从混沌摆到混沌理论的探索研究
时间：2020-05-12 07:59:23 来源：达达文档网 本文已影响 人 
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摘 要：随着我国社会经济和科学技术的飞速发展，人民生活水平不断提高。在物质文明进步的同时，人们对精神文明的追求日益强烈。科普知识作为精神文明的重要组成部分，也日益受到人们的关注。从普及科普知识的角度出发，从混沌摆讲到混沌理论，用通俗易懂的各种生活现象解释晦涩难懂的混沌理论，力求让更多人了解混沌现象。
关键词：蝴蝶效应；混沌摆；混沌理论；逻辑斯蒂方程
中图分类号：O415.6 文献标识码：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2017.06.004
一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，2周以后在美国德克萨斯州引起一场龙卷风。这就是蝴蝶效应。其原因是蝴蝶扇动几下翅膀，会引起蝴蝶身边气流微弱的变化，微弱的气流变化又会引起周围的空气变化或其他系统的变化，从而引起一连串的连锁反应，最终导致其他系统极大的变化。
1 “蝴蝶效应”是混沌理论的一个概念
“蝴蝶效应”是混沌理论的一个概念。一件芝麻绿豆大的小事，经过一传十，十传百，可能被放大改变成一条天要塌下来的大新闻。所谓“失之毫厘，谬以千里”，就是蝴蝶效应最简略的表示。也许如此比喻有些言过其实，但却充分展示了初值对结果的重要性。“混沌”就是指在确定性系统中因对初始值敏感而表现出不可预测，不可重复，类似随机性的运动。任何事物的发展都存在确定性和不确定性，事物在发展过程中有规律可循，但一个微小的变化可以影响甚至改变事物的发展过程，说明事物发展的复杂性。混沌理论就是一个既存在确定性又存在不确定性的系統理论。
如何清晰直观地演示混沌理论中的确定性和不确定性呢？绍兴科技馆的一件创新展品——混沌摆或许可以给出答案。
图1为混沌摆。该混沌摆展品为“T”字摆，“T”字的顶点处各安装一个小摆，“T”字的交点处安装一个旋转手柄。转动手柄时，3个顶点的小摆随之被带动，并互相影响，呈现出不规则的运动状态。在每一个摆的摆杆底部都安装有红外发射器，摄像机实时动态地捕捉红外发射器的运动轨迹，并通过差值算法生成平滑轨迹曲线显示在屏幕中。
单摆的运动很容易预测，但将3个单摆用T形杆固定，每个摆的运动会影响其他2个摆的运动，这样就使运动复杂无序，无法预测。即使旋转手柄时，初始力度或者方向只差一点点，最终屏幕中显示的曲线也将是截然不同、无法预测的。同时，可以确定的是，无论初始力度或者方向如何变化，单摆都始终活动在一个圆形范围之内。这样就很好地演示了晦涩难懂的混沌理论中的确定性和不确定性。
在说起蝴蝶效应或者混沌理论时不得不说一下爱德华·洛伦茨。他是美国麻省理工学院做气象研究的一位科学家。20世纪60年代，他使用笨重而庞大的计算机模拟影响气象的大气流。由于不放心第一次计算的结果是否正确，他决定用计算机再计算一次，最后居然出现完全不一样的结果。最终发现是初始数据略有不同，第一次是使用计算机中存储的数据，第二次是洛伦茨自己将计算机存储的众多数据中的其中几个进行了四
舍五入，初值出现微小的差别，结果却千差万别。洛伦茨发现，初始值的微小变化，会随着时间的变化被指数放大。那么，这样的天气预报是否还有实际意义呢？于是，洛伦茨开始研究动力系统的相空间。相空间中的一个状态点，确定了系统的一个状态，也叫该系统的吸引子，即系统最后的归属。例如，一个带有阻尼运动的单摆，如果没有其他情况发生，静止不动就是它最后的归属，因此单摆运动的吸引子是它的相空间中的一个固定点。如果这是一个带有动力的钟摆，它将会做周期性运动，钟摆运动的吸引子便是一个椭圆。洛伦茨将气象预报的参数和方程简化成一个由3个变量及时间系数决定的微分方程组，最终得到如图2所示的奇异吸引子图。这个系统似稳非稳，似乱非乱，乱中有稳，稳中有乱。这是一个外表规则有序的两翼蝴蝶形态，内部却无序而随机的复杂的混沌过程。这恰巧与混沌摆展示的混沌现象不谋而合。
2 各行业中的混沌理论
除了气象变化中存在混沌，股票市场经济发展中也存在混沌现象。传统金融学观点认为股票市场遵循有效市场和随机变动的规律。这2个因素使得收益率的概率近似于正态分布。然而，分形之父物理学家曼德勃罗研究发现收益曲线并不是正态分布，而是一种“稳定帕累托分布”。稳定帕累托分布是一种不连续的分形分布，用来描述财富在个人之间的分配情况，即20%的人占有80%的社会财富，而80%的人只占有剩下的20%.混沌理论正好可以解释80/20法则。混沌理论的观点认为50/50的分配是极不稳定的，就像蝴蝶效应，微小的偏差将会很快被放大，最终离开平衡状态，导致向一边倾斜。有钱人会越来越有钱，因为社会财富会产生社会财富。但最终也不可能变成99/1这样的分配，混沌理论中虽蕴藏无序随机，但也不是盲目的无序随机，始终不能脱离其确定性。在财富分配中，如果出现99/1的情况，贫富差距特别巨大，社会必然出现动荡不安的情况，最终实现财富的重新分配。随后有经济学家在货币指数中发现经济混沌，并用数学方程描述了经济混沌，呈现出金融世界的非线性动力学本质。混沌理论中的混沌实际是一种紊乱现象背后蕴藏着确定的逻辑，蕴藏着一个可知的非线性。混沌经济学家们就是在努力找寻这种非线性关系。宏观经济的混沌运动，与一般的混沌还存在不同之处，即混沌中叠加了一个周期的波动，即经济增长周期或金融危机周期。
生态繁衍也有混沌理论的影子。生儿育女，生老病死，生命的诞生和消亡，其内部都蕴藏着混沌理论。人口论简单的基本公式为：
Xn+1=（1+r）Xn=kXn.
式（1）中：Xn+1为第n+1代的人口数；Xn为第n代的人口数；r为人口增长率。
有了这个公式，我们以某年的人口作为初始人口来迭代，便可以推算下一年的人口，以此类推。实际上，战争、瘟疫、饥荒等情况是伴随着人口繁衍而同时发生的，必须在公式中加以考虑。因此，我们对它进行修正，在式（1）右方减去一个平方修正项，变为：
Xn+1=kXn-（k/N）·（Xn）2.
也可写成：
xn+1=kxn-k（xn）2=kxn（1-xn）.
负号表明各种不利影响导致下一代人口Xn+1的减少。这就是生态学著名的逻辑斯蒂方程。參数k的数值大小决定了混沌的出现与不出现。当k较小时，混沌并不出现；当k大到一定数值时，混沌才出现。具体如图3所示。
3 哲学思想中也蕴含着混沌理论
中国传统文化的哲学思想中也蕴含着混沌理论。逻辑斯蒂分岔图描述的是生态繁衍，如果最后的群体数趋向一个固定值，叫作周期1；如果最后群体数在2个固定值之间变来变去，叫作周期2；如果最后群体数在3个值之间跳动，就叫周期3.群体繁殖的周期数目逐渐增多，最后导致奇异现象出现。有科学家证明，如果一个连续函数有一个周期为3的点，这个函数的长期行为将十分奇特，就像洛伦茨发现的奇异吸引子那样，最终会走向混沌。老子在《道德经》中写道：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”这是对宇宙起源的探索和认识，有物混成，先天地生。周期3即混沌，这也很好地验证了老子说的“三生万物”。为何不是二生三，三生四，而是三生万物，说明到三后事情就变化了，这个“三”似乎是线性到非线性的转折点。“事不过三”“三人成虎”“三阳开泰”“三人行必有吾师”等都与“三”有关。《周易》记载，盘古开天辟地，混沌初分。《庄子·应帝王》记载，南海之帝为倏，北海之帝为忽，中央之帝为混沌。几千年前的中国哲人就已经使用“混沌”一词，并将“三”和混沌相联系。
4 结束语
混沌理论无处不在，它藏于我们工作、生活的方方面面。有些已经为我们所用，但我们仍然需要用心去探索与追寻，也许你就是下一个洛伦茨，下一个庞加莱。对混沌理论的研究从未停止，我们一直在路上。
参考文献
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