2015-2016江苏省常州市高二上学期期末考试数学理试卷版
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201５-２016学年江苏省常州市高二上学期期末考试数学(理)试卷２01６年1月 注意事项：
１.本试卷满分160分,考试用时12０分钟． 本试卷部分试题设置文科及理科选做题,请考生根据选科类别答题． 2．答题时,填空题和解答题的答案写在答题卡上对应题目的区域内,答案写在试卷上无效．本卷考试结束后，上交答题卡． 3．本场考试不得使用计算器或带有计算功能的电子词典等. 参考公式: 锥体的体积公式:,其中表示底面积,表示高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题５分,共计70分．不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡相应的位置上. 1．若点在直线上,则实数ａ的值为 ▲ ． ２．抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ . ３.命题“若是锐角,则＂的逆否命题为 ▲ . 4.若直线与直线垂直，则实数a的值为 ▲ ． 5.（文科做)当函数取到极值时，实数ｘ的值为 ▲ ． （理科做)已知空间向量,且，则实数的值为 ▲ ． 6． 已知双曲线上一点Ｍ到一个焦点的距离等于２,则点M到另一个焦点的 距离为 ▲ ． 7.已知正四棱锥的高为4，侧棱长为,则该棱锥的体积为 ▲ . P A B C E F (第9题理科图）
8． 若两条直线互相平行, 则这两条直线之间的距离为 ▲ . ９．(文科做)已知曲线在点处的切线方程 是,则的值为 ▲ . (理科做）如图，在三棱锥中,已知平面， ，,分别为棱的中点， 则异面直线与所成的角的余弦值为 ▲ ． 10．已知集合,.若““是“”的充
分不必要条件,则实数a的取值范围为
▲ . 11． 已知圆，圆,若过点的直线被圆所 截得的弦长为,则直线的方程为 ▲ ． 12． 已知椭圆与定点,Ｆ是椭圆C的右焦点,点M是椭圆C上的动点， 则当取最小值时,点M的坐标为 ▲ . 13． 给出下列四个命题: ①“直线没有公共点”是“直线为异面直线”的必要不充分条件；
②“直线和平面所成的角相等“是“直线平行”的充分不必要条件；
③“直线l平行于两个相交平面”是“直线l与平面的交线平行”的充要条件；
④“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线”的必要不充分条件． 其中,所有真命题的序号是 ▲ . 14． 在平面直角坐标系中，设A,B,P是椭圆上的三个动点,且. 动点Ｑ在线段AＢ上，且，则的取值范围为 ▲ . 1、本题学生可能从特殊情况入手处理；
2、Q点的轨迹是重点，在处理完之后还涉及到两个二次曲线上的点的距离。有相当难度。
二、解答题:本大题共6小题，共计9０分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
１5.(本小题满分１４分) 已知函数，.:,；
:,． （1）若为真命题,求的取值范围; （2）若为真命题,求的取值范围; （３)若“且”为假命题,“非”为假命题，求的取值范围. 16．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中,已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为,且双曲线C与斜率为2的直线有一个公共点. （1)求双曲线C的方程及它的渐近线方程; (2）求以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程. 1７.(本小题满分15分) 如图,在三棱柱中,，分别为的中点, A B C A1 B1 C1 D E F G H （第17题图）
平面平面．分别在上，且∥．求证：
(1)；
(2）平面∥平面． １8．(本小题满分１5分) 双曲线Ｃ多余 设是椭圆上的点,过作x轴的垂线l，垂足为N，P为直线ｌ上一点，且，当点在椭圆上运动时，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程;
(2)设椭圆的右焦点为F,上顶点为A,求的取值范围． 1９.(本小题满分16分）
（文科做)已知函数,其中实数. P A B C D M N （第19题理科图）
(1）若,求函数在上的最值;
(2）若,讨论函数的单调性. (理科做）如图,正四棱锥中，, 点为的交点，点为中点. (1)求证：; （2）求所成角的正弦值；
（3)求所成的二面角的余弦值． 20.（本小题满分16分）
本题有A、B两道选做题，请各校根据本校学生情况选做。
组.在平面直角坐标系中，若直线与椭圆 相交于Ａ，Ｂ两点,点Ｍ为ＡB的中点,直线OM的斜率为． （1）求椭圆C的离心率；
（２)若,求：
①椭圆Ｃ的方程;②三角形ＯAB的面积. 组．在平面直角坐标系中，已知动圆M过定点,且与定圆 相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线Ｃ． (1)求曲线C的方程; （2）
已知P,Q是曲线Ｃ上的动点，且满足直线OP，OQ的斜率乘积等于. 设动点满足． ①若，,求证:为定值; ②是否存在定值,使得点Ｎ也在曲线C上,若存在，求出的值以及满足的条 件;若不存在,说明理由. 常州市教育学会学生学业水平监测 高二数学答案 ２0１6年1月 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分,共计7０分. 1. 2.１ 3.“若,则不是锐角“ 4．
5．(文科做）1(理科做）3 ６.10 7.8. 9.(文科做)9(理科做）１０． 11.或１２.13．①④14. 二、解答题:本大题共６小题，共计90分． 15．（本小题满分1４分）
解:（1)若为真命题，由题意，. ………………………………2分 ∵的图象为开口向上，对称轴为的抛物线， ∴当时,.
………………………………４分 ∴．∴.
………………………………6分 (２)若为真命题，,,∴． ……………………8分 ∵，∴．
………………………………10分 （3）
若“且”为假命题,“非”为假命题,∴p为真命题，q为假命题.………１2分 ∴∴．
………………………………14分 16.(本小题满分１4分) 解:(1)由题意，设双曲线的方程为．……………………………2分 ∵点在双曲线上,∴. ∵双曲线Ｃ的离心率为，∴．∵，∴. ∴双曲线的方程为:, …………………………………4分 其渐近线方程为:.………………………………6分 (2）由题意，直线的方程为,即，………………………………8分 直线与坐标轴交点分别为． ………………………………10分 ∴以为焦点的抛物线的标准方程为；
………………………………12分 A B C A1 B1 C1 D E F G H P （第17题图）
以为焦点的抛物线的标准方程为．………………………………14分 １７．(本小题满分15分) 证明:(1）取的中点,连接. ∵,∴． ……………2分 ∵平面平面, 平面∩平面， 平面， ∴平面． …………………4分 ∵平面，∴. ……………6分 在三棱柱中，分别为的中点, ∴∥且,∴四边形是平行四边形，∴∥． 又∵，∴．
…………………………………8分 （2）∵∥,，,∴∥平面．………10分 ∵∥,∴． 又∵为的中点，∴∥． ∵∥,∴∥． 又∵,, ∴∥平面.
……………………………１3分 ∵，,∩,且∥平面,∥平面, ∴平面∥平面.
……………………………15分 18．(本小题满分1５分) (1）设,∵， ∴， ………………………………3分 ∵点M在椭圆上，∴, ………………………………５分 即， 整理得． ∴曲线Ｃ的方程为．………………７分 (2)∵椭圆的右焦点F,上顶点A,………………………………9分 ∴， ………………………………11分 设,即，∵, ∴,………………………………13分 ∴,∴的取值范围为．
………………………………１5分 19.(本小题满分16分）
（文科做）（1)∵，∴, ……………………………２分 令，∴.列表如下, １ 2 ３ ０ 1 ↘ ↗ …………………………………５分 从上表可知,∵，∴,函数在区间上的最大值是1,最小值为.
……………………………7分 (２）.……………………………9分 ①当时,时，;当时,． ∴的单调增区间为，，单调减区间为．…………………………11分 ②当时，∵.∴的单调增区间为．…………13分 ③当时，时，；
当时， ∴的单调增区间为,，单调减区间为.…………………………1５分 综上,当时，的单调增区间为,,单调减区间为；
P A B C D M N x z y （第19题理科图）
当时，的单调增区间为; 当时,的单调增区间为，,单调减区间为. ………………………16分 (理科做)(1)以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ，设,则，各点的坐标为: ，,， ．
………………………2分 由题意得,则. ∴,∴∥， ………4分 又∵，， ∴．……………………………………6分 (2)设平面ＰAＤ的法向量为,由题意得， ∵∴令,得到, ……………………………………8分 ∴． ……………………１０分 ∴所成角的正弦值为. ……………………………………11分 （３）设平面PＢC的法向量为，由题意得, ∵∴令,得到， …………………1３分 ∵平面PAD的法向量，平面PBC的法向量, ∴． ………………………………１５分 ∴所成的二面角的余弦值为．
………………………………1６分 20.(本小题满分16分) 组. （1)由消去y化简得. 当时, 设则， ………………………………２分 弦AB的中点Ｍ的坐标为， ∴直线ＯM的斜率为，∴, ………………………………4分 ∴椭圆C的方程为,即∴,∴， ∴椭圆Ｃ的离心率．………………………………6分 (2）①∵,∴，∴． 而， ∴，
………………………………8分 又∵，∴，且满足，…………………………10分 ∴椭圆C的方程为.………………………………11分 ② ,………………………………13分 原点O到AB的距离，………………………………15分 ∴三角形OＡB的面积为．………………………………16分 组． （1)设圆M的半径为, ∵点在圆内， ∴,， ∴， ∴圆心Ｍ的轨迹为以A,B为焦点，长轴长为４的椭圆.………………………………2分 ∴，，∴,,∴, ∴曲线C的方程为．………………………………4分 (２)①设，∵∴.………6分 ∵在曲线Ｃ上，∴． 又∵,∴.………………………………8分 于是 ． 故为定值.………………………………１０分 ②假设存在定值，使得点N也在曲线上. ∵∴． ∵在曲线C上，∴. 又，∴.………………………………1２分 于是 ． ………………………………14分 ∵点Ｎ也在曲线C上，故为定值, ∴， ∴存在定值，实数满足的条件为．……………………………１6分
