几何与代数因“坐标法”相得益彰
时间：2020-12-25 18:05:14 来源：达达文档网 本文已影响 人 
袁莉莉 祝峰
摘 要：解析几何试题的求解应在坐标法的统领下，先用几何眼光观察，再用坐标法推理论证和求解，使几何与代数相互为用、相得益彰.
关键词：坐标法;变式;几何;代数
1 问题提出
解析几何体现了研究几何的代数方法.利用坐标系将点表示为有序数组，建立起空间中点与有序数组之间的一一对应关系，由此可以将空间中的线（直线、曲线）、面（ 平面、曲面） 表示为一个方程，几何问题就归结为代数问题;进而借助于代数运算和变换，对这些数、代数式及方程之间的关系进行讨论;最后再把讨论的结果利用坐标系翻译成相应的几何结论.
这就是教师熟悉的三步曲：翻译——代数讨论——翻译.因此，解析几何是在采用坐标方法的同时，运用代数方法来研究几何对象[1].这里的“代数”是解决几何问题时用到的工具.在解答过程中，首先要将几何图形的性质用代数的语言来描述，最终通过坐标的代数运算来研究几何图形的性质.但“几何”是思考的起点和终点，也是问题的缘起和归宿.求解解析几何问题过程中，到底“几何”多一点还是“代数”多一点？求解解析几何问题的落脚点应该是什么？[2]这样的讨论一直存在，笔者的观点应该是几何与代数并举：几何图形位置、数量关系的推理与论证，思维量大，运算量小;代数运算和变换，思维量小，运算量大，两者各有特征，互为表里，相互为用.本文以2019年全国Ⅰ卷理科第16题的探究过程为例，阐述求解解析几何问题的过程中，在坐标法统领下， “几何”与“代数”之间的权衡.
2 试题再现
试题 （2019年全国Ⅰ卷理科第16题）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若F1A=AB，F1B·F2B=0，则C的离心率为.
此题在填空题压轴位置，综合性强、难度大，具有探索性、开放性、综合性，承载着较强的选拔、区分功能，很好地发挥了高考对教学的引领作用.
3 试题探究
3.1 代数视角
3.1.1 设出直线F1B的方程
解法1 如图1，F1（-c，0），设AB的方程为x=my-c，注意到双曲线C的渐近线方程为y=±bax.
由x=my-c，y=-bax，解得yA=bcbm+a.
同理可得yB=bcbm-a.
因為F1A=AB，所以2yA=yB.
即2bcbm+a=bcbm-a.
解得m=3ab.于是B（c2，bc2a）.
因为 F1B·F2B=0，所以（3c2，bc2a）·（-c2，bc2a）=0.
整理，得b2=3a2.
故离心率e=ca=1+b2a2=2.
评析 点A，B均是直线F1B与其它直线的交点，在坐标法驱动下，需要表示出A，B两点的坐标，设出AB的方程，引入未知量m.通过方程的运算，表示出点A，B的坐标.条件F1A=AB，F1B·F2B=0全部坐标化，转化为两个等式，即2yA=yB，（3c2，bc2a）·（-c2，bc2a）=0，视两等式为方程，通过消元求得a，b的关系，达到求解离心率的目的.
3.1.2 设出点B的坐标
解法2 注意到OA：y=-bax， OB：y=bax，故设B（at，bt）.所F1B=（at+c，bt），F2B=（at-c，bt）.
由F1B·F2B=0，得（at+c）（at-c）+b2t2=0.
解得t=±1（t=-1舍）
所以B（a，b）.
又因为F1A=AB，所以A（a-c2，b2）.
代入直线OA的方程得（a-c）b+ab=0.
解得c=2a.所以e=ca=2.
评析 代数法解决问题的前提是点有坐标.解法1中，设出直线AB的方程，通过解方程求得点A，B的坐标;解法2是设出点B的坐标，引入未知量t，把F1B·F2B=0方程化，求得t=±1，先求出点B坐标，再把条件F1A=AB坐标化，获得A（a-c2，b2），代入直线OA的方程，即构建a，c的关系.整个过程，缘于坐标，通过方程求解，止于图形性质.
3.1.3 列出点B的轨迹方程
解法3 由F1B·F2B=0，可得点B轨迹方程为x2+y2=c2.
联立直线OB有x2+y2=c2，y=bax.
解得B（a，b）.下同解法2.
评析 如何利用条件F1B·F2B=0？在解法1、解法2中都是把向量表达式坐标化，利用数量积为零，列出关系式，得到方程.而解法3则依据动点轨迹求解思想，直接得到点B满足的轨迹方程.
3.1.4 列出直线AB的方程
解法4 双曲线C的渐近线方程为y=±bax.
由F1A=AB知A是F1B的中点.
因为O是F1F2的中点，所以OA//BF2.
又F1B·F2B=0，所以AB⊥OA.
由直线OA的方程为y=-bax，可知AB的方程为y=ab（x+c）.
联立y=ab（x+c），y=-bax，解得xA=-a2c.
同理xB=-a2c2a2-c2.
结合A是F1B的中点，可得-a2c2a2-c2-c=-a2c×2 .
整理可得c4-5a2c2+4a4=0.
即e4-5e2+4=0.
解得e=2（其中e=±1，e=-2舍去）.
评析 与设出直线AB方程不同，解法4是把F1B·F2B=0转化为图形特征，即AB⊥OA.求出直线AB的斜率，直接列出其方程，没有引入新的未知量.条件F1A=AB则转化到点的坐标之间的关系上，建立了a，c的关系.
上述四种求解方法，均侧重于图形的几何特征坐标化、方程化，通过代数运算解决问题.坐标法是对学习和研究解析几何具有广泛、持久、深刻影响的基本数学思想方法和基本思维策略方法[3].在这种基本思想的引领下，当学生面对解析几何问题时总能想到问题解决的办法.在解决几何问题中注重坐标法思想的引领作用，“可以提高思维的系统性、结构性、逻辑性，有效克服‘做得到但想不到的尴尬，使数学的发现更具‘必然性” [2].同时应注意的是，在平面直角坐标系中，点的坐标由几何作图得到，要将各种几何性质翻译成坐标运算，需借助几何定理，利用图形描述分析数学问题，建立数与形的联系，才能探索出解决问题的思路.
3.2 几何视角
3.2.1 证明ΔOBF2为正三角形
解法5 因为F1A=AB，结合O为F1F2的中点，所以OA//BF2.所以∠F1OA=∠OF2B.
由双曲线渐近线的对称性，有∠F1OA=∠F2OB.
所以∠F2OB=∠OF2B.
所以OB=BF2.
又因为F1B·F2B=0，
所以在RtΔF1BF2中，OB=OF2.
所以ΔOBF2为正三角形.
所以∠F2OB=60°.
所以ba=tan60°=3，即b=3a.
所以b2=3a2.
因为a2+b2=c2，所以c2-a2=3a2.
所以e=2.
评析 没有进行任何坐标转化，而是把条件F1A=AB，F1B·F2B=0均转化为图形的几何特征，借助几何直观，感知图形的形态规律.通过演绎论证得到ΔOBF2为正三角形，依据斜率的定义，构建a，b关系，达到求解离心率的目的.
3.2.2 斜率的定义
解法6 如图2，由F1A=AB知点A是F1B的中点.
因为O是F1F2的中点，
所以OA//BF2.
又因为F1B·F2B=0，
所以F1B⊥F2B.
在RtΔBF1F2中，设∠AF1O=θ，则∠BOF2=2θ.
依据斜率的定义，kOB=tan2θ=ba.
因为F1B⊥OA，所以kF1B=ab=tanθ.
所以ba=tan2θ=2tanθ1-tan2θ=2·ab1-（ab）2.
整理，得b2=3a2.所以e=2.
评析 把条件中的垂直及中点转化到直线OB和直线F1B倾斜角之间的数量关系，结合斜率的定义，建立a，b之间的关系，达到求解离心率的目的.
三角、向量都具有数与形的双重身份，为减少计算量，在坐标化前要考虑可否利用三角、向量、平面几何知识简化几何问题.对某些看似与三角、向量、平面几何无关的距离、面积等问题，若能结合三角、向量、平面几何知识，则可收到事半功倍之效.因此，只有挖掘“形”的特征，才能简化“数”的繁难.
4 试题变式
不失原问题特征，试题可作如下不同视角的变式：
变式1 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，曲线x2+y2=a2+b2与双曲线C的渐近线在第一象限交于点B，连接F1B，与另一条渐近线交于点A，满足2OA=OF1+OB，则C的离心率为.
变式2 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若F1A=22AB，F1B·F2B=0，则C的离心率为.
变式3 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，过点F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若F1A=λAB，F1B·F2B=0，则λ=.
变式4 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，过点F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若F1A=22AB，则F1B·F2B=.
变式5 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若F1A=（m2+1）AB（m∈R），F1B·F2B=0，则C的离心率的取值范围是.
变式6 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若F1A=λAB，F1B·F2B=0，则λ的取值范围为.
变式7 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若F1A=λAB，F1B·F2B=0，证明：双曲线C的离心率为2λ.
在上述问题的探究过程中，可得如下命题：
已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B（B位于第一象限）两点.
命题1 点B坐标为（a，b）F1B⊥F2B.
命题2 若F1A=λAB，则双曲线C的离心率为2λ.
5 结束语
高中阶段，研究图形的主要思想方法有：综合几何法、解析几何法、向量几何法.在讨论特定问题时，还可以用变换几何法、分析（微积分）方法等[4].在平面几何问题的求解过程中，解析几何是“以代数方法研究几何问题”，但解题中应注意几何与代数的相互为用.实际上，首先应明确面临的几何问题是什么，然后才能使用代数方法研究，所以在求解解析几何试题的过程中一定要注意“先用几何眼光观察，再用坐标法推理、论证和求解”的基本思路，不要忽视“几何要素的分析”这一环.也就是要处理好“代数求解”与“几何直观”之间的关系.如果过多地把注意力集中在代数研究，虽然能达到细致入微的境界，但没有直观形象的支撑，最后还是不能很好地把握图形的几何性质.所以，适当地进行“代数关系的几何意义”的训练也是很有必要的[5].只有在坐标法的統领下，才能使几何与代数互为表里、相得益彰;才能想得到、做得到;才能感悟到解析几何这门学科的精髓.
参考文献：
[1] 章建跃.解析几何的思想、内容和意义——“中学数学中的解析几何”之一 [J].中学数学教学参考，2007（13）：1-3+16.
[2] 章建跃.章建跃数学教育思想随想录 [M].杭州：浙江教育出版社，2017.
[3] 李昌官.为发展学科一般观念而教——兼谈解析几何复习起始课教学 [J].数学通报，2019，58（09）：11-15.
[4]史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018.
[5]章建跃.人教A版高中数学课标教材中的解析几何——“中学数学中的解析几何”之四[J].中学数学教学参考，2007（19）：3-6.
[6] 王雅琪.坐标一桥飞架 数形天堑变通途——谈2015年高考数学北京卷对解析几何的考查[J].数学通报，2016，55（03）：46-48+53.
（收稿日期：2019-11-15）
