数学解题教学中的化归思想与深度学习
时间：2021-02-11 10:04:19 来源：达达文档网 本文已影响 人 
顾文铨
摘 要：数学解题教学中教师要运用化归思想，达成知识关联，形成方法迁移，构成思想整合，促进深度学习，培养核心素养.
关键词：核心素养;深度学习;化归思想
数学解题思想是灵魂，知识模块是躯体，躯体的驱动需要灵魂的指引.本文以2020年温州市数学二模卷中一道题的课堂讲解为例，尝试让学生在化归思想的引领下，经历深度学习过程，使学生的解题思想、能力得到有效提升，这样有利于数学核心素养的提升.
一、化归思想与深度学习的案例
（一）开门见山，引入化归，达成知识关联
化归思想，其实我们在日常分析问题，解决问题时经常用到，只不过绝大多数情况下我们只是停留在怎么解决所遇到的问题的层次，从而导致我们目光较浅，没有认识问题实质.所以在解题教学中，教师要让学生跳出只追求解题结果的局限，能够高屋建瓴，从解题思想的高度来对待所遇到的问题.
本节课开始，投影打出标题：化归思想.紧接着给出引例，三例齐出：
（1）5个大学生分配到三个单位，每个单位至少分配一人，有（ ）种分配方法;
（2）5个义工分别到3個社区参加服务，每个社区至少去一个，有（ ）种安排方法;
（3）5本不同的书奖励给3个同学，每人至少一本，有（ ）种奖励办法.
这个时候，我们不再让学生一个个题目算完，也不需要把这三个题目做完，而是引导学生分析出问题本质都一样，我们可以将各种情境化归成我们熟悉的问题.将这个问题串用作本节课的开头，激发学生的学习兴趣，增强其学习的信心.
（二）一题多解，各自化归，形成方法迁移
在解决问题时，思维受阻则需要我们将其化归到另外的情形，这种化归是解决问题的有效策略，也是获取成功的思维方式.常见的化归方法有这些：换元变形，将无理式化为有理式，高次化成低次式;特殊和一般的转化，一般问题特殊化，特殊问题一般化寻求解题思路;主元思想、正难则反等.在一题多解时，将其上升到思想方法的高度.正所谓欲穷千里目，更上一层楼.站在思想的高度，就有统揽全局的魄力和信心.
我们使用化归思想，总是基于这样的一个流程：从不熟悉问题到解答中，我们将问题转化成熟悉的、方便易解的问题，然后解决转化出的问题，从而解决问题.这里涉及知识的迁移与联系，和SOLO分类理论不谋而合.
方法溯源：柯西不等式在选修教材中出现几年，虽然再次退出舞台，但它的影响仍在.因为本题结构和柯西不等式结构类似，所以我们可以联想，将其转化成柯西不等式使用的结构形式，从而达到解题的目的.
（三）方法小结，理解化归，构成思想整合
以上五种方法，无一例外都用到了化归的思想.化归思想在使用过程中，构成思想整合基本原则：①熟悉化原则，将陌生的问题化归熟悉的问题.比如方法二，经过处理，变成我们非常熟悉的含参二次方程有解，求参数范围的问题.②简单化原则，将复杂问题简单化，通过解决简单化问题最终达到解决复杂问题的目的.比如方法一，通过换元，将原先看不出具体意义的代数式变成圆的方程，配上后面的直线方程，思路一下清晰.③和谐化原则，通过结构的变换，将其和已知的一些不等式建立一一对应的联系.比如方法五，我们通过结构的配凑，将其构造成柯西不等式的使用结构，达到妙解的目的.
二、对化归思想与深度学习的几点思考
（一）化归思想教学有效提升学生的数学核心素养
核心素养是个体在解决复杂的现实问题过程中表现出来的综合性能力，新的课程标准给出数学六个核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象和数据分析.这六个方面的达成无一不涉及化归思想，因此，专家认为数学教学核心素养是关联与化归[1]?.
运算能力贯穿于学生整个学习生涯，首先知道怎么算，其次需要算出结果.在这个一题多解过程中，针对不同的解法，总是配合相应的复杂程度不一的运算量.正确求解出最后结果，这对学生的运算能力要求很高.一个不动笔的课堂是没有生气的，学生在已有思路或者在教师引导下得到解题思路，然后通过一番计算得到最终结果，自身运算能力得到提升，信心得到提升，运算能力这个核心素养最终得到落实.
逻辑推理能力在各个方法的转化过程中得到训练.如何将一个问题转化到另外一个熟悉的问题上去，这里是通过一系列知识的关联而成的.问题A化归成问题B，问题B化归成问题C，有一些定理、公理我们将其转化.比如这里的方法三：为什么会想到三角换元，这是因为平方和等于常数，条件和这个非常相似，我们才建立起这个联系，通过换元手段实现知识迁移.
在分析过程中，学生的数学抽象、直观想象也得到提升.数学核心素养，我们在落实过程中不是单一的，而是很多综合在一起落实下去，润物细无声地落实下去.
（二）学生经历化归思想是促进深度学习过程
深度教学是指教师借助一定的活动情境带领学生超越表层的知识符号学习，进入知识内在的逻辑形式和意义领域，挖掘知识内涵的丰富价值，完整地实现知识教学对学生的发展价值，是在满足学生需求的基础上，对学生潜在学习能力的激发.本节课中，我们通过一题多解，对自身知识体系不断进行重组提升.从以往的见题解题，解题再解题上升到化归思想的高度.由以往的数据不同、情境不同导致题目不同的现象得到缓解，学生对于题目类型的归类能力得到提升，做一题通一类.在化归思想的指引下，新题、难题在固有知识的组合分解下，为我们的求解提供了可能.比如方法三，在该视角下，已知一个二元等式，求一元线性目标式最值，我们都可以借助于判别式法这个通法来处理.掌握好一次式设t，带入消元，得到二次含参方程，利用判别式求解参数范围，即目标式范围.这样我们就撇去数据的不同、代表元的不同，从根本上认识此类问题.
（三）深度学习提升学生高阶思维水平
本节课主题化归思想，题目难度属于SOLO分类层次理论中的关联结构水平，是一种高阶思维.SOLO分类层次是从简单到复杂、从具体到抽象的思维结构.思维结构由低到高依次为前结构水平（P）、单点结构水平（U）、多点结构水平（M）、关联结构水平（R）和抽象拓展结构水平（E）.解决此类问题需要我们能够将设定的情境或已经经历过的范围内利用相关知识进行概括.而我们的深度学习，也恰恰就是抓住问题本质，不同的知识点进行交汇，建立起联系从而达到解决问题的目的.这里的一题多解，每一个方法对应都是一个知识点，然后我们将它应用到这个具体问题中来.解决问题是深度学习的最终目的，我们教师在课堂上要多给学生创造机会，让其完成自身的知识积累.
解题数学，不能全部以应试、做题为主，不仅要重视培养能力和讲授知识，更加要注意育人，力求通过具体的教学过程，让学生形成正确价值观念促进其全面发展.不仅要授之以鱼，更要授之以渔.通过深度学习，进一步落实数学核心素养，构建其知识体系，加深其对知识的理解，提高其知识加工的能力，把零散的、碎片化的知识模块有机地组合到一起，多打磨，多推敲，让数学解题教学彰显独特的教学风格.
参考文献：
[1]朱培培.数学课堂教学引入部分的关联与化归——以圆的概念引入为例[J].教学月刊·中学版（教学参考），2018（4）：20.
