计数原理与概率复习备考专题透视
时间：2020-12-26 22:00:33 来源：达达文档网 本文已影响 人 
周冬梅 尹承利
计数原理与概率是高中数学的重要内容，也是历年高考命题的重点和热点，这部分内容通常以实际应用问题为背景，考查数据分析、数学建模、数学抽象及数学运算等核心素养，也是培养学生从“解题”到“解决问题”能力的良好载体，本文试图从5个视角进行全方位透视，供教师指导学生复习备考时参考。
1命题趋势
1.1高考对计数原理的考查主要有两个方面：
（1）以选择、填空题为主，重在考查利用计数原理、排列组合知识解决实际问题的逻辑思维能力，并结合排列、组合数及概率的求法形成能力型题目。
（2）以选择、填空题形式考查二项展开式的特定项、二项展开式中项的系数及二项式系数、赋值法等并延伸一些计算、证明等问题，如二项式定理与不等式证明结合、杨辉三角的研究等，题目难度不大但具有一定的灵活性，考查方程思想、等价转化思想的应用。
1.2概率与实际问题的联系非常密切，是历年高考的一大考点，高考对这部分内容的考查形式与特点主要是：
（1）以选择、填空题的形式主要考查分布列的性质及应用、古典概型、几何概型、互斥事件的概率、条件概率、相互独立事件、独立重复试验概率的计算及正态分布。
（2）解答题中以应用问题的面目考查概率的计算，进而利用概率得到离散型随机变量及其分布列以及求均值和方差，这是高考命题的重点，几乎每份试卷中都有一道这样的题目，并常与函数、方程、不等式、数列、解析几何、立体几何等知识交汇，以考查分析和解决问题的能力。
（3）把高考内容与国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活紧密结合，通过设置真实问题情境考查学生灵活运用所学知识分析、解决实际问题的能力，引导学生从“解题”走向“解决问题”，是高考命题的一大趋势，概率应用问题承载着这一重要“使命”，且难度有增加的趋势，在高考命题中，概率应用题部分还将数据准备阶段的步骤减少，给考生呈现比较规范的数据格式或数据的回归模型，采取“重心后移”的策略，把考查的重点后移到对数据的分析、理解、找规律，减少复杂的运算，突出对数学思想方法的理解和运用能力的考查。
2方法规律
2.1计数原理
（1）对于一些复杂的计数问题，常借助列表、画图的方法来帮助分析。
（2）解排列组合应用问题有如下策略和方法：
对于无限制条件的问题——直接法：
对于有限制条件的问题：直接法、简介法
具体主要有以下题型和方法：
①优先排列问题：当排列中有特殊元素或特殊位置时，采用“优先安排”的策略，以元素为主时，先满足特殊元素的要求：以位置为主时，先满足特殊位置的要求。
②相邻排列计算问题：对于含有某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻元素“捆绑”起来视为一个元素，与其他元素一起进行全排列，然后再对相邻元素内部进行全排列，这就是处理相邻问题的“捆绑法”。
③互不相邻排列计算问题：对于含有某几个元素互不相邻的排列问题，可先将其他元素排成一排，然后将不相邻的元素插入到这些排好元素之间及两端的空隙中，这就是解决互不相邻问题的最为奏效的“插空法”。
④排列、组合混合计算问题：对于排列、组合混合应用问题，常采用“先取后排”的策略求解。
⑤分组分配问题：无次序分组问题常有“均匀分组、部分均匀分组、非均匀分组”三种类型，计数时常用下面结论：对于其中的“均匀分组”和“部分均匀分组”问题，只需按“非均匀分组”列式后，再除以均匀分组数的全排列数。
（3）解决二项式有关问题的方法有：
①求二项展开式中的特定项，一般用通项公式、待定系数法。
②求解二项展开式系数和等问题，一般用赋值法。
③证明某些组合恒等式（或求和问题）常用构造法，构造一个生成相应二项式系数的函数或构造同一问题的不同解法，通过研究函数关系或变更命题来解决。
④证明不等式，通过二项式展开，根据命题形式对展开式中的若干项进行放缩。
⑤证明整除问题或求余数，应先构造二项式后再展开研究。
2.2概率
（1）计算概率的常用方法：
①直接法：利用等可能事件的概率公式，
②问接法：在求解“至少”、“至多”等事件的概率问题时，若直接求解比较困难时，可以通过求这些事件的对立事件的概率来求解。
③方程思想：当问题给出的是随机事件概率之间的关系时，可将概率看作未知数建立方程（组）求解。
④分类求解：当概率问题中出现多种不同的情形时，可对所求概率的不同情形进行分类，最后由互斥事件概率和的公式求得结果。
（2）求随机变量概率分布列、均值及方差的方法：
①对于一般的分布，根据定义求离散型随机变量的均值和方差，其步骤是：1o确定离散型随机变量的取值;2o写出分布列，并检查分布列正确与否;3o求出均值与方差，
②若随机变量服从特殊的分布，如两点分布、二项分布，如果經过分析，题中的随机变量服从以上分布，那么我们只需直接代入公式求其均值、方差即可。
（3）对于正态分布问题，一般是数形结合，利用正态曲线的性质（尤其是对称性）来求解。
3考点剖析
3.1计数原理与排列、组合
由于计数原理与排列、组合的应用性概念强、并充满思辨性和解法多样性，易于考查考生的能力，所以以实际应用为背景考查两个原理、排列、组合或它们的综合题，是高考命题的重点，主要以选择、填空题的形式出现，也可与概率结合出现在解答题中。
例1某校暑假举行“义教活动”，现从6名老师中选派4人分别参加8月9日至8月12日四天的义教值班，若其中甲、乙两名老师不能参加8月12日的值班，则选派方案共有（）种。
A，336 B，408 C，264 D，240
解析由题意知甲、乙两名老师不能参加8月12日的值班，可以分不选甲乙，同时选甲乙，或选甲乙中的一个。
第一类：不选甲乙时，有A44=24种;
第二类：同时选甲乙时，甲乙只能从其余三天选两天，剩下的2天再从剩下的4人选2人即可，有A32A42=72种;
第三类，选甲乙中的一个时，甲或乙只能从其余三天选1天，剩下的3天再从剩下的4人选3人即可，有2A31A43=144种，
根据分类计数原理得，24+72+144=240.所以D选项是正确的。
一题多解：先排12号，有4种选择，前三天从5位老师中任选3人排列即可得C41A53=4×5×4×3=240.
点评本题考查两个原理与排列组合的综合应用，考查逻辑推理、运算能力等数学素养，考查抽象概括能力、运算求解能力。
例2将2020年师大毕业的5名大学生安排到某中学高一的1、2、3班实习，每个班至少安排1名大学生，其中甲大学生不能安排到l班，则不同的安排方案种数是（）。
A7R R100 C112 D120
點评本题考查计数原理与排列、组合的实际应用，考查数据处理能力、逻辑推理能力和数学运算能力，考查应用意识。
分组问题有完全非均匀分组、完全均匀分组和部分均匀分组三种，完全非均匀分组无需考虑有重复现象，利用组合知识分步求解，完全均匀分组，每组的元素个数都相等，部分均匀分组，部分组的元素个数相等，对于均匀分组（包括完全均匀分组和部分均匀分组）问题，求解时应注意不要出现重复，一般地，n个不同元素分成m组，若每组内元素个数相等的有k组，那么分组方法数为：取法数除以Akk
3.2二项式定理
二项式定理基本上是每年必考内容，但属于容易题，主要以选择、填空题形式考查展开式、通项公式、二项式系数（或项系数）、赋值法、杨辉三角的应用与研究等方面，同时关注二项式定理与不等式证明结合、杨辉三角的研究等。
点评本题考查二项式定理求展开式特定项的系数知识，涉及二项式所有项的系数和问题，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1。
3.3概率初步
点评
本题结合组合数公式考查了列举法在求解古典概型概率中的应用，并体现了概率与集合、椭圆方程的交汇应用，
3.4条件概率、相互独立事件的概率和独立重复试验的概率
条件概率、相互独立事件、独立重复试验概率是高考考查的热点内容，在选择、填空题主要考查概率的计算，在解答题中重点考查相互独立事件及独立重复试验概率的实际应用，条件概率会在选择题或渗透在解答题的一问中考查，
例6甲、乙两人做游戏，甲胜一次的概率为0.75.甲连续胜两次的概率为0.6.已知第一次甲胜，则第二次甲也胜的概率为（ ）。
A0.8 B0.75 C0.6 D0.45
点评
求事件积的概率必须注意事件的独立性，运用公式P（AB）=P（A）·P（B）时，一定注意只有当A、B相互独立时，公式才成立，
3.5随机变量的分布列、均值和方差
随机变量的分布列、均值和方差与实际问题的联系非常密切，是古典概率的重要应用，也是历年高考的重要考点，有关随机事件概率的计算是基础，而求随机变量的均值和方差，关键是确定其分布列，尤其是超几何分布、二项分布是考查的重点，
例8
某校高三年级共有1000名学生，将其按专业发展取向分成普理、普文、艺体三类，下图是这三类的人数比例示意图，为开展某项调查，采用分层抽样的方法从这1000名学生中抽取一个容量为10的样本。
（I）试求出样本中各个不同专业取向的人数;
（Ⅱ）在样本中随机抽取3人，并用ζ表示这3人中专业取向为艺体的人数，试求随机变量ζ的分布列，
解析（I）由题意，可得该校普理生、普文生、艺体生的人数比例为2：2：1.所以10人的样本中普理生、普文生、艺体生的人数分别为4.4.2.
4易错警示
4.1计数原理
（1）在求解排列、组合实际应用问题时，若不注意区分是否与与顺序有关，则容易犯排列、组合混淆的错误。
（2）在求解排列、组合混合应用题时，若审题分析不到位，容易出现重复或遗漏的错误情形，在解题时应当注意避免，可用不同的方法求解来获得检验，
（3）二项式定理中含有比较多容易混淆的概念：二项式系数与系数、二项式系数最大与系数最大、项与项数、奇数项与奇次项、偶数项与偶次项等，以及二项展开式中一些相关的概念，往往容易出现概念混淆，要理解清楚。
4.2概率
（1）计算概率常出现的错误有：①混淆基本概念，比如混淆互斥事件与相互独立事件、用混其概率公式，弄不清相互独立事件和独立重复试验之问的关系，弄错条件概率公式和相互独立事件概率公式的转化关系等：②用错排列、组合公式导致计算概率出错：③弄混“有放回”与“无放回”。
5备考建议
5.1对计数原理考查和掌握的重点是基本知识和基本方法，在复习中首先要根据课本要求，立足基础知识与基本方法的复习与落实，通过对典型例题的剖析，构建思维模式，总结解题规律，进而提高分析问题和解决问题的能力。
5.2概率（随机变量及其分布）从内容到方法都是较为独特的，复习时，应重视对基础知识的理解和掌握，注意理解变量的多样性：要弄清一些基本概念，充分注意一些概念的实际意义：要把握基本题型，如条件概率、相互独立事件的概率、独立重复试验的概率，求离散型随机变量分布列、均值、方差，正态分布等，并注意解题步骤规范性的训练，特别是概率及随机变量应用题的分析和解答：要理解和运用处理问题的基本思想方法，如数学建模思想、整体思想，以不断提升处理问题的能力。
