静电驱动下振梁微陀螺仪的性能分析

李伟 杨晓东 张伟

摘要：
研究了一种末端带有检测质量块的单轴静电悬臂梁式微陀螺仪。检测质量块受到两个固定电极的耦合作用，这两个电极均连接直流电压以使质量块产生较大的静态变形。在驱动方向上的电极还受到交流电压的作用，驱动质量块产生主振动。当有旋转发生时，在垂直于主振动的敏感方向上质量块会受到科氏力而产生1个二次振动，通过测得二次振动的幅值大小便可以测得角速度。首先，依据Hamilton原理建立了振梁微陀螺仪的控制方程，研究了旋转悬臂梁的两个横向耦合振动。其次，分析了多种参数对微陀螺仪静态变形的影响，并求得了系统前2阶固有频率。研究发现不同参数对系统固有频率的影响规律，并讨论了系统驱动和敏感方向上的动力学放大效应及其校正曲线。

关键词：
振动微陀螺仪; 悬臂梁; 动态分析; 固有频率; 校正曲线

中图分类号：
O326;TB123  文献标志码：
A  文章编号：
1004-4523（2020）04-0742-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.012

引 言

近年来，微机械系统在制造成本、批量生产、重量、尺寸、耐久性、能耗和与集成电路兼容方面的优良性能使得它在测试和制造新设备方面具有广阔的发展前景[1]。微机械设备如微型泵、微镜、麦克风等微型谐振器，随机存储器、微型机器人、超灵敏传感器、微陀螺仪，在设备通信中的高频操作和快速切换网络方面具有很多种类的应用[2]。其中微陀螺仪广泛的存在于工程系统中，如相机、飞行器、汽车和卫星，用于跟踪它们的方位并且控制它们的路径。由于微陀螺仪复杂的动力学特性和极小的检测信号使得其成为微机械加工中最具挑战性的器件之一[3]。

微型陀螺仪具有多种类型的驱动和检测原理，如静电或压电等方式。振梁微陀螺仪是基于振动结构两种模式之间的能量交换而工作的。通过研究两端简支旋转梁，Yang和Fang[4]建立了压电振梁陀螺仪的运动方程，研究了不同的几何和物理参数对电压敏感性的影响。利用Hamilton原理对末端带有质量块的悬臂梁动力学建模，Bhadbhade等[5]提出了一种新的振动-扭转型振梁陀螺仪并研究了其陀螺效应。为建立微陀螺的频率方程，Esmaeili等[6]提出了一个通用的建模框架，该框架被模型化为受到一般基座激励下末端有质量块的悬臂梁结构。利用此频差法的思想，Ghommem和Abdelkefi[7]对纳米晶材料频差陀螺仪进行了性能分析。Ghayesh等[8]针对静电振动微陀螺仪应用修正偶应力理论，研究了微陀螺仪尺寸效应相关的动力学性能。

在静电微陀螺仪实际工作中，当微梁末端质量块两端的固定电极上加载的电压等于或者大于其临界电压时，临界静电力可将质量块在很短的时间内吸合，其中恢复力不能抵抗电容力导致电极相互坍塌，从而产生吸合失稳。针对静电驱动微悬臂梁由于电场、偏转梁的几何和惯性等引起的系统非线性，Chaterjee和Pohit[9]建立了有较大间隙且与地面分离的微悬臂梁的综合模型并对其进行了静态分析。考虑静电力和几何非线性的影响，Mojahedi等[10-11]研究了靜电微陀螺仪受到静电驱动和分子间力（范德华力和卡西米尔力）对系统非线性运动的静态吸合失稳和动态特性的影响。利用多尺度方法，Lajimi等[12]以及Ghommem等[13]分别研究了静电力引起系统非线性时的动力学和频率响应特性。

Rasekh和Khadem[14]提出了一种在模式匹配条件下具有高工作频率的振梁陀螺仪，但是，Lajimi等[13]将此模型称之为梁-质量型陀螺仪，Lajimi等通过引入刚体的转动惯量得出了更为准确的梁-刚体型陀螺仪模型，并用有限元法做了验证。基于静电驱动和电阻变化检测原理，Ghommem和Abdelkefi[16]设计了一种新型微陀螺仪并用仿真结果证明了新传感技术的可行性。通过引入悬臂梁末端质量块的偏心率，Lajimi等[17-18]研究了非线性微陀螺仪的参数性能和机械热噪声。

本文依据Hamilton原理对静电振梁陀螺仪建立了动力学方程，主要研究无量纲参数αv，w对微陀螺仪的静态和动态性能。参数αv，w是由方程无量纲化得到的，跟梁的长度和电容器的面积成正比，跟梁的抗弯刚度和质量块与电容器的间隙距离成反比，如改变梁的长度或抗弯刚度即可改变无量纲参数αv，w的值，由此可统一研究无量纲参数αv，w对微陀螺的性能影响。本文研究了无量纲参数对微陀螺静态特性的影响，发现转速、转动惯量和梁末端质量块对系统静态特性没有显著影响，但随着无量纲参数αv，w的增大，系统吸合失稳越来越小。接着分析了参数αv，w对系统1阶和2阶固有频率的影响。最后研究了驱动电压VAC和参数αv，w对系统敏感和驱动方向上的动力学放大和校正曲线的影响。

1 微陀螺仪建模

3.3 校正曲线

在参数VDC=4， αv，w=0.01694， ω=1.3， c =0.065和Mr=1作用下，图8展示系统在敏感和驱动方向上的校正曲线随驱动电压VAC幅值的变化。当其他参数不变时，随着VAC的增大，在图8（a）中可发现敏感方向上的最大位移vM是增大的，并且，当转速Ω增大时，vM是随着转速呈线性正比的，由此可测量出振动微陀螺的转速。当其他参数不变时，随着VAC幅值的增大，在图8（b）中发现驱动方向上的最大位移wM是增大的，但是，当转速Ω增大时，wM是不变的。VAC幅值越大，vM越大，系统的敏感度越高。

在参数VDC=4， VAC=0.1， ω=1.3， c =0.065和Mr=1作用下，图9描述系统在敏感和驱动方向上的校正曲线随参数αv，w的变化。当其他参数不变时，随着αv，w的增大，在图9中发现vM和wM是增大的，但当Ω增大时，wM是不变的，vM是随着Ω呈线性正比的，由此可测量出振动微陀螺的转速。当无量纲参数αv，w=0.01894时，敏感方向上的最大位移vM相比αv，w=0.01694和αv，w=0.01494高很多，αv，w越大，系统能达到的振动幅值越大，灵敏度越高，跟3.2节得到了一致的结论。

4 結 论

本文介绍了一种单轴振梁微陀螺仪，利用Hamilton原理对悬臂梁陀螺进行了建模，同时得到了系统的运动方程和边界条件。通过设解的形式并代入边界条件对方程进行了求解，分析了系统的静态变形并得到了系统的前2阶固有频率，以及研究了静电微陀螺仪的动力学放大效应和校正曲线。以下是得到的几点结论。

（1）不论如何变化系统参数，当变形达到间隙间距的33%时，该系统就会吸合失稳。

（2）在不同的αv，w影响下，当系统发生吸合失稳的时候，系统1阶固有频率减小直到零，系统2阶固有频率并不等于零并依然存在。

（3）当梁的长度增大或梁的抗弯刚度减小或电容器的面积增大或质量块与电容器的间隙距离减小时，可使参数αv，w增大，相同的电压驱动系统产生更大的变形，系统能达到的振动幅值越大，灵敏度越高。

（4）随着驱动电压VAC幅值和无量纲参数αv，w的增大，系统在驱动和敏感方向上的最大位移wM和vM是增大的，但是，当转速Ω增大时，wM是不变的，而vM是随着转速呈线性正比的，由此即可测量出振动微陀螺的转速。

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Abstract：
This paper introduces a single-axis electrostatic micro-gyroscope made of a cantilever beam and a proof mass fixed at the free end of the beam. The proof mass is under the coupled action of two fixed electrodes， both of which are connected to DC voltage to produce larger static deformation. The electrode in the driving direction is also subjected to AC voltage， which drives the proof mass to produce the primary vibration. Due to the rotation， a second-order vibration is generated by the Coriolis force in the sense direction which is perpendicular to the primary vibration. Therefore， the angular speed can be measured by detecting the amplitude of the second-order vibration. First， the governing equations of vibrating beam micro-gyroscope are deduced by Hamilton principle and the two transverse coupled vibrations of the rotating cantilever beam are investigated. Next， the influence of multiple parameters on the static deformation of micro-gyroscope is analyzed and the first two natural frequencies of the system are obtained. The effects of different parameters on the natural frequencies of the system are presented， and the dynamic amplification effect and its calibration curve in the drive and sense directions of the system are discussed.

Key words：
vibrating micro-gyroscope; cantilever beam; dynamic analysis; natural frequency; calibration curve