；

(3)如图2，在(1)的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；

若不变，求出线段EF的长度． 17.(2014江苏南通)如图，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为() 18.(2014江苏南通)如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，连接AC，∠DAC＝∠BAC．若BC＝4cm，AD＝5cm，则AB＝________cm． 19.(2014江苏南通)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为AB上一点，AE＝1，M为射线AD上一动点，AM＝a(a为大于0的常数)，直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于G． (1)若M为边AD中点，求证：△EFG是等腰三角形；

(2)若点G与点C重合，求线段MG的长；

(3)请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值． 20.(2014江苏盐城)如图，在矩形ABCD中，，AD＝1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是________． 21.(2014江苏盐城)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn的值为________．(用含n的代数式表示，n为正整数) 22.(2014江苏盐城)[问题情境]张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图 ①，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD＋PE＝CF． 小军的证明思路是：如图 ②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD＋PE＝CF． 小俊的证明思路是：如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD＋PE＝CF． [变式探究]如图 ③，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD－PE＝CF；

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：[结论运用]如图 ④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝8，CF＝3，求PG＋PH的值；

[迁移拓展]图 ⑤是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE＝DE•BC，dm，AD＝3dm，dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和． 23.(2014江苏淮安)如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为________． 24.(2014江苏淮安)如图1，矩形OABC顶点B的坐标为(8，3)，定点D的坐标为(12，0)，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒． (1)当t＝________时，△PQR的边QR经过点B；

(2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；

(3)如图2，过定点E(5，0)作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN＝45°，求t的值． 25.(2014江苏宿迁)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是() 26.(2014江苏宿迁)如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是________． 27.(2014江苏宿迁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD＝4，CD＝2，则AB的长是________． 28.(2014江苏宿迁)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高． (1)求证：四边形ADEF是平行四边形；

(2)求证：∠DHF＝∠DEF． 29.(2014江苏宿迁)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝4cm，CD＝5cm．动点P从点B开始沿折线BC－CD－DA以1cm／s的速度运动到点A．设点P运动的时间为t(s)，△PAB面积为S(cm2)． (1)当t＝2时，求S的值；

(2)当点P在边DA上运动时，求S关于t的函数表达式；

(3)当S＝12时，求t的值． 30.(2014江苏宿迁)如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD＝∠BCE＝90°，点M为DE的中点．过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．   (1)当A，B，C三点在同一直线上时(如图1)，求证：M为AN的中点；

(2)将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时(如图2)，求证：△ACN为等腰直角三角形；

(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，(2)中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由． 31.(2014江苏常州)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知Rt△DOE，∠DOE＝90°，OD＝3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC＝5．∠ACB＋∠ODE＝180°，∠ABC＝∠OED，BC＝DE．按下列要求画图(保留作图痕迹)：

(1)将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN(其中点D的对应点为点M，点E的对应点为点N)，画出△OMN；

(2)将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′(其中点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′)，使得B′C′与(1)中的△OMN的边NM重合；

(3)求OE的长． 32.(江苏泰州)如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是() 34.(江苏泰州)如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为________． 35.(江苏泰州)如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为________． 36.(2015·泰州中考)如图所示，正方形ABCD的边长为8cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE=BF=CG=DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形.(2)判断直线EG是否经过某一定点，说明理由.(3)求四边形EFGH面积的最小值. 37.(江苏淮安)将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是________°． 38.(江苏淮安)已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F在边AD上，且AE＝DF．求证：BF＝CE． 39.(江苏淮安)阅读理解：如图①，如果四边形ABCD满足AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D＝90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE、CF为折痕，∠BCE＝∠ECF＝∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′、FD′相交于点O． 简单应用：

(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是________；

(2)当图③中∠BCD＝120°时，∠AEB′＝________°；

(3)当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有________个(包含四边形ABCD)．拓展提升：当图③中的∠BCD＝90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由． 40.(江苏淮安)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；

同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN．当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当t＝________秒时，动点M、N相遇；

(2)设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

(3)取线段PM的中点K，连接KA、KC．在整个运动过程中，△KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；

若不变化，请说明理由． 41.(镇江)如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等的等腰三角形，AB＝AC＝3cm，BC＝2cm．将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连结AC1、BD1．如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为________cm． 42.(镇江)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别延长OA、OC到点E、F，使AE＝CF，依次连结B、F、D、E各点． (1)求证：△BAE≌△BCF；

(2)若∠ABC＝50°，则当∠EBA＝________°时，四边形BFDE是正方形． 43.(2015·镇江中考)某兴趣小组开展课外活动.如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他(CD)在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他(GH)在一灯光下的影长为BH(点C，E，G在一条直线上).(1)请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM(不写画法)；

(2)求小明原来的速度. 44.(江苏南通)如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝________度． 45.(2015·南通中考)如图，在ꎬABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD.(1)求证：△AED≌△CFB.(2)若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF. 46.(江苏南通)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，点P，Q分别在BC，AC上，CP＝3x，CQ＝4x(0＜x＜3)．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上． (1)求证：PQ∥AB；

(2)若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；

(3)若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围． 47.如图，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H． (1)求证：四边形EGFH是矩形． (2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．过G作MN∥EF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQ∥EF，分别交AB、CD于点P、Q，得到四边形MNQP．此时，他猜想四边形MNQP是菱形．请在下表中补全他的证明思路．小明的证明思路 由AB∥CD，MN∥EP，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形．要证□MNQP是菱形，只要证NM＝NQ．由已知条件________，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH．易证________，________，故只要证∠MGE＝∠QFH．易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，________，即可得证． 48.如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3) 49.(苏州)如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE＝CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC＝18，BC＝12，则△CEG的周长为________． 50.(2015·苏州中考)如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4.设AB=x，AD=y，则x2+(y－4)2的值为__________. 51.(苏州)如图，在矩形ABCD中，AD＝acm，AB＝bcm(a＞b＞4)，半径为2cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达点D时停止移动；

⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置(即再次与AB相切)时停止移动．已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动(即同时到达各自的终止位置)． (1)如图(1)，点P从A→B→C→D，全程共移动了________cm(用含a、b的代数式表示)；

(2)如图(1)，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点．若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；

(3)如图(2)，已知a＝20，b＝10．是否存在如下情形：当⊙O到达⊙O1的位置时(此时圆心O1在矩形对角线BD上)，DP与⊙O1恰好相切？请说明理由． 52.(2015·江苏连云港)在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是__________.53.(2015连云港)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2．且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为________． 54.(2015·连云港中考)如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E.(1)求证：∠EDB=∠EBD.(2)判断AF与DB是否平行，并说明理由. 55.(2015连云港)在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．     (1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由． (2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．     (3)如图3，若小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．     56.（常州）将一张宽为4cm的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是() 57.(2015常州)如图，在□ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形.(1)求证：AE=AF；

(2)求∠EAF的度数. 58.（常州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°． (1)若AD＝2，求AB；

(2)若，求AB． 59.（扬州）如图，已知矩形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若矩形纸片的一组对边与直角三角形纸片的两条直角边相交成∠1、∠2，则∠2－∠1＝________． 60.（扬州）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF＝________． 61.(2015·扬州中考)如图，已知△ABC的三边长为a、b、c，且a

(2)若AD＝10，DC＝3，∠EBD＝60°，则EB＝________时，四边形BFCE是菱形． 67.(2015盐城)设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；

如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；

…，依此类推，则Sn可表示为________．(用含n的代数式表示，其中n为正整数) 68.（盐城）如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上．已知EP＝FP＝4，，∠BAD＝60°，且． (1)求∠EPF的大小；

(2)若AP＝6，求AE＋AF的值；

(3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值． 69.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F． (1)求证：四边形BDFC是平行四边形；

(2)若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

不推荐真的是可惜了。