基于Mathematica的保角变换可视化教学探讨
时间：2021-02-05 06:00:30 来源：达达文档网 本文已影响 人 
曾然 李浩珍 毕美华 杨淑娜 胡淼
摘 要 针对数学物理方法课程内容抽象、计算复杂的问题，以数学物理方法中的保角变换这一章节为示例，结合保角变换法中常见的具体形式，通过Mathematica软件建立交互式图像，实现该章节内容的可视化教学，加深学生对知识的理解，提升学习兴趣。同时，为其他章节的可视化教学提供借鉴，从而提升该门课程的教学质量。
关键词 Mathematica;数学物理方法;保角变换法;交互式图
像;可视化教学
中图分类号：G642 文献标识码：B
文章编号：1671-489X（2020）06-0042-04
Exploration on Visualization Teaching of Conformal Transfor-mation based on Mathematica//ZENG Ran， LI Haozhen， BI Meihua，
YANG Shuna， HU Miao
Abstract Aiming at the abstraction and complexity of mathematical physics course， the article takes the chapter of conformal transfor-mation in mathematical physics course as an example， and combines some specific forms used in conformal transformation to establish interactive images through Mathematica software. It deepens stu-dents understanding of knowledge and enhances their interest in this
course by realizing the visualization teaching of this chapter. At the
same time， it provides reference for the visual teaching of other chap-
ters， finally improving the teaching quality of the course.
Key words mathematica; mathematical physics; conformal transfor-mation; interactive image; visualization teaching
1 引言
數学物理方法课程是一门面向物理系本科以及部分工科专业学生的必修的重要专业基础课程，这门课程着重培养和训练利用数学工具简化物理问题[1]，在解决物理问题的基础上能够阐述结果的物理意义，为接下来更加深入的物理课程学习提供了解决问题的基本方法。该课程主要包含复变函数和数学物理方程两大部分内容[2]，其中复变函数部分的特点是定义抽象、公式繁多、推导冗长;数学物理方程部分的特点是教学时机械地套用公式，得到的结果往往比较抽象，没有充分利用数形结合的方式简化物理问题的理解。综上所述，该课程的特点不利于激发学生的学习兴趣，不利于发挥学生学习该门课程的主动性。
本文利用Mathematica软件对数学物理方法课程中的保角变换这一章节进行可视化教学探讨，利用软件可视化，建立交互式图像，动态展示常用形式的保角变换的性质和作用，并且引入具体问题加以解决和分析。通过性质的讲解和具体问题的分析并结合交互式图像，推动学生充分理解保角变换的定义，明确常用形式的保角变换法的性质并加以应用，提升学生的学习兴趣，从而整体提升该门课程的教学质量。
2 Mathematica软件的特点与用途
Mathematica软件是一个拥有丰富功能并且界面交互友好的数学软件工具。强大的符号运算，可以解决初等数学中代数式和函数的计算与化简，微积分中的极限、导数、定积分、将函数展开成幂级数求和以及积分变换、解微分方程等问题，还有线性代数中行列式、矩阵的各种运算，解线性方程组，求矩阵的特征值和特征向量等诸多功能。它还拥有大量的原生函数，因此具有强大的计算能力;并且得益于强大的函数库，编程代码简洁高效，相比于其他软件更加便于教学的使用。Mathematica软件作为可视化工具，显示效果显著，在二维三维图形绘制、串列绘图、彩色绘图、复变函数的图形绘制、时域频域的图形绘制以及动画显示的处理等诸多方面，都有着不错的效果。Mathematica软件内置交互式操作函数，可以形成可视化的界面以及可调的参数按钮。这两个特点十分有利于研究函数的变化过程或者函数中某个参量的作用，通过这种交互式的可视化图像帮助学生加深对知识的理解。因此，Mathematica软件在可视化教学的应用中有着巨大的优势，这也是本文选择Mathematica软件进行教学改革探讨的原因。
3 保角变换的概念
从解析函数的导数形式上来看，其可以分为解析函数导数的模和导数的幅角两个部分，这两个部分对应着不同的几何意义。模的几何意义是，通过该解析函数所表示的映射变换，Z平面的无穷小线元dz映射到W平面上的无穷小线元dw时[3]，反映其长度变化的大小（或称伸缩倍数），而且这一倍数与向量dz的方向无关，因此把解析函数导数的模称为映射在?z趋近于0时的伸缩率，并且所给定的各个方向上解析函数导数的模值都相等，映射w=f（z）在z0处具有伸缩率不变性。导数的辐角所代表的几何意义是，W平面线元dw相对于Z平面线元dz逆时针方向转过的角度[3]。
假设在Z平面上有两条曲线相交于点z0，则在W平面上也有相应的两条曲线相交于相应的点w0。从Z平面到W平面，两曲线都是旋转argw′（z），所以不论解析函数的形式怎么变化，两个平面中两曲线交角不变。因此，映射w=f（z）在z0处具有保角性。解析函数w=f（z）且f′（z0）≠0所代表的变换称为保角变换。保角变换的作用是将边界形状比较复杂的平面标量场通过一次或者多次合适的变换，转化为边界形状比较简单的理想平面标量场，所以保角变换对解决实际工程问题有着重要的作用[3]。
4 常用的几种保角变换的可视化教学
幂函数和根式变换 幂函数和根式变换形式为：。
幂函数变换的作用是将过原点直线与横坐标轴的交角放大为n（n≥1）倍，根式变换的作用是将过原点直线与横坐标轴的交角缩小为n′（n′≤1）倍[3]。为了更直观地展示幂函数和根式变换的作用，利用Mathematica软件构建交互式图像。研究对象选择一条过原点射线且与横坐标轴交角为30°，在程序中x的值设置为足够大，可以近似为理想射线：，0≤x
≤2 000 000。當n=1，2，3，4时，得到图1，实现代码如下：
Manipulate[ParametricPlot[ReIm[（Sqrt[3] x + I x）^n]， {x， 0， 2000000}， PlotRange -> 3， Frame -> True]， {n， 0， 4}]
随参数n的增大，过原点射线与横坐标轴的交角也从30°相应增大到60°，
90°，120°，通过可视化的方式直观地展示了幂函数变换的作用。根式变换的作用可以用同样的方法进行研究。幂函数和根式变换可以应用在很多方面，如求解带电无限大金属板二面角内电场的分布以及半无限大带电金属板的电场分布。
对数函数变换 对数函数变换形式为：w（z）=1n（z）。对数函数变换的作用是将Z平面上以原点为圆心的圆变为W平面上的平行于虚轴的线段[3]。研究对象取一系列半径不一致的同心圆：z=acos[t]+Iasin[t]，-π≤t≤π。其中移动参数滑块a，当a=0.4，1，2，4时，得到图2，实现代码如下：
Manipulate[
ParametricPlot[{ReIm[a Cos[t] + I a Sin[t]]}， {t， -Pi， Pi}，
PlotRange -> 4]， {a， 0， 4}]
Manipulate[
ParametricPlot[{{ReIm[Log[a Cos[t] + I a Sin[t]]]}}， {t， -Pi， Pi}，
PlotRange -> 4]， {a， 0， 4}]
通过Mathematica的可视化验证了对数函数变换的作用。在此基础上，连续变化的图像又进一步反映了在Z平面随着圆的半径变大，映射到W平面，得到的线段自左向右平移。对数函数变换可以应用在很多方面，比如求解同轴线电容器问题等。为了加深学生对于对数函数变换的理解，授课时以同轴线电容器问题为例，设内径为a，外径b（a < p> 分式线性变换 分式线性变换形式为：，（ad-bc≠0）。分式线性变换作用是使圆保持为圆，而且对于圆的对称点保持为对称点[3]。所谓对于圆的对称点，可以描述为：已知圆C，半径为R，有两点A和B，其连线通过圆C的圆心O，而OA*OB=R2，则A和B两点就称为对于圆C为对称点。研究对象仍然选择单位圆，当ad-bc≠0时，且a，b，c，d取不同的值时，得到图3，实现代码如下： Manipulate[ ParametricPlot[{ReIm[（a （Cos[t] + I Sin[t]） + b）/（c （Cos[t] + I Sin[t]） + d）]， ReIm[Cos[t] + I Sin[t]]}， {t， 0， 2 Pi}， PlotRange -> 4]， {a， 1， 4}， {b， 1， 4}， {c， 1， 4}， {d， 1， 4}] 通过Mathematica的交互式图像，移动a，b，c，d四个参数滑块，在满足ad-bc≠0条件下，圆仍然保持为圆，验证了对分式线性变换的作用。分式线性变换对于解决复杂电场中的电势问题以及平行圆柱电容器问题等具有独特的优势[4]。授课时以平行圆柱电容器问题为例，设有两根半径不一样的平行金属圆直导线，且两根导线之间的电压为V，求解两根导线之间的电容。首先取一个与两条导线垂直的截面，截面上得到两个相离的且半径不一样的圆，建立坐标系，在Z平面确定两个圆的方程。通过对称点的概念，求出相应的对称点，确定分式线性变换中的每个参数的具体值。最后将两个圆的方程带入分式线性变换中得到在W平面的图像为同心圆，转化为求解共轴电容器问题，从而降低求解的难度。 茹科夫斯基变换 茹科夫斯基变换形式为：w（z）=（z+1/z）/2。茹科夫斯基变换的作用：将圆映射成椭圆，射线映射成为双曲线，同心圆族映射成为共焦点椭圆族，共点射线族映射为共焦点双曲线[3]。研究对象仍然取为一系列半径不一致的同心圆，当a=2，3，6，7时，图像变化情况如图4所示，实现代码如下： Manipulate[ ParametricPlot[{ReIm[（a Cos[t] + I a Sin[t] + 1/（a Cos[t] + I a Sin[t]））/2]， ReIm [a Cos[t] + I a Sin[t]]}， {t， 0， 2 ＼[Pi]}， PlotRange -> 4]， {a， 1， 7}] 通过Mathematica的可视化验证了茹科夫斯基变换的部分作用。茹科夫斯基变换对于解决流体力学问题，以及求解共焦椭圆电容器问题，具有独特的优势。授课时以共焦椭圆电容器问题为例，通过Mathematica软件绘制的交互式图像，能让学生直观地看到两者的映射关系，充分理解茹科夫斯基变换的作用是将同心圆族变为共焦点椭圆族，那么已知共焦椭圆电容器，利用茹科夫斯基逆变换，可将共焦点椭圆族变为同心圆族，将求解共焦椭圆电容器问题转化为共轴线电容器问题，简化求解共焦电容器电容问题。 5 结语 本文探讨了Mathematica软件在数学物理方法课程中保角变换章节的应用，具体讨论了保角变换中的保角概念、常用的几种保角变换形式，并利用Mathematica软件绘制的交互式图像，绘制从Z平面到W平面一系列变换图像，帮助学生直观地理解保角变换的作用;再根据相应变换形式的特点引入同轴电容器电容问题、平行金属圆直导体的电容问题以及共焦椭圆柱形电容器电容问题，给出具体的分析与求解方式，帮助学生将理论知识转化为解决具体问题的方法，做到学以致用。充分利用好Mathematica软件工具的可视化优势，对于数学物理方法课程有着重要的教学意义，将较为抽象的概念具象化，有利于学生更好地理解和掌握数学物理方法课程中抽象复杂的概念。最后，希望通过本文探讨的可视化教学为数学物理方法课程中其他章节的教学提供借鉴，从而整体提升数学物理方法课程的教学质量。 参考文献 [1]曹帅，劳媚媚，李海，等.数学物理方法教学改革研究与实践[J].课程教育研究，2017（23）：180. [2]金辉霞，舒辉球.“数学数理方法”课程的教学改革与探索[J].中国电力教育，2012（13）：84-85. [3]梁昆淼.数学物理方法[M].北京：高等教育出版社，2010. [4]董健.Mathematica与大学物理计算[M].北京：清华大学出版社，2013.
