“古为今用”数学文化融入中考试题命制剖析
时间：2021-02-11 20:04:08 来源：达达文档网 本文已影响 人 
张安军
近年来在中考数学试题的命制过程中。以数学史为背景，取材于数学名题、数学名著中的问题，适当地加以改编。是命制中考数学文化试题的一个热点。本文以一元二次方程的几何解法为例。分析和研究数学文化试题命制的方法。为老师们提供参考。
1 源于数学史料的数学文化题的编拟
文依据数学文化题的取材分为两类，一类是取材于数学史中的问题。包括数学名著中的问题以及数学历史中的问题;另一类是取材于文化事物，其中包括文化符号（例如弦图）、文化物品（如赵州桥）、文化事件（如田忌赛马、“嫦娥一号”发射成功）等等。文依据数学文化试题的内容。将试题中的数学文化划分为：数学史、数学与生活、数学与艺术、数学与科学，但并不涉及数学思想、数学方法和数学精神等。为了叙述方便。本文将数学文化试题分为数学史和其他数学文化问题。以数学史为背景的中考试题主要包括数学名题、数学名著中的问题、数学图形（如赵爽弦图等）、数学史上的标志性问题、数学符号等等。
以数学史料为背景的试题。可以极大地激发学生的学习兴趣。那么如何命制这类数学试题呢？学者汪晓勤把数学史融入课堂划分为附加式、复制式、顺应式和重构式四类。其中附加式和复制式没有直接改变教学内容的实质。都以显性的形式直接展示历史上的数学问题及其数学家图片，生平事迹等，那么中考数学试题中数学史料的运用可以借鉴上述数学史料融入课堂，把附加式和复制式合为一种，得到以下三种命制方法。具體见表1.
以下对来自数学史料的数学文化试题的命制进行探讨。为了更好地认识和理解这类试题的命制方式。下面以一元二次方程的解法命制为背景谈数学文化试题命制。
2 一元二次方程的几何解法命制
2.1 重现一元二次方程的几何解法
命制剖析：本题是以浙教版数学教材八年级下册的“阅读材料”学习“一元二次方程的发展小记”为背景，试题在命制时直接呈现数学名著《原本》中的几何解法。命制的手法系重现式。以选择题的形式让学生对图中的线段进行辩认。辨认的过程是思维监控与反思的过程，也是融合了计算、推理等理性思维的过程。它要求学生能读懂尺规作图等数学语言。从中提取问题信息，并在此基础上利用勾股定理等知识进一步计算比较各条线段的长度。试题将作图和计算融为一体，既具备了一定的开放度，又包含了一定的思维量，渗透了数学文化，让学生感受到数学的魅力。同时以教材内容为素材，进行试题编制或改编，能够引导师生对教材内容的重视，而不是把精力放在刷题上，回归教材。
2.2改编条件或结论
案例2（2018杭州）
命制剖析：本题也是以浙教版数学教材八年级下册的“阅读材料”学习“一元二次方程的发展小记”为背景，但不同于案例1，在《原本》中原有问题条件的基础上适度地增加一些条件。从而引发出了3个不同层次的问题。第（1）小题考查特殊三角形中的角度关系，理清关系就可计算;第（2）小题①把数学史引入考题，体现了中考试题中人文教育;第（2）小题②探索图形特殊化后的图形要素之间的关系。具有更高的理性思维含量。改编时充分考虑了本题中所蕴含的基础知识、基本技能和思想方法，展示数学知识的产生、发展和应用的过程。体现数学的人文价值。以数学名著中的问题为背景，适度增加条件引伸出不同层次的结论，它拓宽了数学命题的思路，有效地避免了试题命制的模式化，使学生摆脱“题海”。倡导教师要致力于教材资源价值的开发。让教材发挥其应有的“范本”功能。进而提高教师开发以教材为主的课程资源的能力。此外，试题命制尽量给学生留有多个解题的窗口，通过不同的方法尝试均能获得成功。这样的试题对教师教学的启示是：多留一点时间给学生，慢一点，等一等落后的灵魂。教学中多给学生一分时间，他们会还你十分精彩。
2.3 方法的迁移或拓展
2.3.1 对方法的模仿迁移
命制剖析：本题选自以北师大版数学教材九年级上册的一元二次方程的几何解法“阅读材料”。以数学家赵爽的解法为背景，通过改编原有方程的数字系数，考查学生学生阅读理解、信息提取的能力。由于命制者把原有问题中一次项系数从正数变成负数。要求学生相应地要从数到形的转变。学生只有在理解古代数学家解法的基础上，从观察比较到方法的领会，从方法的领会到模仿和创新。本题难点在于一元二次方程的一次项系数为负数的时候。如何用几何的方法进行再创造。试题背景清晰，构思独特，渗透数学文化核心价值，即数学的精神、思想和方法，陶冶学生心灵，让学生感受数学的魅力。使考试成为数学文化的传播过程。
2.3.2 对方法和结论的拓展
案例4（2017台州）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根。比如对于方程x2-5x+2=0.操作步骤是：
第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;
第二步：坐标平面中移动一个直角三角板。使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B;
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时。点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图5）;
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时。点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根。
（1）在图6中，按照“第四步”的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）;
（2）结合图5，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2-5x+2=0的一个实数根;
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置。若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠O，b2-4ac≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标;
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对。一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间应该满足怎样的关系时，点P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一对固定点？
命制剖析：苏格兰作家卡莱尔（Thomascarlyle，1795-1881）在他的《平面解析几何》记载了一元二次方程的几何解法。如图7.关于x的一元二次方程：x2+bx+c=0，他以（0，1）和（-b，c）为直径的两个端点作圆。若方程有两个实数解，这个圆与x轴就有两个交点，这两个交点的横坐标是x2+bx+c=0的根。由于直径所对的圆周角为直角。命制者改编原来的背景，对原来的结论进行拓展，用直角三角板为工具，移动直角三角板到特定的位置，就能找到已知一元二次方程的实数根。既易于学生操作又充满好奇。学生在理解题意的基础上先进行模仿迁移。而后在操作中学会思考，为什么移动直角三角板就能得到一元二次方程的解。在理性上进行确认。再从具体的方程推广到一般方程。以开放的视角让学生写出一对固定点的坐标。最后基于逆向思维寻求固定点的坐标和已知一般方程系数之间的关系。思维的层次在不断地引向纵深。一元二次方程的求根蕴含在操作游戏中，好玩、好奇又具有挑战性，能让学生感受到数学文化。领会好玩的背后蕴含思维的深刻性。
3 对融入数学文化试题的命制进一步思考
上述基于一元二次方程几何方法求解的历史。可以发现世界各大文明古国中最初都是用几何方法求解，浙教版在阅读材料中介绍欧几里德的《几何原本》中形如“x2+ax=b2”的图解法。北师大版也在阅读材料中介绍了中国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法，同时还介绍阿拉伯数学家花拉子密的方法。其实历史上还有很多的数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法。当然几何图法只能求出其中的一个正根。由于命制方法和命制者的立意不同。开发出不同特色的数学文化试题。学生从中可以了解到数学知识的产生和发展。以及数学方法的古为今用。数学试题不完全都是冰冷的。通过挖掘史料，突显数学人文性。解题方法多样性。思维的火热性。因此在教学中数学文化并不是因为中考要考查才显得重要。不管是从学生学习的角度。还是从教师教学的角度来看，或是就数学本身而言。数学文化都是非常重要的。为了使数学文化更好、更自然融入日常数学教学中，通过中考数学文化试题的考查去引领日常教学，还需要注重以下几点。
3.1 试题命制要突出数学文化的核心价值
教育部考试中心发布的《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》中把数学文化列入高考试题中。虽然上述对高中来说的，但对初中仍有指导意义。那么何谓“数学文化”？《普通高中数学课程标准（2017年版）》界定数学文化是指“数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义。以及与数学相关的人文活动”。因此数学文化试题命制时，要强调数学文化试题的立意，突出理性价值，即数学精神、思想和方法。數学史料的融入可以是显性的。也可以是隐性的。如上述案例1虽然是显性的，但不是为文化而文化。学生要理解数学语言，尺规作图，数和形的相互转化，计算和推理的结合，从中才能得到正确的结论;案例2从知识走向能力的立意，突出数学思维过程与方法。案例3突出方法的迁移，案例4基于具体的操作背景，自主探索，从质疑走向验证。从特殊走向一般层面的推理认证。基于理性的思考。对方法关键的剖析。这是理性思维必不可少的环节。
3.2 加强开放性的试题命制尝试
上述数学文化试题都是从条件到结论的封闭型试题，能否与数学开放题相结合呢？其实我国数学开放题历经30多年的研究。有着丰富的研究成果。也可以将数学文化题与开放题结合尝试，例如。著名数学家华罗庚非常重视“数形结合”去思考和解决问题，对于一元二次方程“x2+2x-35=0（x>0）”用几何图形给出解法（如图8（1）），正方形ABCD是由4个相同的矩形和一个正方形EFGH组成。矩形的长比宽大2.请你构造一个不同于图8（1）的几何图形解法，重新设计方程“x2+2x-35=0（x>0）”几何图形解法。
事实上，除了图8（1）的几何解法外，以方程“x2+2x-35=0为例，还有如图8（2）、（3）不同的几何解法。以开放的视角培养学生探究能力。激发学生创新意识，也是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）的重要目标之一。《标准》还指出学生的学习应是现实的、有趣的、富有挑战性的，要求结合学生的生活实际（诸如生活中的测量、方案最优化设计等问题），从数学的角度发现、提出和设计问题，并用数学方法加以探索、研究和解决问题。
3.3 数学文化试题命制应挖掘和拓宽数学史料中的相关内容
唯有这样，中外兼顾，可以让学生以更广阔的视野看待数学对人类社会发展所做出的贡献。
