“模”从简中来 却向深处行
时间：2021-01-06 20:04:50 来源：达达文档网 本文已影响 人 
李江 彭梦晖
数学模型，是指针对或参照某种事物的特征或数量间的相依关系，采取形式化的数学语言，概括地或近似地表述出一种数学结构。凡一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程以及由公式系列构成的算法系统等，都可以称之为数学模型。如，自然数“1”可以是1个人、1件玩具的抽象的结果，是反映这些事物共性的一个数学模型;方程是刻画现实世界数量的关系的数学模型，因此建立数学模型的过程就是数学建模，数学模型思想，从某种意义上来说可以理解为解题模式。
模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。在小学阶段模型化思想更多的是指解题思路和解题模型。
在人教版数学三年级下册“铺地砖”的教学过程中，我们将“模型化思想”渗透到了教学的各个环节中，让三年级的孩子在学习过程中经历“数学建模”的一般过程，充分感受到数学建模思想。
一、建模数据的选择与优化
1.选择数据，聚焦建模。
人教版数学三年级下册“铺地砖”的教学内容是
解决此类问题一般有两种方法：一是“分别算出客厅面积和地砖面积，用客厅面积除以地砖面积”。二是“看一看沿着客厅的长可以铺几块地砖，沿着客厅的宽可以铺几块地砖，最后算一算一共用了多少块地砖”。
题目中的数据看似不大，但仔细分析，考虑到在解决问题的过程中涉及单位换算，就会出现较大数据的乘除法计算，这可能会使学生在计算时出现困难，反而影响了对这一类解题模型建立的准确理解。所以我们将例题改编为通过小组合作探究：“一个长为12厘米，宽为6厘米的长方形，需要用多少个边长为2厘米的正方形才能铺满？”
材料：一個长12厘米，宽6厘米的长方形
学具：边长为2厘米的小正方形 （每人1个）
需要多少个小正方形才能铺满长方形？
把例题的数据变小，让学生不再为计算感到困惑，而把关注点聚焦于“解题模型”的建立上来，学习效果非常理想，也体现了我们一直倡导的“小数据建模”的策略。
2.优化数据，理解模型。
除了将探究活动的数据变小，我们还对数据的选择进行了精选优化，如果将小正方形的边长定为l厘米，计算会较容易。但学生算出需要小正方形72个和长方形的面积72方厘米两个数值相同，这样很容易让学生错误认为计算所需小正方形的个数就是计算长方形的面积，而不是长方形面积里包含了多少个小正方形的面积。进而错误地建立出解决这个问题的“模型”。数据优化后，学生很容易理解了“模型”的含义，学习效果良好。
二、建模过程的完整与开放
1.过程完整，验证模型。
片段回放：
1.出示一个长方形和一个正方形。
（1）试着提出一个相关问题。
（2）猜一猜长方形里可以放几个小正方形。
（3）学生猜测需要多少个小正方形才能铺满长方形。
（4）如果需要算一算，你认为需要哪些数据？
2.教师给出相关数据：长方形的长是12厘米，宽是6厘米，小正方形的边长是2厘米。
3.4人小组合作，用4个小正方形在学习合作单上通过摆一摆、画一画，然后将摆放过程记录在学习记录单上。
4.师：刚才同学们用了两种方法来解决这个问题，那这个结果是否正确？我们需要做什么？
生：验证。
师：你们打算怎么来验证？
生：摆。
师：谁愿意来摆一摆？我们一起数。
生：1个，2个，……，18个。
师：我们通过摆的方式得出的结果和我们算的一不一样？
生：一样。
师：一个小正方形的面积是多少？
生：4平方厘米。
师：所以这里有多少个4平方厘米。
生：18个。
师：你可以把我们刚才摆的过程用算式表示出来吗？18个4怎么表示？
生：18×4=72。
师：或者可以表示成4×18=72（平方厘米），72平方厘米刚好是我们长方形的面积。所以说我们前面的计算是正确的。
师：刚才我们找到了几种方法来解决这个问题？
生：两种。
师：第一种方法谁来说一说？
生：第一种方法先算出长方形的面积，再算出正方形的面积，最后周长方形的面积除以正方形的面积，就是算大长方形的面积里包含了多少个小正方形面积。
师：谁来说一说第二种方法？
生：可以先看每行摆了几块，再看可以摆几行，再看有几个几。
师：刚才我们用了猜测、分析得出我们要的信息，通过实践得出结论，并验证了我们的结果。
学生在学习过程中经历了“抽象一猜想一验证一捕述一建模”的过程，这样的探究活动不仅发展了学生的策略性知识，同时让学生经历猜测与验证、分析与归纳、抽象与概括的数学思维过程。学习过程中学生有时独立思考，有时小组合作学习，有时是独立探索和合作学习相结合，学生在知识的探索中充分经历了数学模型的形成过程，感受到数学建模过程的完整性。
2.过程开放，自主建模。
动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。我们将数据进行精选并优化后，给足学生探究学习的时间与空间，让孩子们充分的动手操作、思考，教师只在学生遇到困难时做出适宜的引导，引导学生对自己发现用较为准确地语言进行描述，学生发现我们不管采用哪一种方法就是要算出“长方形面积里包含了多少个小正方形的面积”。
可以看出，学生通过开放的数学探究活动自主的建构出了解决此类问题的一般模型，并且可以把这一模型进行语言捕述和适当符号化，达到了我们的教学预期。
三、建模结果的深化与拓展
1.运用模型、深化结果。
构建数学模型的过程是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题——通过猜测探究或实践操作的学生自主学习——找出求解此类问题的基本思路、解决策略或数量关系——再用数学符号和语言表示问题的数量关系和变化规律——从而形成一种解决问题的思考过程模板。
就以“铺地砖”为例，数学教材中提供了两个相关练习。“做一做”（如图1）中直接给了地砖面积为已知条件，对于三年级学生现有知识水平下，就意味着只能选择用客厅面积里包含了多少地砖面积的方法来求解。因此这是一道“择优解题”的训练。而练习十六中的习题4（如图12）条件组成和“做一做”相似，学生依旧要选择方法。但因数据较大，可以帮助学生从“小数据建模”中走出，用“大数据来验证和运用”。因此，《铺地砖》的应用练习设计思路是：新创小数据探究建模后改例8为“尝试解题”训练来运用建模结果，通过再一次对比两种方法进一步内化解题思想;练习十六中的第4题为“方法选择”和“大数据应用”的综合训练，学生灵活的运用方法解题就达到了深化建模结果的目的。
2.拓展模型回归生活。
学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，建立了初步的数学模型，和获得数学环境下的应用机会。但生活中的模型映射往往更为复杂。要让学生获得在生活中应用数学的经验，就需要设计生活情境下的模型拓展训练。
实际生活中利用长边和宽边算出一共需要几个几才能铺满——方法二，才是较为有效和精确的方法。但三年级的课堂，即没有知识前铺也没有课堂时间解释这个问题。因此以一个复杂场景的问题设计来进一步深化和拓展建模结果。同时也渗透了在生活中解决铺砖问题时，考虑地板长、宽如何铺满才是解决需要多少块砖的关键。（如图3）
由于三年级知识基础的局限，数据虽然不够严谨。但当最后一排出现图中情况时，学生发现用包含除思路得到的结果不能鋪满。再观察后，有的学生认为要再买几块砖;有的学生认为把砖等分成3份正好可以铺满;有的学生认为切分砖时容易出现破损，实践用的砖多于12块。无论学生思考方向是哪一种，都达到了练习设计的意图。一是包含除方法得出的结果是理想情况下的最少用砖量，实际生活结果是大于这个结果;二是潜移默化地留下了一个印象，地板长、宽数据和砖边长间倍数关系对砖的块数是有影响的。为五年级的满铺问题埋下了思考的种子。
小学数学建模思想的形成是一个综合性的过程。本课在数学教学过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决实际问题的妙处，进而激发学生对数学学习产生更浓厚和持续的兴趣。在今后数学课堂教学中，我们应适当渗透包括数学建模在内的一般数学思想、方法，让学生多经历一些数学学习活动，积累一定的学习经验，帮助学生形成良好的思维习惯，提升学生的数学素养。
