星火教育测试卷 数学

星火教育测试卷 数学试卷

注意事项：

1.全卷共150分，考试时间120分钟.

2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座号等个人信息填（涂）写在答题卡的相应位置.

3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置.

一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是 A. 2

210x x

+

= B. 2

0ax bx c ++= C. (1)(2)1x x -+= D. 22

3250x xy y --=

2.如图，某反比例函数的图像过（-2,1），则此反比例函数表达式为 A. 2y x =

B. 2y x =-

C. 12y x =

D. 12y x

=- 3.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A=25°，则

∠D 等于

A. 20°

B. 30°

C. 40°

D. 50°

4.如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC B ""则tan B "的值为 A.

12 B. 13 C. 14 D. 24

5.抛物线2

21y x x =-+的顶点坐标是

A. （1,0）

B. （-1,0）

C. （-2,1）

D. (2,-1)

6.如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是

7.一只盒子中有红球m 个，白球8个，黑球n 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m 与n 的关系是 A. m=3，n=5 B. m=n=4 C. m+n=4 D. m+n=8 8.点M （-sin60°，con60°）关于x 轴对称的点的坐标是 A. （

32， 12） B. （32-，12-） C. （32-，12） D. （12-，32

-）

9.如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图像中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）2

4b ac -＞0；（2）c ＞1；(3)2a-b ＜0；(4)a+b+c ＜0.你认为其中错误的有 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个

10.用配方法解方程2

50x x --=时，原方程应变形为

A. 2

(1)6x += B. 2

(2)9x += C. 2

(1)6x -= D. 2

(2)9x -=

11.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，

全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为 A. (1)2070x x -= B. (1)2070x x += C. 2(1)2070x x += D.

(1)

20702

x x -= 12.如图，⊙O 过点B 、C ，圆心O 在等腰R t △ABC 的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6.则⊙O 的半径为

A. 6

B. 13

C.

13 D. 213

13.现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形. 其中真命题的个数是

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

14.如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH ，设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是

15.如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行与坐标轴，点C 在反

比例函数221

k k y x

++=的图像上.若点A 的坐标为（-2，-2），则k 的值为

A. 1

B. -3

C. 4

D. 1或-3

二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）

16.如图，OB 是⊙O 的半径，点C 、D 在⊙O 上，∠DCB=27°，则∠OBD= 度.

17.某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：3，坝外斜坡的坡度i=1:1，则两个坡角的和为 .

18.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m ，半圆的直径为4m ，则圆心O 所经过的路线长是 m.（结果用π表示）

19.关于x 的方程2

()0a x m b ++=的解是12x =-，21x =（a ，m ，b 均为常数，a ≠0）.则方程2

(2)0a x m b +++=的解是 .

20.如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到

第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 .

三、解答题（本题8小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 21. （2011甘肃兰州，21，7分）已知a 是锐角，且sin （a+15°）=32

. 计算8-4cos α-0( 3.14)π-+tan α+1

1()3

-的值.

22.（本小题满分7分）如图，有A 、B 两个转盘，其中转盘A 被分成4等份，转盘B 被分成3等份，并在每一份内标上数字.现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A 转盘指针指向的数字记为x ，B 转盘指针指向的数字记为y ，从而确定点P 的坐标为P （x ，y ）.记s=x+y.

（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P 的坐标；

（2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当s ＜6时甲获胜，否则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？对谁有利？

23.（本小题满分7分）今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一.某中学为了了解学生体育活动情况，随即调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图.根据图示，解答下列问题：

（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？

（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；

（3）2011年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2011年兰州市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？ （4）请根据以上结论谈谈你的看法.

24.（本小题满分7分）如图，一次函数3y kx =+的图像与反比例函数m

y x

=

（x ＞0）的图像交与点P ，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B.一次函数的图像分别交x 轴、y 轴于点C 、点D ，且DBP S ?=27，

OC CA =1

2

. (1)求点D 的坐标；

（2）求一次函数与反比例函数的表达式；

（3）根据图像写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

25. （本小题满分9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A 、B 、C.

（1）请完成如下操作：

①以点O 为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD 、CD.

(2)请在（1）的基础上，完成下列问题：

①写出点的坐标：C 、D ； ②⊙D 的半径= （结果保留根号）； ③若扇形ADC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的地面面积为 （结果保留π）； ④若E （7,0），试判断直线EC 与⊙D 的位置关系并说明你的理由.

26. （本小题满分9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad ），如图①，在△ABC 中，AB=AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA=底边/腰=

BC

AB

.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解

下列问题：

（1）sad60°= .

（2）对于0°＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是 . （3）如图②，已知sinA=

3

5

，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值.

27. （本小题满分12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD ＞AB)，将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE. （1）求证：四边形AFCE 是菱形；

（2）若AE=10cm ，△ABF 的面积为242

cm ，求△ABF 的周长；

（3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2

2AE AC AP =?？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.

28. （本小题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系X0Y 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线2

y ax bx c =++经过点A 、B 和D （4，23

-

）. （1）求抛物线的表达式.

（2）如果点P 由点A 出发沿AB 边以2cm/s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S=2

PQ (2

cm ).

①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； ②当S 取

5

4

时，在抛物线上是否存在点R ，使得以点P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由.

（3）在抛物线的对称轴上求点M ，使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标.

一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案

C B C B A

D D B D

C

A

C

A

B

D

二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）

16．63 17．75° 18. 19． x 1= -4,x 2= -1 20．

三、解答题（本题8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（本题满分7分） 解：∵sin 60°=

∴α+15°=60°

∴

α=45°………………………………………………………………………………2分

∴－4cos α—(－3.14)0+tan α+=2—4×—1+1+3=3………7分 每算对一个给1分，最后结果得1分 22．（本题满分7分） 解：（1）列表：

…… 4分

y x

2

4

6

1 （1，2） （1，4） （1，6）

2 （2，2） （2，4） （2，6）

3 （3，2） （3，4） （3，6） 4

（4，2） （4，4） （4，6）

（2）∵P（甲获胜）= ……………………………………………………5分 P（乙获胜）= ……………………………………………6分

∴这个游戏不公平，对乙有利。……………………………………………7分

23．（本题满分7分）

解：（1）

∴选出的恰好是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是………………2分

（2）720×(1)12020=400(人) ∴“没时间”锻炼的人数是400 ……4分（计算和作图各得1分）

（3）2.4×(1-)=1.8(万人) ∴2010年兰州市初二学生每天锻炼未超过1小时

约有1.8万

人. ………………………………

……………………………6分

（4）说明:内容健康，能符合题意即

可. ………………………………………7分

解：（1）根据题意，得：………………………………………………………………………………1分（2）在△和△中，

,

∴…………………………………2分∵

∴

△中，∵

∴………………………………………3分

………………………………………4分

一次函数的解析式

为：………………………………………………………

………5分

反比例函数解析式

为：………………………………………………………………………6分（3）如图可得：……………………………………………………………7分

解：（1）①建立平面直角坐标系………………………………………………

1分

②找出圆心…………………………………………………………3分

（2）①C（6，2）；D（2，0） (5)

分

每个点的坐标得1分

②2 (6)

分

③……………………………………………………………………7分

④直线EC与⊙D相切 (8)

分

证CD2＋CE2＝DE2＝25 （或通过相似证明）

得∠DCE＝

90°…………………………………………………………9分

∴直线EC与⊙D相切

26．（本题满分9分）

（1）1 …………………………2分

（2）………………………4分

(3) 解：

如图，在△ABC中，∠ACB=，sin∠A.

在AB上取点D，使AD=AC，

作DH⊥AC，H为垂足，令BC =3k，AB =5k，

则AD= AC==4k，………………………………6分

又在△ADH中，∠AHD=，sin∠A.

∴，.

则在△CDH中，，.…………8分

于是在△ACD中，AD= AC=4k，.

由正对定义可得：sadA= ………………………………………………9分27．（本题满分12分）

解: （1）证明：由题意可知OA＝OC，EF⊥AO

∵AD∥BC

∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO

∴△AOE≌△COF

∴AE＝CF，又AE∥CF

∴四边形AECF是平行四边形…………………………2分

∵AC⊥EF

∴四边形AECF是菱形 (4)

分

（2）∵四边形AECF是菱形

∴AF＝AE＝10cm

设AB＝ａ，BF＝ｂ，

∵△ABF的面积为24cm2

a＋b＝100，ab＝

48 ……………………………………………………………………6分

(a＋b）＝196 ａ＋ｂ＝14或ａ＋ｂ＝－14（不合题意，舍去）……………………7分

△ABF的周长为ａ＋ｂ＋10＝

24cm………………………………………………………8分

（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点……………9分

证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP

∴△AOE∽△AEP

∴

∴AE＝

AO·AP ……………………………………………………11分

∵四边形AECF是菱形，

∴AO＝AC

∴AE＝AC·AP

∴2AE=AC·AP……………………………………………………………………

12分

28．（本题满分12分）

解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，—）,

则解得

∴抛物线的解析式为: (3)

分（三个系数中，每对1个得1分）

(2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2 ,

即 S=5t2－8t+4 (0≤t≤

1) ……………………………………………………… 5分

（解析式和t取值范围各1分）

②假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.

∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1), ∴当S=时, 5t2－8t+4=,得 20t2－

32t+11=0,

解得 t = ，t = （不合题意，舍去） (7)

分

此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）

若R点存在，分情况讨论:

1O假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为—

即R (3, －)，代入, 左右两边相等，

∴这时存在R(3, －)满足题

意. …………………………………………………… 8分

2O假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为－即(1, －) 代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. ……………………… 9分

3O假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，—)代入,

左右不相等, ∴R不在抛物线

上. ………………………………………………… 10分

综上所述, 存在一点R(3, －)满足题意.

（3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—）…………………………………………………… 12分