条件概率的三种求解方法
时间：2021-02-10 16:09:18 来源：达达文档网 本文已影响 人 
张瑜
【摘 要】 本文归纳了求解条件概率的三种方法，并通过一个简单例子验证三种解题的方法，说明每一种的方法的优劣。
【关键字】 古典概率;条件概率;样本空间;样本点
条件概率在概率论中是一个很重要的概念，因为由条件概率得到概率论中的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。因此何如求解条件概率也是很重要的内容。在教学中求解条件概率是一个重点，也是一个难点。比如在教学中，學生往往分不清楚这样的两个问题：（1）求两次都取到正品的概率。（2）已知第一次取到正品的条件下，求第二次也取到正品的概率。于是对学生强调把问题符号化后，就可以看出第二个问题是一个条件概率的问题，这时就可以区分了。在浙江大学盛骤、谢式千等人编写的教材《概率与数理统计》一书中提供了两种解题方法，一种是定义法： ，先计算P（A）、P（AB），再根据定义式 求出条件概率。另外一种是对于一般的古典概率问题，先计算P（B|A），在事件A发生的条件下，把A作为样本空间，用古典概率的方法来计算条件概率 ，
其中m表示事件A的样本点数，k表示事件AB的样本点数。在吴赣昌主编的教材《概率论与数理统计》一书中，明确提到也是这两种方法。实际上分得细点可以说有三种方法求解条件概率：定义法，A作为样本空间条件下求概率P（B），还有一种是在A发生的条件下，在剩余的样本空间里考虑概率P（B）。
一、基础知识
定义：若试验E满足下列条件：
（1）试验的样本空间只包含有限个样本点，即 ={e1，e2，…en};
（2）每个样本点的发生时等可能的，即 ，
则称次试验为等可能概型（古典概型）。
在古典概型中，若样本空间 只包含n个样本点，即有限个样本点（基本事件），事件A是 中事件，并且事件A中含有k个样本点，则事件A发生的概率为 ，
称P（A）为古典概率，这个式子也称为古典概型中事件A的概率计算公式。
定义，设A、B是两个事件，且P（A）>0，称
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
二、求解条件概率的方法
如果是一般古典概型的题，求解条件概率的方法有三种：
（1）定义法。在整个样本空间中先计算P（A）、P（AB），再由条件概率定义计算得 。
（2）事件A作为新的样本空间来考虑样本点数，即在事件A发生的条件下，A作为新的样本空间来考虑样本点数，用古典概率的方法求条件概率P（B|A）。
（3）把剩余部分作为新的样本空间来考虑样本点数，即在事件A发生的条件下，这里把A发生之后的部分看作是剩余的样本空间，而把剩余样本空间作为新的样本空间，用古典概率的方法求条件概率P（B|A）。
下面针对这个三个方法来举例。
例1一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，不放回抽样。设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率P（B|A）。
解：方法1：定义法，由条件概率定义知 ，
先求P（A）、P（AB），而由于本题是任取产品问题，可以看成是古典概型的题，由题意知4只产品中任取两只，每次取一只的整个样本空间的样本点数为C14·C13，第一次取到一等品的取法为C13·C12+C13·C11（因为第二次还没取，有可能取到一等品，也有可能取到二等品）或C13C13（第一个C13表示的是第一次从一等品3只中任取一只，第二个C13表示的是第一次取了一只后从总的剩余的3只中任取一只），故 或
，第一次取到一等品，第二次一等品取法为C13C12，故 ，于是由条件概率的定义
。
方法2：在条件概率P（B|A）中，在事件A发生的条件下，将A作为新的样本空间考虑样本点数，即第一次取到一等品的取法为C13C13（第一个C13表示的是第一次从一等品3只中任取一只，第二个C13表示的是第一次取了一只后从总的剩余的3只中任取一只），第二次取到一等品的取法为C13C12 ，故 。
方法3：在条件概率P（B|A）中，在剩余的样本空间中考虑样本点数，即第一次取到一等品一只（第一次取了结束了就不考虑了），第二次取的时候样本空间就从总的剩余的3只中任取一只的取法为C13，第二次取到一等品的取法为C12，故 。
对比条件概率的三种方法，方法3是最简单的，用的是古典概率的方法，并且在计算分母的样本空间时，第一次取了结束了，第二次取的时候就不考虑了。其实方法1中计算
（分母样本空间的样本点数为：从总的4只产品中任取一只的取法C14，分子事件A的样本点数为：第一次取到一等品的取法C13，即第一次取时，第二次还没发生，没发生就不考虑）;而方法1是用定义，明确、好理解的;方法2是条件作为新的样本空间来考虑样本点数，比较难理解，但也是一个解题方法。
【参考文献】
[1]盛骤，谢式千，潘承毅 编.概率论与数理统计（第四版）[M].高等教育出版社，2008：15-16.
[2]吴赣昌 主编.概率论与数理统计[M].中国人民大学出版社，2011：18-20.
[3]杨七九 主编.概率论与数理统计[M].上海交通大学出版社，2018：14.
【项目编号：2019J0245，云南省教育厅项目，教师类项目，名称：基于探究式學习的数学教学研究】
（1984～），女（白族），云南丽江人，云南大学旅游文化学院信息学院，讲师，研究生硕士学位，计算数学专业，研究方向：信息安全，网络计算。
