2015.1 海淀区九年级数学第一学期期末练习(含答案)

　海淀区九年级第一学期期末练习

　2015.1 数学试卷答案及评分参考

　阅卷须知:

　1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将

　主要过程正确写出即可．

　2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分．3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到步应得的累加分数．

　一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）

　题 号 1 2 3 4 5 6 7 8答 案 A A D C B B C B

　二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）9． 3?； 10． 24；

　 x1 ? ?2, x2 ?1； 12． （1）37，26；（每个答案 1 分）（2）6.（2 分）11．

　三、解答题：（本题共 30 分，每小题 5 分）13．（本小题满分 5 分）

　1

　解：原式

　? ?1? ?1? 2 ……………………………………………………………………4 分

　2 1

　? ． ………………………………………………………………………………5 分

　2

　14. （本小题满分 5 分） 证明：∵AB=AC，D 是 BC 中点，

　∴AD⊥BC． …………………………………………………………………………1 分

　∴∠ADC=90°． ∵BE⊥AC， ∴∠BEC=90°．

　∴∠ADC=∠BEC． ……………………………………………………………………3 分在△ACD 和△BCE 中，

　ACD ? ?BCE

　，

　 ?

　ADC BEC，

　∴△ACD∽△BCE．……………………………………………………………………5 分 15. （本小题满分 5 分）

　解：由已知，可得 m2 ? 3m ? 2 ? 0 ．………………………………………………………1 分 ∴ m2 ? 2 ? 3m． ………………………………………………………………………2 分

　m m m

　2 ?1?1 ? 2 ? 2 ? 3 ?

　3

　∴原式= ．………………………………………………5 分

　m m m

　16. （本小题满分 5 分）

　解一：设平移后抛物线的表达式为

　y ? 2x ?bx ? c ． …………………………………1 分

　2

　∵平移后的抛物线经过点 A(0, 3) ， B(2, 3) ，

　∴

　?3 ? c,

　3 8 2b c.

　………………………………………………………………………3 分

　? ? ?

　b 4,

　解得 …………………………………………………………………………4 分

　? ?

　c 3. ?

　所以平移后抛物线的表达式为 y ? 2x2 ?4x ?3． ………………………………5 分 解二：∵平移后的抛物线经过点 A(0, 3) ， B(2, 3) ，

　∴平移后的抛物线的对称轴为直线 x ?1. …………………………………………1 分∴设平移后抛物线的表达式为 ? ?2

　y ? 2 x ?1 ? k ． ………………………………2 分

　∴ 3 ? 22 ?1? ? k ．.………………………………………………………………3 分∴ k ?1．.………………………………………………………………………………4 分

　2

　所以平移后抛物线的表达式为 ? ?

　y ? 2 x ?1 ?1． ………………………………5 分

　2

　17. （本小题满分 5 分）

　解：（1）将 x ? 2 代入 y ? 2x 中，得 y ? 2? 2 ? 4 ．

　∴点 A 坐标为 (2, 4)．………………………………………………………………1 分

　k

　∵点 A 在反比例函数 y ? 的图象上，

　x

　∴ k ? 2?4 ? 8 ．……………………………………………………………………2 分

　8

　∴反比例函数的解析式为

　y ? ． ………………………………………………3 分

　x

　（2） P ?1,8?或 P1,?8?．……………………………………………………………5 分

　18. （本小题满分 5 分）

　4

　解：（1）∵△ABC 中，∠ACB=90°，

　sin A ? ， BC=8，

　5 BC 8

　AB ? ? ?10 ．…………………………………………………………1 分 ∴

　4 sin A

　5

　∵△ABC 中，∠ACB=90°，D 是 AB 中点，

　1

　∴

　CD ? AB ? 5．…………………………………………………………………2 分

　2

　（2）解法一：过点 C 作 CF⊥AB 于 F，如图．

　∴∠CFD=90°．

　 AC ? AB2 ? BC2 ? 102 ?82 ? 6．

　在 Rt△ABC 中，由勾股定理得

　∵ CF ? AB ? AC ?BC ，

　 AC ?BC 24

　CF ? ? ．………………………………3 分

　∴

　AB 5 E

　B

　∵BE⊥CE，

　∴∠BED=90°．

　∵∠BDE=∠CDF，

　D

　F

　∴∠ABE=∠DCF．………………………………………4 分

　A C

　∴

　24

　CF 24

　5

　cos ABE cos DCF CD 5 25

　
? ? ． …………………………………5 分

　解法二：∵D 是 AB 中点，AB=10，

　∴

　∴

　1

　BD ? AB ? 5．……………………………………………………………………3 分

　2

　 1

　S? ? S? ．

　BDC ABC

　2

　在 Rt△ABC 中，由勾股定理得

　AC ? AB2 ? BC2 ? 102 ?82 ? 6．

　1

　S? ? ?6?8 ? 24 ．

　∴

　ABC

　2

　∴ S? ?12．

　BDC

　1

　BE ? ．

　∴

　2

　∵ CD ? 5，

　24

　∴

　BE ? ． ………………………………………………4 分

　5

　∵BE⊥CE，

　A

　E

　D

　B

　C

　∴∠BED=90°．

　24

　BE 24

　5

　cos?ABE ? ? ? ．……………………………………………………5 分 ∴

　BD 5 25

　四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）19．（本小题满分 5 分）

　解：（1）由已知，得 m ? 0 且

　? ? m ? 2 ? 4?2m ? m ? 4m ? 4 ? m ? 2 ? 0 ，

　2 2 2

　∴ m ? 0 且 m ? 2．…………………………………………………………………2 分

　?m ? 2 ?m ? 2?

　（2）原方程的解为

　x ? ．

　2m 2

　∴ x ?1或 ? ．…………………………………………………………………3 分

　x

　m

　2

　∵ x2 ? 0，∴ 1 1 ? ? ．∴ m ? 0． x 0

　x ? ，

　2

　m x

　m ? ? ．∴ m ? ?2． ∵ 1 ? ?1， ∴ 1

　x 2

　2

　又∵ m ? 0且m ? 2，

　 ∴ ?2 ? m ? 0 ．……………………………………………………………………4 分 ∵m 是整数，∴ m ? ?1． ………………………………………………………5 分

　20. （本小题满分 5 分）

　解：（1） ? ?

　y ? ? x x ? ? ? x2 ? x ? ． ……………………………2 分

　100 5 2 4 10 180 400

　（1? x ?10 且 x 为整数）．

　（2）∵ ? ?

　y ? ? x2 ? x ? ? ? x ? ? ．…………………………3 分

　2

　10 180 400 10 9 1210

　又∵1? x ?10 且 x 为整数，

　 ∴当 x ? 9 时，函数取得最大值 1210．…………………………………………4 分答：工厂为获得最大利润，应生产第 9 档次的产品，当天的最大利润为 1210 万元． ………………………………………………………………5 分

　21. （本小题满分 5 分）

　解：（1）连接 OB,OC．

　∵AD 与⊙O 相切于点 A，

　∴FA⊥AD．

　D

　C

　∵四边形 ABCD 是平行四边形，

　∴AD∥BC，

　∴FA⊥BC．……………………………………1 分

　∵FA 经过圆心 O，

　∴OF⊥BC 于 E， CF ? BF ．

　∴∠OEC=90°，∠COF=∠BOF．

　∵∠BOF=2∠BAF．

　∴∠COF=2∠BAF．

　∵∠PCB=2∠BAF，

　∴∠PCB=∠COF．

　 ?

　∵∠OCE+∠COF=180° ∠OEC=90°，

　∴∠OCE+∠PCB=90°，即∠OCP=90°．

　∴OC⊥PC．

　∵点 C 在⊙O 上，

　A

　O

　E F

　B

　P

　∴直线 PC 是⊙O 的切线．…………………………………………………………2 分 （2） ∵四边形 ABCD 是平行四边形，

　∴BC=AD=2．∴BE=CE=1．

　在 Rt△ABE 中，∠AEB=90°，AB= 10 ，

　∴ AE ? AB2 ? BE2 ? 3．…………………………………………………………3 分设⊙O 的半径为 r，则OC ? OA ? r ，OE ? 3?r ．在 Rt△OCE 中，∠OEC=90°， ∴ OC2 ? OE2 ? CE2 ．

　∴ r2 ? ?3? r? ?1．

　2

　解得

　5

　r ? ．…………………………………………………………………………4 分

　3

　∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP =90°，∴△OCE∽△CPE．

　OE OC

　? ． ∴

　CE CP

　5 5

　3?

　3 3

　? ． ∴

　1 CP

　5

　CP ? ．……………………………………………………………………………5 分 ∴

　4

　22.（本小题满分 5 分）

　（1）如图，线段 CD 即为所求；……………………1 分

　C

　（2）OC= 4 2

　， tan?AOD=5；……………………3 分

　5 A

　（3） tan?AOD= 7

　．…………………………………5 分

　4

　D B

　五、解答题：（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 8 分，第 25 题 7 分）23．（本小题满分 7 分）

　k

　解：（1）∵反比例函数

　y ? 的图象经过点 A(1, 4) ，

　x

　∴ k ? 4．………………………………………………………………………1 分

　4

　∴反比例函数的解析式为

　y ? ．

　x 4

　∵反比例函数

　y ? 的图象经过点 B(m,n) ，

　x

　∴ mn ? 4 ．………………………………………………………………………2 分

　y ? (x?1) 的图象经过点 B(m,n) ，

　2

　（2）∵二次函数

　∴

　n ? (m?1) ．…………………………………………………………………3 分

　2

　由（1）得 mn ? 4 ，

　∴原式 ? mn(m2 ? 2m ?1) ? 2mn ? 4n

　? （4 m ?1）? 8 ? 4n

　2

　? 4n ?8? 4n

　? 8．……………………………………………………………………4 分

　4

　y ? ．

　（3）由（1）得反比例函数的解析式为

　y

　x

　5

　令 y ? x ，可得 x2 ? 4 ，解得 x ? ?2．

　 4

　 3

　2

　1

　4

　y

　? 的图象与直线 y ? x 交于

　∴反比例函数

　x

　点 (2, 2) ， (?2,?2)．…………………………5 分

　-5 -4 -3 -2 -1

　O 1 2 3 4 5

　当二次函数 y ? a(x ?1)2 的图象经过点(2, 2) 时，可得 a ? 2；

　-1

　-2

　y ? a x ? 的图象经过点(?2,?2)时，可得 2

　( 1) a ? ? ．

　2

　当二次函数

　-3

　9

　-4

　y ? a(x ?1) 的顶点为(1, 0) ，

　2

　∵二次函数 -5

　2

　∴由图象可知，符合题意的 a 的取值范围是0 ? a ? 2 或 a ? ? ．…………7 分

　9

　x

　24. （本小题满分 7 分）

　（1） AD+DE=4． ……………………………………………………………………………………1 分

　（2）① 补全图形．……………………………………………………………………………………2 分

　解： 设 DE 与 BC 相交于点 H，连接 AE， 交 BC 于点 G，如图．

　∠ADB=∠CDE =90°， ∴∠ADE=∠BDC． 在 △ADE 与△BDC 中，

　? ?

　AD BD,

　A

　 ? ?

　? ADE BDC,

　? ?

　D DE DC,

　B

　C

　G H ∴△ADE ≌△BDC．……………………………………3 分

　∴AE= BC ，∠AED=∠BCD． DE 与 BC 相交于点 H，

　∴∠GHE=∠DHC．

　F E

　∴∠EGH=∠EDC=90°．…………………………………………………………………………4 分 线段 CB 沿着射线 CE 的方向平移，得到线段 EF，∴EF = CB=4， EF // CB．

　∴AE= EF．

　CB//EF，∴∠AEF=∠EGH=90°． AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°．

　EF

　∴AF= =4 2 ． …………………………………………………………………………5 分

　cos 45

　② AF ? 8sin ． ………………………………………………………………………………7 分

　2

　25.（本小题满分 8 分）

　解：（1）① 1；………………………………………………………………………………1 分

　 ② 1．………………………………………………………………………………2 分（2） 2． …………………………………………………………………………………4 分（3）不妨设矩形 ABCD 的边 AB=4，BC=3．由已知可得，平移图形 W 不会改变其测度

　面积 S 的大小，将矩形 ABCD 的其中一个顶点 B 平移至 x 轴上．

　y

　当顶点 A，B 或 B，C 都在 x 轴上时，

　y

　如图 5 和图 6，矩形 ABCD 的测度

　A D

　面积 S 就是矩形 ABCD 的面积，此时 S=12．

　D C

　………………………………5 分

　O O

　A B B C

　x x

　图 5 图 6

　当顶点 A，C 都不在 x 轴上时，如图 7．

　过 A 作直线 AE⊥x 轴于点 E，过 C 作直线 CF⊥x 轴于点 F，

　过 D 作直线 GH∥x 轴，与直线 AE，CF 分别交于点 H 和点

　G，则可得四边形 EFGH 是矩形．

　y

　H G

　D

　C

　当点 P，Q 分别与点 A，C 重合时， x1 ? x2 取得最大值 m ，

　且最大值 m ? EF；

　y ? y 取得最大值 n ，且

　当点 P，Q 分别与点 B，D 重合时，

　 最大值 n ? GF ．

　1 2

　∴图形 W 的测度面积 S ? EF ?GF ．

　∵∠ABC=90°，

　∴∠ABE+∠CBF=90°．

　∵∠AEB=90°，

　∴∠ABE+∠BAE=90°．

　O

　A

　E B F

　x

　图 7

　∴∠BAE=∠CBF．

　又∵ ?AEB ? ?BFC ? 90 ，

　∴△ABE∽△BCF．…………………………………………………………………………6 分

　AE EB AB 4

　? ? ? ． ∴

　BF FC BC 3

　设 AE ? 4a,EB ? 4b ?a ? 0,b ? 0?，则 BF ? 3a,FC ? 3b ，

　在 Rt△ABE 中，由勾股定理得 AE2 ? BE2 ? AB2 ．∴16a2 ?16b2 ?16．即 a2 ? b2 ?1．

　∵ b ? 0，∴ b ? 1? a2

　易证△ABE≌△CDG． ∴CG ? AE ? 4a．

　∴ EF ? EB ? BF ? 4b?3a ，GF ? FC ?CG ? 3b? 4a．

　∴ S ? EF ?GF ? ?4b ? 3a3b ? 4a?

　?12a ?12b ? 25ab ?12 ? 25a 1? a2

　2 2

　? ? 2 ? 2 ?12 ? 25 ?a4 +a2

　12 25 a 1 a

　? ?

　2

　? 2 1 ? 1

　? ? a ? ? ?

　 ? 2 ? 4

　12 25

　∴当 2 1

　a ? ，即

　2

　 2 1 49

　a ? 时，测度面积 S 取得最大值12 ? 25? ? ．…………7 分

　 2 4 2

　∵ a ? 0,b ? 0 ，∴ a2 ? a4 ? 0 ．∴ S ?12．

　49

　∴当顶点 A，C 都不在 x 轴上时，S 的范围为

　12 ? S≤ ．

　2 49

　综上所述，测度面积 S 的取值范围是12≤S≤ ．………………………………………8 分

　2