高考卷,普通高等学校招生考试北京理科数学
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2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）
本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上． 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知，那么角是（ ）
Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 2．函数的反函数的定义域为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3．平面平面的一个充分条件是（ ）
Ａ．存在一条直线 Ｂ．存在一条直线 Ｃ．存在两条平行直线 Ｄ．存在两条异面直线 4．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）
Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种 6．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或 7．如果正数满足，那么（ ）
Ａ．，且等号成立时的取值唯一 Ｂ．，且等号成立时的取值唯一 Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一 Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一 8．对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假：
命题甲：是偶函数；
命题乙：在上是减函数，在上是增函数；
命题丙：在上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）
Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．② 2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）
第II卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9． ． 10．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；
数列中数值最小的项是第 项． 11．在中，若，，，则 ． 12．已知集合，．若，则实数的取值范围是 ． 13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 ． 14．已知函数，分别由下表给出 1 2 3 1 3 1 1 2 3 3 2 1 则的值为 ；
满足的的值是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）
数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列． （I）求的值；
（II）求的通项公式． 16．（本小题共14分）
如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上． （I）求证：平面平面；
（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；
（III）求与平面所成角的最大值． 17．（本小题共14分）
矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上． （I）求边所在直线的方程；
（II）求矩形外接圆的方程；
（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程． 1 2 3 10 20 30 40 50 参加人数 活动次数 18．（本小题共13分）
某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示． （I）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率． （III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望． 19．（本小题共13分）
如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为． （I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积的最大值． 20．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：
，． 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． 若对于任意的，总有，则称集合具有性质． （I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；
（II）对任何具有性质的集合，证明：；
（III）判断和的大小关系，并证明你的结论． 2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ 1．∵ ，∴ 当cosθ<0，tanθ>0时，θ∈第三象限；
当cosθ>0，tanθ<0时，θ∈第四象限，选C。
2．函数的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为，∴ 选B。
3．平面平面的一个充分条件是“存在两条异面直线”，选D。
4．是所在平面内一点，为边中点，∴ ，且，∴ ，即，选A 5． 5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B。
6．不等式组，将前三个不等式画出可行域，三个顶点分别为(0，0)，(1，0)，(，)，第四个不等式，表示的是斜率为－1的直线的下方，∴ 当0<a≤1时，表示的平面区域是一个三角形，当a≥时，表示的平面区域也是一个三角形，选D。
7．正数满足，∴ 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；
又4=，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；
综上得，且等号成立时的取值都为2，选A。
8．函数①，函数=是偶函数；
且在上是减函数，在上是增函数；
但对命题丙：=在x∈(－∞,0)时，为减函数，排除函数①， 对于函数③，函数不是偶函数，排除函数③ 只有函数②符合要求，选D。
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
题号 9 10 11 12 13 14 答案 , 3 1，2 9．。
10．数列的前项和，数列为等差数列，数列的通项公式为=，数列的通项公式为，其中数值最小的项应是最靠近对称轴的项，即n=3，第3项是数列中数值最小的项。
11．在中，若，，∴ A 为锐角，，，则根据正弦定理=。
12．集合={x| a－1≤x≤a+1}，={x| x≥4或x≤1 }．又，∴ ，解得2<a<3，实数的取值范围是(2，3)。
13．图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴ 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a, b，则，∴ 两条直角边的长分别为3，4，直角三角形中较小的锐角为，cosθ=，cos2θ=2cos2θ－1=。
14．=；
当x=1时，，不满足条件， 当x=2时，，满足条件， 当x=3时，，不满足条件， ∴ 只有x=2时，符合条件。
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（共13分）
解：（I），，， 因为，，成等比数列， 所以， 解得或． 当时，，不符合题意舍去，故． （II）当时，由于 ， ， ， 所以． 又，，故． 当时，上式也成立， 所以． 16．（共14分）
解法一：
（I）由题意，，， 是二面角是直二面角， 又二面角是直二面角， ，又， 平面， 又平面． 平面平面． （II）作，垂足为，连结（如图），则， 是异面直线与所成的角． 在中，，， ． 又． 在中，． 异面直线与所成角的大小为． （III）由（I）知，平面， 是与平面所成的角，且． 当最小时，最大， 这时，，垂足为，，， 与平面所成角的最大值为． 解法二：
（I）同解法一． （II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，， ，， ． 异面直线与所成角的大小为． （III）同解法一 17．（共14分）
解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为． 又因为点在直线上， 所以边所在直线的方程为． ． （II）由解得点的坐标为， 因为矩形两条对角线的交点为． 所以为矩形外接圆的圆心． 又． 从而矩形外接圆的方程为． （III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切， 所以， 即． 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支． 因为实半轴长，半焦距． 所以虚半轴长． 从而动圆的圆心的轨迹方程为． 18．（共13分）
解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40． （I）该合唱团学生参加活动的人均次数为． （II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为． （III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知 ；
；
的分布列：
0 1 2 的数学期望：． 19．（共13分）
解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为． 点的纵坐标满足方程， 解得 ， 其定义域为． （II）记， 则． 令，得． 因为当时，；
当时，，所以是的最大值． 因此，当时，也取得最大值，最大值为． 即梯形面积的最大值为． 20．（共13分）
（I）解：集合不具有性质． 集合具有性质，其相应的集合和是， ． （II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个． 因为，所以；
又因为当时，时，，所以当时，． 从而，集合中元素的个数最多为，即． （III）解：，证明如下：
（1）对于，根据定义，，，且，从而． 如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立． 故与也是的不同元素． 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， （2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立， 故与也是的不同元素． 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 由（1）（2）可知，．
