定点问题有妙法，贵在得法
时间：2020-12-25 10:01:03 来源：达达文档网 本文已影响 人 
黎志荣
【摘要】圆锥曲线中的定点问题是历年高考常考的内容.可是无论使用先特殊探路再证明的方法，还是传统的方法都存在着计算量非常大的问题，学生望而止步.因此，笔者认为有必要归纳整理几种有效方法，优化计算过程.
【关键词】圆锥曲线;定点
圆锥曲线中的定点问题是解析几何中的重要内容，也是历年高考的高频考点.笔者觉得有必要将定点问题进行分类整理，介绍几种有效方法，优化计算过程.
一、参数分离法
一般将已知条件通过变形、转化、化简得到的方程与参数没有关系，从而得到定点的值.一般常见定点问题有直线过定点与圆过定点两种类型的题目.
例1 已知：椭圆C：x216+y24=1，左顶点为A，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点（M，N不为椭圆的左右顶点），直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，求证：以PQ为直径圆E过定点，并求出定点的坐标.
证明 易知M，N关于原点对称，故设M（x1，y1），N（-x1，-y1），P（0，y2），Q（0，y3），以PQ为直径的圆E过定点T（x，y），所以PT·QT=0，得x2+y2-（y2+y3）y+y2y3=0 ①.由KAM=KAP得y1x1-4=y2-4，即y2=-4y1x1-4，同理由KAN=KAQ得y3=4y1-x1-4，所以y2y3=-16y2116-x21 ②.因为点M在椭圆上，所以x2116+y214=1，变形得y21=41-x2116 ，代入②化简得y2y3=-4，将y2y3=-4代入①得x2+y2-（y2+y3）y-4=0，由于圆E的圆心0，y2+y32是运动的，所以y2+y3是变量，故令y=0，得x=2或x=-2，所以以PQ为直径的圆E过两个定点分别为（-2，0，）和（2，0）.
二、对偶法
我们遇到直线过定点的题目，很多时候利用条件构造含有x1+x2，x1x2的式子，然后利用韦达定理转化成含有k的式子，得到y-y0=k（x-x0），从而确定定点坐标.但是对偶法是利用椭圆上两个动点对偶原理，构造出x1y2-x2y2，代入直线方程y=y2-y1x2-x1x-x1y2-x2y1x2-x1，从而得到定点的坐标.这种方法看似复杂，其实在实际运用过程中，可以大大减少运算量，可谓是独树一帜.
例2 已知：椭圆C：x216+y29=1，直线l与椭圆C相交于M，N两点（M，N不为椭圆的左右顶点），且以MN为直径的圆E经过点P（4，0），求证：直线l过定点.
证明 设M（x1，y1），N（x2，y2），由kPM·kPN=-1得y1x1-4·y2x2-4=-1 ①.因为点M在椭圆C上，所以x2116+y219=1，变形得y1x1-4=-9（x1+4）16y1 ②.将②代入①整理得9x1y2-16x2y1=-64y1-36y2，又因为点N也在椭圆上，得9x2y1-16x1y2=-64y2-36y1，以上两式相减化简得x1y2-x2y1=2825（y2-y1），把上式代入y=y2-y1x2-x1x-x1y2-x2y1x2-x1得到y=y2-y1x2-x1x-2825，所以直线l过定点2825，0.
三、齐二次方程法
此法主要针对题目条件中明显可以转化“两条动直线的斜率之和或者两动直线的斜率之积为定值”的题目.具体的做法是先利用条件转化成含有y-sx-t的齐二次方程，再利用韦达定理转化成直线的斜率m与截距n的关系，从而得到直线恒过的定点.
例3 已知：坐标原点为O，椭圆E：x24+y2=1，不过A（-2，0）的直线l与椭圆E相交于点B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为-2，求证：直线l过定点.
证明 设B（x1，y1），C（x2，y2），直线l为x=my+n（n≠-2），因为kAB+kAC=-2，所以y1x1+2+y2x2+2=-2，将直线l的方程变形为x+2-myn+2=1 ①，将椭圆的方程x24+y2=1变形为[（x+2）-2]24+y2=1，展开得（x+2）2-4（x+2）×1+4y2=0，将①代入上式整理得到一个关于yx+2的齐二次方程4yx+22+4mn+2·yx+2+n-2n+2=0，由韦达定理可知-4m4（n+2）=-2，所以n=m-42，所以直线l方程为x+2=my+12，所以直线l过定点-2，-12.
四、二次曲线系法
如果直线l1的方程为f（x，y）=0，直线l2的方程为g（x，y）=0，直线l1，l2与椭圆C：x2a2+y2b2=1相交于A，B，C，D四点，则这四点的二次曲线系为f（x，y）g（x，y）+（b2x2+a2y2-a2b2）=0.此法主要是两次构造这样的二次曲线系，然后对比相关的系数，得到直线的斜率k与截距m的关系，从而求得定点.这种方法比较适合以“极点”“极线”为背景的题目.
例4 已知：以A，B为左右顶点的椭圆C：x24+y2=1的外部有一动点P，点P的横坐标为4，PA，PB分别交椭圆异于A，B两点E，F，求证：直线EF过定点.
证明 易知A（-2，0），B（2，0），设P为（4，t），则直线AB的方程为y=0，直线EF为y=kx+m，所以A，B，E，F的二次曲线为y（kx-y-m）+λ（x2+4y2-4）=0 ①.又因为直线PA为y-0=t-06（x+2），即是tx-6y+2t=0，直线PB为y-0=t-02（x-2），即tx-2y-2t=0，所以（tx-6y+2t）（tx-2y-2t）=0 ②.通过对比①②中xy，y的系数得-6t=k，6t=m， 即m=-k，所以直線EF的方程为y=kx-k，即y=k（x-1），所以直线EF恒过点（1，0）.
笔者建议在平时的教学中，多使用一题多解，多题一解的方式教学，为学生提供多样化的解题方案，拓展学生的解题思路，提高学生的解题能力.
【参考文献】
[1]袁芹芹.“特殊值法”解决圆锥曲线中的定值定点问题[J].中学数学教学参考，2016（6）：53-56.
[2]杨其武.例谈解析几何定值问题的探究与证明[J].中学数学研究，2014（9）：14-17.
