在完善数学学科知识结构中获得深度理解
时间：2021-01-09 08:01:28 来源：达达文档网 本文已影响 人 
任卫兵
摘 要 数学教学中应清楚地认识到“知识的良好组织”的重要地位。在教学中，应重视比较，及时引导学生寻找知识之间的联系，促进学生对数学知识的整体理解;通过题组，进行有效关联，拓展延伸形成知识的组块，实现知识结构内部的双向循环;拓展学生对重要概念、核心知识的深度理解，提升学生的思维水平和认知水平。
关键词 结构 理解 整体 联系
认知结构的形成与理解过程是一个双向互动的过程。理解是一个动态的有层次性的学习过程。在小学数学教学中，要让学生能够用联系的思维，把握知识之间的结构，促进理解层次向高级发展，从而发展学生的思维能力与认知水平。促进深度理解的认知结构的形成，除了在新授内容时须要聚焦核心、进行有效的线性串联外，在各种知识整理学习中，更要积极构建知识图谱。即使如此，在知识建构过程中必定还存在着一些断点、断层，对作为知识结构关键的核心概念，还存在深入理解的空间，基本的数学思想方法还有进行序列延伸拓展的必要。因此，在教学中，要积极组织教学内容，整体设计，及时填补学生认知结构中的空白，打通知识之间的有效联系，在完善数学学科知识结构的过程中，促进理解，培养学生数学素养。
一、完善内容结构，促进整体理解
新知识的理解是指新知识能被成功地纳入到主体已有的“概念网络”中，也即与主体已有的知识和经验建立起广泛的联系。教材中的编排呈现出螺旋递进上升的特点，而分课时的教学会让知识的整体性与联系性变得脆弱而隐蔽，有些例题之间在意义上有重大关联，但教学时要分课时进行教学。如果在单元教学之后进行整理，就失去了形成结构的最佳时机，对后续学习产生负面影响。因此在教学中，要及时主动构建知识之间的联系，在比较关联中强化新旧知识之间的联系，完善学科知识结构，促进对知识的整体理解。
如苏教版《数学》六年级上册“分数乘法”中，简单的分数乘法的实际问题，分两课时教学，教材编排如下。
不难看出，第二、三课时教学的都是简单的分数乘法的实际问题。第一课时是整数乘法意义“求几个相同加数和的简便运算”的迁移，而“求一个数的几分之几是多少”则是整数乘法中“求一个数的几倍是多少”的拓展。如果学生没有自行将知识连接，缺少反思的意识与能力，新知识便容易形成知识的“孤岛”，阻断了知识之间的联系，也就意味着理解的浅尝辄止。而这两课的教学各自都有着教学的重点与难点，如第三课时的教学，重点放在理解关键句“红花比黄花多”的意义上，新授时无暇顾及沟通与联系。因此，教学中须要利用机动课时，进行沟通。
通过学生自创题目，画出相应的线段图（图1）。教师重点引导学生比较相同点与不同点。
学生发现，两题都是求“桃树棵数的是多少”，而“为什么桃树棵数的求出的量不一样呢？”是因为“第一个表示的是梨树的棵数，所以求得的是梨树的棵数，而第二个表示的是梨树比桃树多的棵数，所以求得的是梨树比桃树多的棵数。”学生的这种“发现”，实际是分数实际问题中的“量率对应思想”。深刻的数学思想，通过图形的直观，让学生在比较中有了深刻的感悟。
教学中这些知识点之间局部的联系，不同于整个单元、整册知识的整体框架，如果不及时沟通与联系，局部组织不循环，容易形成对理解的阻碍。通过对知识的多元表征，寻找共同之处，是形成知识结构的常用方法。沟通新旧知识之间的联系，利用旧知进行有效迁移，促进对新知识的理解，则是教学结构内化为认知结构的常规路径。
二、扩张知识结构，促进结构理解
数学中一些重要知识点、数学思想方法，具有生长性，但在进行单元整理时，由于无法与整个知识网构成一体，往往处于孤立状态。教学中，可将这些知识点或某种数学思想方法，通过题组进行线性的或是发散性的拓展，扩张知识的版图，将散点串线织网，向纵深发展，形成“知识包”或“方法链”。在此形成知识的组织结构中，强化学生的联系思维、发散思维、创造思维等，提升知识的可迁移性。
如苏教版《数学》五年级下册“圆的面积”教学之后，经常有“圆的外切正方形与圆”“圆的内接正方形与圆”之类的实际问题。教学这种类型的实际问题，通过切割转换，学生当时是能理解的，但过后的遗忘率相当高，这是因为知识、方法没有形成相应的结构。如果在教学时通过主动关联，进行联想，将相关知识联系起来，综合运用商不变规律、比的基本性质，获取知识之间的内在联系，不断扩展知识的版图。此时整体及部分互为理解的背景经验，不仅可以帮助学生知道相关知识是一个有联系的整体，而且知道整体是如何形成的，内部是如何关联的，这样才能产生超越知识的力量，最终扩展成如下知识链（图2）。
由一到多，不仅仅是这一题到多题，而是让学生进一步体会用联系的观点去学习数学，主动構建数学知识之间联系的一种意识与能力。“要对知识形成深刻的、真正的理解，这意味着学习者所获得的知识是结构化的、整合的。”着眼整体进行教学设计，着力关系构建知识体系，着重体验形成结构化的思维方式与知识网络，发挥知识之间联系的力量、整体的系统教学的力量。
深度挖掘知识、题目之间的渊源，能使相对独立的数学内容变得更为丰富、立体。在这方面，现行教材中的素材“俯拾皆是”。如在教学圆柱、圆锥之后，教材中分别编排了旋转长方形与直角三角形的习题。这些相关联的习题，可以以主题研究的形式，进行整体设计。例如可以组织以“旋转”为主题的拓展：直角三角形以斜边为轴，旋转一周，能够形成什么样的图形？如何求这个图形的体积？通过探究，引导学生发现关键在于旋转半径与旋转轴这两个要素，它们会影响旋转形成的立体图形的体积。由于旋转半径与旋转轴互相垂直，因而以斜边为轴旋转形成的立体图形体积就是两个底面相同（因为旋转半径相同），高之和为斜边的两个圆锥的体积之和。接着以平行四边形的任意一边为轴，旋转平行四边形，如图3。通过画图，找出旋转半径——平行四边形的高，将旋转之后形成的图形画出来，并进行转化，转化为一个长方形旋转之后形成的图形。还可引导学生继续拓展至其他的图形旋转，将课堂学习引向课外的自主探索。这样，以一个主题串联，以相同的方法，深入研究。在此过程中，学生的空间观念及其他的数学能力素养都得到了发展。
三、丰富核心概念，促进深入理解
数学概念有层次性、多维度的特点。对核心概念的深入理解，可以加强知识结构的稳固性，将思维、认知水平上升至一个新的台阶，提升学生的数学化水平。如2、3、5的倍数的认识，有必要让学生突破以末位数去判断的“表层结构”，去寻找知识内在统一的“深层结构”，从而加深理解，形成统一的认知结构。
如分数的认识，经历了意义、解决实际问题、比等相互影响、互相促进的一个循环过程，已有了较为完善的认知结构。但部分学生对分数，还一直处于过程的、操作的层面，并未凝聚至对象的、抽象的高级思维水平。如解决“工程问题”，学生都是用具体数量去解答的，而不能将工作总量看作“单位1”。固然，教材并没有编排这一内容的教学。但我们不应否认，工程问题教学不仅可以加深对分数意义的理解，还可以培养学生的抽象思维能力、建模能力。以下是工程问题教学的几个教学环节：
1.通过具体数量计算：有18吨石灰，如果大车独运，要4次运完;如果小车独运，要12次运完。两车合运，几次可以运完？
2.改变工作总量，引发猜想，并运用直观图联系商不变规律解释。初步发现总量的变化与工作效率之和变化之间的关系。通过直观图（图4），激活已有知识体系中的商不变规律、分数的基本性质等知识，引发学生继续向深处探究。
3.验证猜想，概括抽象。与总量无关，就把总量这个条件去掉，如何解决？
4.借助字母，构建算法。引导学生用字母表示：总数为a吨的话，a÷（a÷4+a÷12），结合图与算式的直观，把a提取出来，得1÷（+）=3次。
根据算式结合直观图，理解“单位1”，脱离具体量，运用分率列出算式。
5.变换情境，建立模型。解答购物、行程等情境中的问题，并比较：这些问题在解答过程中有什么共同之处？再根据算式“1÷（+）”编一个故事。
在以上教学中，着力去抽象理解“单位1”，建立工程问题的模型，提高解决实际问题的能力。一是在不同情境下把总数看作单位“1”，由多种情境，建立模型;二是由一到多，由模型到情境的回归。“只有经常变换课题的具体情境，在不同的情境中展现同一结构关系，学生才不会被具体情境所迷惑。”对小学数学学科来说，不仅要学习如何数学化、抽象化，也要让学生有大量的机会去体会如何解释、如何猜测、如何变式、如何拓展，而这才是真实、完整的数学学习生活。
作为小学数学教师，要注意對数学学习素材进行再整合、再建设，设计、生成更具张力的数学大问题;要注意把学生真正置于课堂中央，让他们自行组织信息，自主发现问题、分析问题和解决问题;要注意将深化教学结构与促进学生理解有机结合起来，将自下而上的学习过程（搭建组块）与自上而下的学习过程（纵览全局）综合起来，使培养高阶思维、提升数学素养的目标能够在课堂上真正得以落实。
参考文献
[1] 黄玉香.着眼素养培育的结构化教学[J].福建教育，2019（06）.
[2] 波利亚.数学的发现[M].刘景麟.曹之江.邹清莲，译.呼和浩特：内蒙古人民出版社，1981.
[责任编辑：陈国庆]
