2019年江西省宜春市中考数学二模试卷

2019年江西省宜春市中考数学二模试卷 一、单选题（本大題共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）的倒数是（　　）
A．﹣5 B．5 C． D． 2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．2a+3b＝5ab C．a8÷a2＝a6 D．（a2b）2＝a4b 3．（3分）如图所示为某几何体的示意图，该几何体的左视图应为（　　）
A． B． C． D． 4．（3分）某县招聘初中数学教师，入围的6名考生的面试成绩分别为83分、84分、81分、84分、82分、88分，则这组数据的中位数为（　　）
A．81分 B．84分 C．83分 D．83.5分 5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（　　）
A．12 B．15 C．16 D．18 6．（3分）若二次函数y＝ax2+（a+2）x+4a的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜1＜x2，则a的取值范围是（　　）
A．﹣＜a＜﹣ B．﹣＜a＜0 C．0＜a＜ D．＜a＜ 二、填空题（本大题共6小題，毎小题3分，共18分）
7．（3分）2019年春运3月1日顺利结束．交通运输部2日发布的数据显示，春运40天，全国旅客发送量达29.8亿人次．将数据“29.8亿”用科学记数法表示为　 　． 8．（3分）分解因式：ab2﹣2ab+a＝　 　． 9．（3分）如果α，β是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，则α2+4α+β+2019的值是　 　． 10．（3分）已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为　 　． 11．（3分）如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝35°，CO⊥DO，OC＝OB，OD交CB于点E，则∠CED＝　 　． 12．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为　 　． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算（2017﹣π）0+﹣2cos45°+（）﹣1 （2）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分別是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形． 14．（6分）化简分式：（﹣）÷并从﹣2≤a≤2中选一个你认为合适的整数代入求值． 15．（6分）如图，在正五边形ABCDE中，CA与DB相交于点F，若AB＝1，求BF． 16．（6分）从1名男生和3名女生中随机抽取参加“我爱苏州”演讲比赛的同学． （1）若抽取1名，恰好是男生的概率为　 　；

（2）若抽取2名，求恰好是2名女生的概率．（用树状图或列表法求解）
17．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，请仅用无刻度的直尺在下列图形中按要求画图． （1）在图1中，已知OD⊥BC于点D，画出∠A的角平分线；

（2）在图2中，已知OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，画出∠A的角平分线． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注，为此某记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A．无所谓；
B．基本赞成；
C．赞成；
D．反对）．并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了　 　名中学生家长；

（2）将图1补充完整；

（3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区6000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？ 19．（8分）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板AB始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC绕着转轴B旋转．已知连接杆BC的长度为20cm，BD＝cm，压柄与托板的长度相等． （1）当托板与压柄的夹角∠ABC＝30°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度． （2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座垂直，如图②．求这个过程中，点E滑动的距离．（结果保留根号）
20．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB的一条直角边OA在x轴的正半轴上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，且∠BAO＝90°，S△AOB＝2． （1）求k的值及点A的坐标；

（2）△OAB沿直线OB平移，当点A恰好在双曲线上时，求平移后点A的对应点A＇的坐标． 五、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
21．（10分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求证：CE2＝EH•EA；

（3）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长． 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的伴随直线为y＝a（x﹣h）+k．例如：抛物线y＝2（x+1）2﹣3的伴随直线为y＝2（x+1）﹣3，即y＝2x﹣1． （1）在上面规定下，抛物线y＝（x+1）2﹣4的顶点坐标为　 　，伴随直线为　 　，抛物线y＝（x+1）2﹣4与其伴随直线的交点坐标为　 　和　 　；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝m（x﹣1）2﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D． ①若∠CAB＝90°，求m的值；

②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值． 23．（10分）如图，正方形ABCD中，E，F是正方形内两点，BE∥DF，EF⊥BE，为探索研究这个图形的特殊性质，某数学学习小组经历了如下过程：
初步体验 如图1，连接BD，若BE＝DF，求证：EF与BD互相平分． 规律探究 （1）如图1中，（BE+DF）2+EF2＝　 　AB2． （2）如图2，若BE≠DF，其他条件不变，（1）中的数量关系是否会发生变化？如果不会，请证明你的结论；
如果会发生变化，请说明理由． 拓展应用 如图3，若AB＝4，∠DPB＝135°，BP+2PD＝4，求PD的长． 2019年江西省宜春市中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、单选题（本大題共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）的倒数是（　　）
A．﹣5 B．5 C． D． 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【解答】解：﹣的倒数是﹣5． 故选：A． 【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．2a+3b＝5ab C．a8÷a2＝a6 D．（a2b）2＝a4b 【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；

B、原式不能合并，错误；

C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；

D、原式利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、a2•a3＝a5，本选项错误；

B、2a+3b不能合并，本选项错误；

C、a8÷a2＝a6，本选项正确；

D、（a2b）2＝a4b2，本选项错误． 故选：C． 【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（3分）如图所示为某几何体的示意图，该几何体的左视图应为（　　）
A． B． C． D． 【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案． 【解答】解：从左边看是一个矩形，中间有一条水平平的虚线， 故选：C． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，注意看不到的线用虚线表示． 4．（3分）某县招聘初中数学教师，入围的6名考生的面试成绩分别为83分、84分、81分、84分、82分、88分，则这组数据的中位数为（　　）
A．81分 B．84分 C．83分 D．83.5分 【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【解答】解：入围的6名考生的面试成绩低到高排列：81分、82分、83分、84分、84分、88分， 故中位数为， 故选：D． 【点评】此题考查了中位数的求法，正确理解中位数的意义是解题的关键． 5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（　　）
A．12 B．15 C．16 D．18 【分析】由角平分线的性质可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△AOB、△BOC、△AOC面积的比实际为AB，BC，AC三边的比． 【解答】解：∵点O是三条角平分线的交点， ∴点O到AB，AC的距离相等， ∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝8：6＝4：3． ∵△ABO的面积为20， ∴△ACO的面积为15． 故选：B． 【点评】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 6．（3分）若二次函数y＝ax2+（a+2）x+4a的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜1＜x2，则a的取值范围是（　　）
A．﹣＜a＜﹣ B．﹣＜a＜0 C．0＜a＜ D．＜a＜ 【分析】由根的判别式大于0和（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，求出a的范围即可；

【解答】解：由已知得：a≠0且△＝（a+2）2﹣16a2＞0 解得：，且a≠0， ∵x1＜1＜x2， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0， ∴， 解得：， 综合以上可得，． 故选：B． 【点评】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式及根与系数的关系，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0． 二、填空题（本大题共6小題，毎小题3分，共18分）
7．（3分）2019年春运3月1日顺利结束．交通运输部2日发布的数据显示，春运40天，全国旅客发送量达29.8亿人次．将数据“29.8亿”用科学记数法表示为　2.98×109　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将数据“29.8亿”用科学记数法表示为2.98×109， 故答案为：2.98×109． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 8．（3分）分解因式：ab2﹣2ab+a＝　a（b﹣1）2　． 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：ab2﹣2ab+a， ＝a（b2﹣2b+1）， ＝a（b﹣1）2． 【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解． 9．（3分）如果α，β是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，则α2+4α+β+2019的值是　2018　． 【分析】因为α，β是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，所以a2+3a﹣2＝0即a2+3a＝2，a+β＝﹣3，利用一元二次方程根的定义及根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根， ∴a2+3a﹣2＝0即a2+3a＝2，a+β＝﹣3 ∵α2+4α+β+2019＝（α2+3α）+（α+β）+2019＝2+（﹣3）+2019 ∴α2+4α+β+2019＝2018 故答案为：2018 【点评】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，把α2+4α+β+2019＝α2+3α+α+β+2019解题的关键． 10．（3分）已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为　15π　． 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×5÷2＝15π． 【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法． 11．（3分）如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝35°，CO⊥DO，OC＝OB，OD交CB于点E，则∠CED＝　107.5°　． 【分析】根据∠CED＝∠C+∠COE，求出∠C即可解决问题． 【解答】解：∵OC＝OB， ∴∠C＝∠OBC， ∵∠AOC＝∠C+∠OBC＝35°， ∴∠C＝×35°＝17.5°， ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠CED＝∠C+∠COD＝17.5°+90°＝107.5°， 故答案为107.5°． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 12．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为　40°或70°或100°　． 【分析】连结AP，如图，由旋转的性质得OP＝OB，则可判断点P、C在以AB为直径的圆上，利用圆周角定理得∠BAP＝∠BOP＝α，∠ACP＝∠ABP＝90°﹣α，∠APC＝∠ABC＝70°，然后分类讨论：当AP＝AC时，∠APC＝∠ACP，即90°﹣α＝70°；
当PA＝PC时，∠PAC＝∠ACP，即α+20°＝90°﹣α，；
当CP＝CA时，∠CAP＝∠CAP，即α+20°＝70°，再分别解关于α的方程即可． 【解答】解：连结AP，如图， ∵点O是AB的中点， ∴OA＝OB， ∵OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP， ∴OP＝OB， ∴点P在以AB为直径的圆上， ∴∠BAP＝∠BOP＝α，∠APC＝∠ABC＝70°， ∵∠ACB＝90°， ∴点P、C在以AB为直径的圆上， ∴∠ACP＝∠ABP＝90°﹣α，∠APC＝∠ABC＝70°， 当AP＝AC时，∠APC＝∠ACP， 即90°﹣α＝70°，解得α＝40°；

当PA＝PC时，∠PAC＝∠ACP， 即α+20°＝90°﹣α，解得α＝70°；

当CP＝CA时，∠CAP＝∠CAP， 即α+20°＝70°，解得α＝100°， 综上所述，α的值为40°或70°或100°． 故答案为40°或70°或100°． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是用α表示∠ACP和∠CAP，再运用分类讨论的思想和等腰三角形的性质建立关于α的方程． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算（2017﹣π）0+﹣2cos45°+（）﹣1 （2）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分別是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形． 【分析】（1）首先计算零次幂、化简二次根式、特殊角的三角函数，负整数指数幂，然后再计算加减即可；

（2）利用中位线定理可得ED∥AC，ED＝AC，DF∥AB，DF＝AB，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形，再证明ED＝FD可得结论． 【解答】（1）解：原式＝1+2﹣2×+2， ＝1+2﹣+2， ＝3+；

（2）证明：∵D，E，F分別是BC，AB，AC的中点， ∴ED∥AC，ED＝AC，DF∥AB，DF＝AB， ∵ED∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴ED＝FD， ∴四边形AEDF是菱形． 【点评】此题主要考查了实数的计算和菱形的判定，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；
一组邻边相等的平行四边形是菱形． 14．（6分）化简分式：（﹣）÷并从﹣2≤a≤2中选一个你认为合适的整数代入求值． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2≤a≤2中选一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：（﹣）÷ ＝ ＝ ＝， 当a＝1时，原式＝． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 15．（6分）如图，在正五边形ABCDE中，CA与DB相交于点F，若AB＝1，求BF． 【分析】首先证明AB＝AF＝1，BF＝CF，设BF＝CF＝x，利用相似三角形的性质，构建方程即可解决问题． 【解答】解：在正五边形ABCDE中，∵∠ABC＝∠DCB＝108°，BC＝BA＝CD， ∴∠BAC＝∠BCA＝∠CDB＝∠CBD＝36°， ∴∠ABF＝72°， ∴∠AFB＝∠CBD+∠ACB＝72°， ∴∠AFB＝∠ABF，∠FCB＝∠FBC， ∴AF＝AB＝1，FB＝CF，设FB＝FC＝x， ∵∠BCF＝∠BCA，∠CBF＝∠CAB， ∴△BCF∽△ACB， ∴CB2＝CF•CA， ∴x（x+1）＝1， ∴x2+x﹣1＝0， ∴x＝或（舍去）， ∴BF＝． 【点评】本题考查正五边形与圆，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16．（6分）从1名男生和3名女生中随机抽取参加“我爱苏州”演讲比赛的同学． （1）若抽取1名，恰好是男生的概率为　　；

（2）若抽取2名，求恰好是2名女生的概率．（用树状图或列表法求解）
【分析】（1）由1名男生和3名女生中随机抽取参加“我爱苏州”演讲比赛，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是2名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）∵1名男生和3名女生中随机抽取参加“我爱苏州”演讲比赛， ∴抽取1名，恰好是男生的概率为：；

故答案为：；

（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好是2名女生的有6种情况， ∴恰好是2名女生的概率为：＝． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 17．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，请仅用无刻度的直尺在下列图形中按要求画图． （1）在图1中，已知OD⊥BC于点D，画出∠A的角平分线；

（2）在图2中，已知OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，画出∠A的角平分线． 【分析】（1）直接利用垂径定理结合圆周角定理得出答案；

（2）直接利用垂径定理结合圆周角定理得出答案． 【解答】解：（1）如图1所示：AM即为所求；

（2）如图2所示：AN即为所求． 【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握垂径定理以及圆周角定理是解题关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注，为此某记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：
A．无所谓；
B．基本赞成；
C．赞成；
D．反对）．并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了　200　名中学生家长；

（2）将图1补充完整；

（3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区6000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？ 【分析】（1）根据“基本赞成”的人数除以所占的百分比即可求出总人数；

（2）由总人数减去其它的人数求出“赞成”的人数，补全统计图即可；

（3）根据200人中“反对”的人数为120人求出反对人数所占的百分比，即可求出6000名中学生家长中持反对态度的人数． 【解答】解：（1）根据题意得：40÷20%＝200（人）， 则此次抽样调查中，共调查了200名中学生家长；

（2）“赞成”的人数为200﹣（30+40+120）＝10（人）， 补全条形统计图，如图所示；

（3）根据题意得：6000×＝3600（人）， 则6000名中学生家长中持反对态度的人数为3600人． 【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键． 19．（8分）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板AB始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC绕着转轴B旋转．已知连接杆BC的长度为20cm，BD＝cm，压柄与托板的长度相等． （1）当托板与压柄的夹角∠ABC＝30°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度． （2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座垂直，如图②．求这个过程中，点E滑动的距离．（结果保留根号）
【分析】（1）如图1中，作DH⊥BE于H．求出DH，BH即可解决问题． （2）解直角三角形求出BE即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥BE于H． 在Rt△BDH中，∵∠DHB＝90°，BD＝4cm，∠ABC＝30°， ∴DH＝BD＝2（cm），BH＝DH＝6（cm）， ∵AB＝CB＝20cm，AE＝2cm， ∴EH＝20﹣2﹣6＝12（cm）， ∴DE＝＝＝2（cm）． （2）在Rt△BDE中，∵DE＝2，BD＝4，∠DBE＝90°， ∴BE＝＝6（cm）， ∴这个过程中，点E滑动的距离（18﹣6）cm． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB的一条直角边OA在x轴的正半轴上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，且∠BAO＝90°，S△AOB＝2． （1）求k的值及点A的坐标；

（2）△OAB沿直线OB平移，当点A恰好在双曲线上时，求平移后点A的对应点A＇的坐标． 【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义，S△AOB＝2，即可求得k＝4，然后应用三角形面积公式即可求得OA＝2，从而求得A点的坐标；

（2）求得直线OB的解析式，然后求得平移后的解析式，联立方程解方程即可求得． 【解答】解：（1）∵S△AOB＝2，点B在双曲线上， ∴k＝2S△AOB＝2×2＝4， ∵△OAB是等腰直角三角形，且∠BAO＝90°， ∴ ∴OA＝AB＝2， ∴A（2，0）；

（2）∵△OAB沿直线OB平移， ∴AA′∥OB，设AA′与y轴交于点E， ∴由AB＝2可得OE＝2， ∴y＝x﹣2， 解方程组得或 ∴平移后的点A′的坐标为（，﹣1）或（﹣+1，﹣﹣1）． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，坐标和图象变换，明确OAB沿直线OB平移，则AA′∥OB是解题的关键． 五、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
21．（10分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求证：CE2＝EH•EA；

（3）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长． 【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB＝∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，即可得出BD是⊙O的切线；

（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE＝∠ECB，再由公共角∠CEA＝∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；

（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB＝90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出 EA，得出BE＝CE＝6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可． 【解答】（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠ABC， ∵OF⊥BC， ∴∠BFD＝90°， ∴∠ODB+∠DBF＝90°， ∴∠ABC+∠DBF＝90°， 即∠OBD＝90°， ∴BD⊥OB， ∴BD是⊙O的切线；

（2）证明：连接AC，如图1所示：
∵OF⊥BC， ∴， ∴∠CAE＝∠ECB， ∵∠CEA＝∠HEC， ∴△CEH∽△AEC， ∴， ∴CE2＝EH•EA；

（3）解：连接BE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵⊙O的半径为5，sin∠BAE＝， ∴AB＝10，BE＝AB•sin∠BAE＝10×＝6， ∴EA＝＝＝8， ∵， ∴BE＝CE＝6， ∵CE2＝EH•EA， ∴EH＝＝， 在Rt△BEH中，BH＝＝＝． 【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；
本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果． 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的伴随直线为y＝a（x﹣h）+k．例如：抛物线y＝2（x+1）2﹣3的伴随直线为y＝2（x+1）﹣3，即y＝2x﹣1． （1）在上面规定下，抛物线y＝（x+1）2﹣4的顶点坐标为　（﹣1，﹣4）　，伴随直线为　y＝x﹣3　，抛物线y＝（x+1）2﹣4与其伴随直线的交点坐标为　（0，﹣3）　和　（﹣1，﹣4）　；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝m（x﹣1）2﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D． ①若∠CAB＝90°，求m的值；

②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值． 【分析】（1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；

（2）①可先用m表示出A、B、C、D的坐标，利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2，在Rt△ABC中由勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值；
②由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，则可用x表示出PQ的长，进一步表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可得到m的方程，可求得m的值． 【解答】解：
（1）∵y＝（x+1）2﹣4， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）， 由伴随直线的定义可得其伴随直线为y＝（x+1）﹣4，即y＝x﹣3， 联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或， ∴其交点坐标为（0，﹣3）和（﹣1，﹣4）， 故答案为：（﹣1，﹣4）；
y＝x﹣3；
（0，﹣3）；
（﹣1，﹣4）；

（2）①∵抛物线解析式为y＝m（x﹣1）2﹣4m， ∴其伴随直线为y＝m（x﹣1）﹣4m，即y＝mx﹣5m， 联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或， ∴A（1，﹣4m），B（2，﹣3m）， 在y＝m（x﹣1）2﹣4m中，令y＝0可解得x＝﹣1或x＝3， ∴C（﹣1，0），D（3，0）， ∴AC2＝4+16m2，AB2＝1+m2，BC2＝9+9m2， ∵∠CAB＝90°， ∴AC2+AB2＝BC2，即4+16m2+1+m2＝9+9m2，解得m＝（抛物线开口向下，舍去）或m＝﹣， ∴当∠CAB＝90°时，m的值为﹣；

②设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∵B（2，﹣3m），C（﹣1，0）， ∴，解得， ∴直线BC解析式为y＝﹣mx﹣m， 过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图， ∵点P的横坐标为x， ∴P（x，m（x﹣1）2﹣4m），Q（x，﹣mx﹣m）， ∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点， ∴PQ＝m（x﹣1）2﹣4m+mx+m＝m（x2﹣x﹣2）＝m[（x﹣）2﹣]， ∴S△PBC＝×[（2﹣（﹣1）]PQ＝m（x﹣）2﹣m， ∴当x＝时，△PBC的面积有最大值﹣m， ∴S取得最大值时，即﹣m＝，解得m＝﹣2． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、函数的图象的交点、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中注意伴随直线的定义的理解，在（2）①中分别求得A、B、C、D的坐标是解题的关键，在（2）②中用x表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 23．（10分）如图，正方形ABCD中，E，F是正方形内两点，BE∥DF，EF⊥BE，为探索研究这个图形的特殊性质，某数学学习小组经历了如下过程：
初步体验 如图1，连接BD，若BE＝DF，求证：EF与BD互相平分． 规律探究 （1）如图1中，（BE+DF）2+EF2＝　2　AB2． （2）如图2，若BE≠DF，其他条件不变，（1）中的数量关系是否会发生变化？如果不会，请证明你的结论；
如果会发生变化，请说明理由． 拓展应用 如图3，若AB＝4，∠DPB＝135°，BP+2PD＝4，求PD的长． 【分析】初步体验：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得：四边形EBFD是平行四边形，再由平行四边形的对角线互相平分得结论；

规律探究：
（1）如图2，作辅助线，构建矩形GEFD，利用勾股定理列方程并与矩形的对边相等相结合可得结论；

（2）如图3，同理可得结论；

拓展应用：
如图4，类比如图2，构建矩形GEPD，设BE＝EG＝x，PD＝EG＝y，则BP＝x由勾股定理得：BG2+DG2＝BD2，则（x+y）2+x2＝（4）2，由已知得：BP+2PD＝4，则2x+2y＝4②，解①和②可得结论． 【解答】初步体验 证明：如图1，连接ED、BF， ∵BE＝DF，BE∥DF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴EF与BD互相平分；

规律探究 （1）如图2，过D作DG⊥BE，交BE的延长线于G， ∴∠EGD＝∠GEF＝∠EFD＝90°， ∴四边形GEFD是矩形， ∴EF＝GD，EG＝DF， 在Rt△BGD中，BG2+DG2＝BD2， ∴（BE+EG）2+EF2＝BD2， ∵△ABD是等腰直角三角形， ∴BD2＝2AB2， ∴（BE+DF）2+EF2＝2AB2， 故答案为：2；

（2）不会发生变化，如图3，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立， 理由是：过D作DG⊥BE，交BE的延长线于G， ∴∠EGD＝∠GEF＝∠EFD＝90°， ∴四边形GEFD是矩形， ∴EF＝GD，EG＝DF， 在Rt△BGD中，BG2+DG2＝BD2， ∴（BE+EG）2+EF2＝BD2， ∵△ABD是等腰直角三角形， ∴BD2＝2AB2， ∴（BE+DF）2+EF2＝2AB2， 拓展应用 如图4，过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE，过D作DG⊥BE，得矩形GEPD， ∴GD＝EP，EG＝PD， 设BE＝EG＝x，PD＝EG＝y，则BP＝x ∵AB＝4， ∴BD＝4， 在Rt△BGD中，由勾股定理得：BG2+DG2＝BD2， ∴（x+y）2+x2＝（4）2， ∴2x2+2xy+y2＝32 ①， ∵BP+2PD＝4， ∴2x+2y＝4②， 解①和②得：， ∴PD＝2﹣2． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形和矩形的性质和判定，并根据勾股定理列方程解决问题，本题的关键是作辅助线，构建矩形和直角三角形，并运用了类比的思想，使问题得以解决．