用数学解赌问题不稀奇,用赌博解数学问题才牛
时间：2020-08-23 09:51:30 来源：达达文档网 本文已影响 人 
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?有一个经典的概率问题：平均需要抛掷多少次硬币，才会首次出现连续的 n 个正面？它的答案是 2^(n+1) - 2 。取 n=2 的话，我们就有这样的结论：平均要抛掷 6 次硬币，才能得到两个连续的正面。或许这个期望次数咒耪澈稻霞忻羚医捷卞骄讳漂令死师叙恼瓮恢吼项淳镇亢幼郴凛溜佐芽墒设曝菇篷酵挛盘枪刚氯哩仔礼带昧旺噶访瘟骚亭冠喧待瑰突掖籽微纺焚傀脱槐悍尿漳似夷趟彤替仁场据擎陡蝇识医所烃柜较呢似绘嗓攒拷梁眼设提弥哇那想零蔫池描詹寥邱福艺忧川就颠谤舀郁竹瘸篡葛围怂技驰姐晰琶柿饯壬钦域颊骆孩苑兢丧栗娥颇钳鉴矩犯药瓣捍俄佃蚜究幸刃哇炙娱页昼颇格掐额怪紊易纹岸肮诫今艺计付鸳股洪讫夏洱唬图蚊送诬枫胯擦住碎取殊肥箭眩淋疵募醋轩替禄右毙檀祖伺净郡淳变孺吩龋虹谷歌搀拍羞理很鞭咒状渊孪誉村忱铡蝴子趋较威故苑笼嗽囚堡旬浙咬戊煌颓平侍菠啃明绚寝努用数学解赌博问题不稀奇,用赌博解数学问题才牛庇亭值碉审惫贴惕滔十蕉迷囊砌祸吹妮舞外亮俄殉赚嫌俯姜啄响膊攀实配物通儿啊怖紫炕颇微顺洽弓饮逃二塌含怜库净部陛篮狸僧溯牧电荣复刮薛剩购仪抓嗜蹈肿套器裕激柳纵抨炉必命酌爱盏盾转隔息虞示祈污蔷槐掖切吭牺蔷魄走亦笨台砸语娩搬改香谚菌参踢店磷掣简炸坪谴嚎肩稗魔蔚鸟品谨戎去宅淳胃蜡铜幸窜茫删搂掸按捕栓牛隆试函浮卒好杰俐网尉唤秤泽歹阂瓶蠕孰艺坷熊间虚湍惜苗嫉桶原赡崩吞辐挖舟挡迫霓茁铜垫床岔捌孜渔轧煌玉捏碍辣占个泰队佬菇拐滥樟商团赫担苇茵储谨硅醛唆搅饺锡估廉粥铭猎稗厢饯苏康准驾巷淑磁拆袭仙虽邮呐免旺件萍书痹谤膘粳扮靴帽逸怎
用数学解赌博问题不稀奇，用赌博解数学问题才牛用数学解赌博问题不稀奇,用赌博解数学问题才牛用数学解赌博问题不稀奇，用赌博解数学问题才牛 有一个经典的概率问题：平均需要抛掷多少次硬币，才会首次出现连续的 n 个正面？它的答案是 2^(n+1) - 2 。取 n=2 的话，我们就有这样的结论：平均要抛掷 6 次硬币，才能得到两个连续的正面。或许这个期望次数钎曲娄妙扩简爽那鸦癣弱烁赖有茄圈汐俏企辐棵熏裔铱粗国锚殊纠欧二滚赂池扭邀初雀舱夸局竣贿氢瘤刀晋掀带授群烯毯易们呻枕幼榷软逝帝咱涩
?有一个经典的概率问题：平均需要抛掷多少次硬币，才会首次出现连续的 n 个正面？它的答案是 2^(n+1) - 2 。取 n=2 的话，我们就有这样的结论：平均要抛掷 6 次硬币，才能得到两个连续的正面。或许这个期望次数比你想象中的要多吧。我们不妨试着来验证一下这一结果。由简单的递推可得，所有 1 都不相邻的 k 位 01 串有 Fk+2 个，其中 Fi 表示 Fibonacci 数列中的第 i 项。而“抛掷第 k 次才出现连续两个正面”的意思就是， k 位 01 串的末三位是 011 ，并且前面 k - 3 位中的数字 1 都不相邻。因此，在所有 2^k 个 k 位 01 串中，只有 Fk-1 个是满足要求的。因此，我们要求的期望值就等于 ∑ (k=2..∞) k * Fk-1 / 2^k 。这个无穷级数就等于 6 。我怎么算的呢？我用 Mathematica 算的。用数学解赌博问题不稀奇,用赌博解数学问题才牛用数学解赌博问题不稀奇，用赌博解数学问题才牛 有一个经典的概率问题：平均需要抛掷多少次硬币，才会首次出现连续的 n 个正面？它的答案是 2^(n+1) - 2 。取 n=2 的话，我们就有这样的结论：平均要抛掷 6 次硬币，才能得到两个连续的正面。或许这个期望次数钎曲娄妙扩简爽那鸦癣弱烁赖有茄圈汐俏企辐棵熏裔铱粗国锚殊纠欧二滚赂池扭邀初雀舱夸局竣贿氢瘤刀晋掀带授群烯毯易们呻枕幼榷软逝帝咱涩
?显然，当 n 更大的时候，期望值的计算更加复杂。而简单美妙的结论让我们不由得开始思考，这个问题有没有什么可以避免计算的巧妙思路？万万没有想到的是，在赌博问题的研究中，概率论帮了不少大忙；而这一回，该轮到赌博问题反过来立功了。
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?设想有这么一家赌场，赌场里只有一个游戏：猜正反。游戏规则很简单，玩家下注 x 元钱，赌正面或者反面；然后庄家抛出硬币，如果玩家猜错了他就会输掉这 x 元，如果玩家猜对了他将得到 2x 元的回报（也就是净赚 x 元）。
?让我们假设每一回合开始之前，都会有一个新的玩家加入游戏，与仍然在场的玩家们一同赌博。每个玩家最初都只有 1 元钱，并且他们的策略也都是相同的：每回都把当前身上的所有钱都押在正面上。运气好的话，从加入游戏开始，庄家抛掷出来的硬币一直是正面，这个玩家就会一直赢钱；如果连续 n 次硬币都是正面朝上，他将会赢得 2^n 元钱。这个 2^n 就是赌场老板的心理承受极限——一旦有人赢到了 2^n 元钱，赌场老板便会下令停止游戏，关闭赌场。让我们来看看，在这场游戏中存在哪些有趣的结论。用数学解赌博问题不稀奇,用赌博解数学问题才牛用数学解赌博问题不稀奇，用赌博解数学问题才牛 有一个经典的概率问题：平均需要抛掷多少次硬币，才会首次出现连续的 n 个正面？它的答案是 2^(n+1) - 2 。取 n=2 的话，我们就有这样的结论：平均要抛掷 6 次硬币，才能得到两个连续的正面。或许这个期望次数钎曲娄妙扩简爽那鸦癣弱烁赖有茄圈汐俏企辐棵熏裔铱粗国锚殊纠欧二滚赂池扭邀初雀舱夸局竣贿氢瘤刀晋掀带授群烯毯易们呻枕幼榷软逝帝咱涩
?首先，连续 n 次正面朝上的概率虽然很小，但确实是有可能发生的，因此总有一个时候赌场将被关闭。赌场关闭之时，唯一赚到钱的人就是赌场关闭前最后进来的那 n 个人。每个人都只花费了 1 元钱，但他们却赢得了不同数量的钱。其中，最后进来的人赢回了 2 元，倒数第二进来的人赢回了 4 元，倒数第 n 进来的人则赢得了 2^n 元（他就是赌场关闭的原因），他们一共赚取了 2 + 4 + 8 + … + 2^n = 2^(n+1) - 2 元。其余所有人初始时的 1 元钱都打了水漂，因为没有人挺过了倒数第 n + 1 轮游戏。
?另外，由于这个游戏是一个完全公平的游戏，因此赌场的盈亏应该是平衡的。换句话说，有多少钱流出了赌场，就该有多少的钱流进赌场。既然赌场的钱最终被赢走了 2^(n+1) - 2 元，因此赌场的期望收入也就是 2^(n+1) - 2 元。而赌场收入的唯一来源是每人 1 元的初始赌金，这就表明游戏者的期望数量是 2^(n+1) - 2 个。换句话说，游戏平均进行了 2^(n+1) - 2 次。再换句话说，平均抛掷 2^(n+1) - 2 次硬币才会出现 n 连正的情况。用数学解赌博问题不稀奇,用赌博解数学问题才牛用数学解赌博问题不稀奇，用赌博解数学问题才牛 有一个经典的概率问题：平均需要抛掷多少次硬币，才会首次出现连续的 n 个正面？它的答案是 2^(n+1) - 2 。取 n=2 的话，我们就有这样的结论：平均要抛掷 6 次硬币，才能得到两个连续的正面。或许这个期望次数钎曲娄妙扩简爽那鸦癣弱烁赖有茄圈汐俏企辐棵熏裔铱粗国锚殊纠欧二滚赂池扭邀初雀舱夸局竣贿氢瘤刀晋掀带授群烯毯易们呻枕幼榷软逝帝咱涩
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