我出高考数学题(二十五)
时间：2020-11-25 22:10:09 来源：达达文档网 本文已影响 人 
陈国林 胡迷革 袁琳
1.已知cos（ -α）-sin α= ，则cos（α- ）的值为
A.- B. C.- D.
解 由cos（ -α）-sin α= cos α + sin α-sin α=- sin α+ cos α=-sin（α- ）= ，可得sin（α- ）=- .所以cos（α- ）=cos（α- - ）=sin（α- ）=- .选C.
2.已知f（x）是定义在（- ， ）上的奇函数，f ′（x）是f（x）的导函数.若对任意的x∈（0， ），有f ′（x）sin xcos x+ f（x）>0，则当0 A.（- ， ） B.（- ，- ）∪（ ， ） C.（- ，0）∪（0， ） D.（- ，- ）∪（ ， ） 解 根据已知可令g（x）= f（x）tan x，则g′（x）= .由于对任意的x∈（0， ），有f ′（x）sin xcos x+ f（x）>0，所以当x∈（0， ）时，g′（x）>0，则函数g（x）在（0， ）上单调递增.又f（x）在（- ， ）上为奇函数，所以g（-x）= f（-x）tan（-x）= f（x）tan x=g（x），则g（x）在（- ， ）上为偶函数.由于0 3.已知函数f（x）=（x-1）ex+1+ax2，a∈R. （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性. （Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1 （Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为R， f ′（x）=xex+1+2ax=x（ex+1+2a）. 若a≥0，则ex+1+2a>0.于是有当x∈（-∞，0）时， f ′（x）<0恒成立;当x∈（0，+∞）时，f ′（x）>0恒成立.所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增. 若a<0，令x（ex+1+2a）=0，可得xm=0，xn=-1+ln（-2a）. 若- xn.当x∈（-∞，xn）∪（xm，+∞）时， f ′（x）>0恒成立;当x∈（xn，xm）时，f ′（x）<0恒成立.所以f（x）在（-∞，xn）和（xm，+∞）上單调递增，在（xn，xm）上单调递减. 若a=- ，则xm =xn.当x∈R时， f ′（x）≥0恒成立，所以f（x）在R上是增函数. 若a<- ，则xm 综上可知，当a≥0时，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增;当- （Ⅱ）证明：当a≤0时，由（Ⅰ）可知，若x≤0，则f（x）≤{f（0），f [-1+ln（-2a）]}max.由于f（0）=-e<0，当a<- 时f（0）> f [-1+ln（-2a）]，当- 0. 当a>0时，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，从而x1<0 （陈国林，中国优选法统筹法与经济数学研究会会员，“课堂内外杯”青少年科学素养大赛命题专家库成员，中学数学建模竞赛命题人，获得国家级、省级奖励10余项） 4.直线AB经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若|BF|=2|AF|，则|AF|=______. 解 设l为抛物线的准线，其与x轴交于点K.作AA′⊥l，交l于点A′;作BB′⊥l，交l于点B′，如右图所示.于是有|AA′|=|AF|， |BB′|=|FB|，AA′∥BB′∥FK.在△CBB′中，由 = = ， |BC|=|AC|+|AA′|+|BB′|，可得|AC|=3|AF|.于是在△CFK中，由 = = ，可得|AF|=|AA′|= |FK|= . 5.已知F（c，0）是双曲线C： A. B. C. D.2 解 设AB的中点为M，连接MF，则MF⊥AB.由已知可得|AM|=a，|MF|=b，|AF|=2b.由勾股定理得4b2=a2+b2，则 = ，所以e= = .选C. 6.已知椭圆C的两焦点分别为F1（-1，0），F2 （1，0），且经过点（1， ）. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程. （Ⅱ）设直线l：x=my+1与椭圆C相交于A，B两点，点B在直线n：x=2上的射影为点D，当m变化时，直线AD是否过定点？写出判断依据. 解 （Ⅰ）椭圆C的标准方程为 +y2=1.（解答过程省略） （Ⅱ）设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2）.由x2+2y2=2，x=my+1，可得（m2+2）y2+2my-1=0，Δ=4m2+4（m2+2）>0，则y1+y2 =- ，y1y2 =- .于是可得 + =2m，则y2= .又点D的坐标为（2，y2），则直线AD的斜率k= = = ，于是可得直线AD的方程为y-y2= ·（x-2），即y = （x- ）.所以，直线AD经过定点（ ，0）. （胡迷革，中学高级教师，河北省特级教师，长年承担高三理科重点班教学工作，多次参与邯郸市模拟考试命题工作，多次被评为市命题工作先进个人） 7.正三角形ABC的边长为2 ，以A为圆心、3为半径的圆分别交AB，AC于点E，F，P是优弧EF上的一点，且 =λ + μ ，则λμ的取值范围是 A.[- ， ] B.[- ， ] C.[- ， ] D.[- ， ] 解 取边BC的中点为D，以A为原点，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（- ，-3），点C的坐标为（ ，-3）.设点P的坐标为（x0，y0），则 =（x0，y0）， =（- ，-3）， =（ ，-3）.由 =λ + μ ，可得x0=- λ+ μ，y0=-3λ-3μ，则λ=- ，μ= ，所以λμ=- · = - =- =- .由y0∈[- ，3]，可得y20∈[0，9]，则λμ=- ∈[- ， ].选C. 8.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C.若A是BC的中点，则直线l的斜率k=______. 解 过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点D，E.由于A是BC的中点，所以 = = .设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则-2y1=y2 .设直线l：x=my+ .由x=my+ ，y2=2px，可得y2-2mpy-p2=0，Δ=4m2p2+4p2>0，则y1+y2=2mp，y1y2=-p2.于是可得y1=-2mp，y21= ，則4m2p2= ，解得 =8，即k=±2 . 9.已知函数f（x）=eln x-ax+1. （Ⅰ）讨论f（x）的单调性. （Ⅱ）对任意的x∈[1，e]，都有f（x） 解 （Ⅰ）由已知有 f ′（x）= -a，x>0.当a≤0时， f ′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增.当a>0时，在（0， ）上 f ′（x）>0，在（ ，+∞）上 f ′（x）<0，所以f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减. 综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增;当a>0时，f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减. （Ⅱ）由已知有对任意的x∈[1，e]，fmax（x） 当a≤0时，由（Ⅰ）可知f（x）在[1，e]上单调递增，则fmax（x）= f（e）=e-ae+1>0>a，与题设条件矛盾. 当a>0时，由（Ⅰ）可知f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减.当 <1，即a >e时，f（x）在[1，e]上单调递减，则fmax（x）= f（1）=1-a e，即01>a，与题设条件矛盾.当1≤ ≤e，即1≤a≤e时，f（x）在[1， ]上单调递增，在[ ，e]上单调递减，则fmax（x）= f（ ）=1-eln a.由1-eln a0.令g（x）=eln x+x-1，x∈[1，e]，则在[1，e]上，g ′（x）= +1>0，可得g（x）在[1，e]上单调递增.又g（1）=0，所以g（x）>0的解集为（1，e]，即a∈（1，e]. 综上所述，实数a的取值范围是（1，+∞）. （袁琳，中学高级教师，骨干教师，荣获市级优质课一等奖，常年从事一线教学工作，探寻试题命题规律，挖掘思维拓展区，提升考查创新点） （责任编校 冯琪）
- =1（a>0，b>0）的右焦点，圆（x-c）2+y2=4b2与双曲线C的一条渐近线相交于A，B两点，若|AB|=2a，则双曲线C的离心率为
