小小五角星,蕴含大学问
时间：2021-02-08 16:00:57 来源：达达文档网 本文已影响 人 
王维松
在“平面图形的认识（二）”这一章中，教材上有这样一个问题：
如图1，在五角星形ABCDE中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于多少度？请加以证明。
相信你不假思索就说出了结果，而且能用一些方法进行证明。
下面归纳了三种求五角星五个角度数之和的常用方法，顺便带领同学们复习之前学过的内容。
（方法一）证明：如图2，
∵∠BOF是△AOD的外角，∴∠BOF=∠A+∠D。
∵∠BFO是△CEF的外角，∴∠BFO=∠C+∠E。
∵在△BFO中，∠B+∠BFO+∠BOF=180°，
∴∠B+（∠C+∠E）+（∠A+∠D）=180°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
这种方法直接运用三角形内角和定理的推论，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，把三角形的内角转化为外角，又通过三角形内角和定理求出结果。
（方法二）教材上还探究过图3中的∠A、∠B、∠C、∠BDC之间的关系，即∠A+∠B+∠C=∠BDC。
这个图形的形状像飞镖，又叫“飞镖”模型图，也叫“A”型模型图。运用它也可以快速求出五角星五个角度之和。
证明：如图4，由“飞镖”模型图，得∠1=∠E+∠B+∠C。
∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1=∠2。
∵在△AOD中，∠2+∠A+∠D=180°，
∴∠1+∠A+∠D=180°，
∴（∠E+∠B+∠C）+∠A+∠D=180°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
（方法三）教材上證明了这样一个结论：
如图5，AD、BC相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D。
因为这个图形像数字“8”，所以又叫“8”字模型图。直接运用这个结论，可以快速找到突破口。
证明：如图6，连接BC，由“8”字模型图，得∠A+∠D=∠1+∠2。
∵在△BCE中，∠E+∠EBC+∠ECB=180°，
即∠E+（∠1+∠3）+（∠2+∠4）=180°，即∠E+（∠1+∠2）+∠3+∠4=180°，∴∠E+（∠A+∠D）+∠3+∠4=180°，
即∠A+∠EBD+∠ACE+∠D+∠E=180°。
对于很多关于角的数学问题，我们可以运用“飞镖”模型图或“8”字模型图，快速找到解题方法。解决问题的关键还是从复杂的几何图形中分离出基本图形。
在几何问题中，通过已知条件往往很难找到已知量与所求的量之间的关系。在这种情况下，我们可以作辅助线，揭示图形中隐藏的条件;可以将两个或两个以上不相关的量通过变换和转化，使它们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出结论;可以把复杂图形分解成简单图形，达到化繁为简、化难为易的目的;还可以通过构造新的图形的方法;等等。对于求五角星五个角度数之和，还有其他方法，有兴趣的同学可以自己尝试一下。
（作者单位：江苏省宿迁市钟吾国际学校）
