03届,普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文）及答案
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2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文史类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：
三角函数的积化和差公式：
正棱台、圆台的侧面积公式 其中、分别表示上、下底面 周长，表示斜高或母线长. 球体的体积公式：，其中R表示球的半径. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．设集合等于 （ ）
A． B． C． D． 2．设，则 （ ）
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2 3．“”是“”的 （ ）
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 4．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是 （ ）
A．若m∥α，α∩β=n，则m//n B．若m∥n，α∩β=n，则n⊥α C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，，则α⊥β 5．如图，直线过椭圆的左焦点F1和 一个顶点B，该椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D． 6．若且的最小值是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5 7．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （ ）
A． B． C． D． 8．若数列的通项公式是，则等于（ ）
A． B． C． D． 9．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上， 其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 （ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）
A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 11．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 12．函数中， 是偶函数. 13．以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）
已知函数 （Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求的最大值、最小值. 16．（本小题满分13分）
已知数列是等差数列，且 （Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令求数列前n项和的公式. 17．（本小题满分15分）
如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a. （Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；
（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；
（Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系， 并证明你的结论. 18．（本小题满分15分）
如图，A1，A为椭圆的两个顶点，F1，F2为椭圆的两个焦点. （Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；
（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P1两点，直线 A1P与AP1交于点M. 求证：点M在双曲线上. 19．（本小题满分14分）
有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）
（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小， 点P应位于何处？ （Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小， 点P应位于何处？ 20．（本小题满分14分）
设是定义在区间上的函数，且满足条件：
（i）
（ii）对任意的 （Ⅰ）证明：对任意的 （Ⅱ）判断函数是否满足题设条件；
（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数，且使得对任意的 若存在，请举一例：若不存在，请说明理由. 绝密★启用前 2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（文史类）（北京卷）参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分. 1．A 2．D 3．A 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 11．3 12． 13． 14． 三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分. （Ⅰ）解：因为 所以的最小正周期 （Ⅱ）解：因为所以的最大值为,最小值为－ 16．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分. （Ⅰ）解：设数列公差为，则 又 所以 （Ⅱ）解：由得 ① ② 将①式减去②式，得 所以 17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分. （Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC， 又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥BC ，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1. 证法二：连结A1C1，则A1C=A1B. ∵点D是正△A1CB的底边中BC的中点， ∴A1D⊥BC ，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1. （Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E， ∵平面ACC1⊥平面ABC， ∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的 距离. 在Rt△ADC中，AC=2CD= ∴所求的距离 解法二：设点D到平面ACC1的距离为， ∵体积 即点D到平面ACC1的距离为. （Ⅲ）答：直线A1B//平面ADC1，证明如下：
证法一：如图1，连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A1B， 又DF 平面ADC1，A1B平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1. 证法二：如图2,取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1，C1D∥D1B， ∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B， ∴平面ADC1∥平面A1D1B，∵A1B平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1. 18．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分. （Ⅰ）解：由图可知, 该椭圆的方程为 准线方程为 （Ⅱ）证明：设K点坐标,点P、P1的坐标分别记为， 其中则……① 直线A1P，P1A的方程分别为：
……② ……③ ②式除以③式得化简上式得代入②式得 于是，直线A1P与AP1的交点M的坐标为 因为 所以，直线A1P与AP1的交点M在双曲线. 19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）解：设P的坐标为（0，），则P至三镇距离的平方和为 所以，当时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是 （Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为 由解得记于是 因为在[上是增函数，而上是减函数. 所以时,函数取得最小值. 答:点P的坐标是 解法二：P至三镇的最远距离为 由解得记于是 函数的图象如图，因此， 当时，函数取得最小值.答:点P的坐标是 解法三：因为在△ABC中，AB=AC=13,且， 所以△ABC的外心M在线段AO上,其坐标为, 且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；
当P在射线 MA的反向延长线上，记P为P2， 这时P到A、B、C三点的最远距离为 P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M 重合时，P到三镇的最远距离最小. 答:点P的坐标是 20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当时，有 即 （Ⅱ）答：函数满足题设条件.验证如下：
对任意的， 当 当 当不妨设 有 所以，函数满足题设条件. （Ⅲ）答：这样满足的函数不存在.理由如下：
假设存在函数满足条件，则由得① 由于对任意的，都有 所以，② ①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.
