北京市海淀区2015届九年级上学期期中考试——数学

　 2014—— 2015学年海淀初三数学第一学期期中练习 2014.11

　一、选择题（本题共32分，每小题4分）

　下面各题均有四个选项，其中只有一个..是符合题意的.

　1 .下列图形是中心对称图形的是（ ）

　A

　B

　C D

　2.将抛物线y

　x2向上平移

　1个单位，

　得到的抛物线的解析式为（

　A. y x2 1

　b. y

　x2 1

　2

　C. y x 1

　)

　2

　D. y x 1

　4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同, 看不到球的情况下，随机从袋子中摸出

　A.这个球一定是黑球

　C. “摸出黑球”的可能性大

　3?袋子中装有

　1个球.下面说法正确的是（

　B.这个球一定是白球

　D. “摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大

　即除颜色外无其他差别.在

　）

　4.用配方法解方程x2 2x 3 0时,

　配方后得到的方程为（

　2

　A. (x 1) =4

　B.(x 1)2

　2

　c.(x 1) =4

　D.(x 1)2 =

　5.如图,

　e O为正五边形

　ABCDE的外接圆，e O的半径为

　则Ab的长为（

　A.—

　5

　2

　B. 一

　5

　3

　C.-

　5

　D.4

　D

　C等于（

　6.如图,

　A. 29

　AB是e O的直径,

　B.31

　CD是eO的弦,

　C.59

　ABD 59，则

　D. 62

　7.已知二次函数

　y x2 4x

　m （ m为常数）

　的图象与轴的一个交点为

　方程x2 4x m

　0的两个实数根是（

　A. x1 1, x2

　B. x1 1,x2 2

　D

　C

　(1,0)

　，则关于的一元二次

　15

　15?已知二次函数的图象经过点 (0,1)，且顶点坐标为(2,5)，求此二次函数的解析式.

　D.为 1,x2 3C. x1

　D.为 1,x2 3

　8 ?如图，C是半圆O的直径AB上的一个动点（不与 A, B重合）， 过C作AB的垂线交半圆于点 D，以点D , C, 0为顶点作矩形 DCOE . 若AB=10 ,设AC=x,矩形DCOE的面积为y,则下列图象中能表示 y 与x的函数关系的图象大致是（ ）

　ABN（X2,y2

　A

　B

　N（X2,y2）两点，若

　4 x, 2, 0 X2 2，则 y1

　y2.（用“”，“=”或“ >”号连接）

　 TOC \o "1-5" \h \z A B C D

　二、填空题（本题共16分，每小题4分）

　9.如图，PA , PB分别与e 0相切于点，，连接AB. APB 60 ,

　AB 5，则PA的长是 .

　10 ?若关于的一元二次方程 x2 4x k 0有两个相等的实数根, 则的值为 .

　 2

　11 .在平面直角坐标系xOy中，函数y x的图象经过点M（X1,yJ ,

　EBE

　E

　B

　E

　.如图，正方形 ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=AB .

　/ CAE=15°且AE=AC，连接GE .将线段AE绕点A逆时针旋转得到

　线段AF，使DF=GE，则/ CAF的度数为 .

　三、解答题（本题共30分，每小题5分）

　2

　.解方程：x 3x 1 0.

　如图，/ DAB = / EAC, AB=AD , AC=AE . 求证：BC=DE.

　16.如图，四边形 ABCD内接于O O,/ ABC=130 °求/ 0AC的度数.

　2 2 2

　17.若x 1是关于x的一元二次方程 x 4mx 2m 0的根，求代数式 2 m 1 +3的值.

　18.列方程解应用题：

　某工厂废气年排放量为 450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减

　少到288万立方米.如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率.

　四、解答题(本题共 20分，每小题5 分)

　19.下图是某市某月

　19.下图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图， 空气质量指数不大于 100表示空气质量优

　良，空气质量指数大于 200表示空气重度污染.

　(2)小丁随机选择该月 1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概 率.

　2

　20.已知关于x的方程ax (a 3)x 3 0 (a 0).

　求证：方程总有两个实数根；

　若方程有两个不相等的负整数根，求整数 a的值.

　CD丄AB于点E,B如图，AB是O O的直径，CD是弦, / D=

　CD丄AB于点E,

　B

　求证：CG是O O的切线；

　(2 )若CD=6，求GF的长.

　阅读下面材料:

　Xi

　Xi, X2 , X3，称为数列

　Xi,X2, X3 .计算Xi , 一 ?厂 一—■,将这三个数的最小值称为数列 Xi,X2,X3的价值.例

　2 3

　2 ( 1) 1 2 ( 1) 3 4

　如，对于数列， 1,,因为2=2, 一— 二一,一' )―,所以数列， 1,的价

　2 2 3 3

　值为.

　小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相

　应的价值.如数列1 ,，的价值为；数列， 1，的价值为；….经过研究，小丁发现，对于“，

　1，”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为.

　根据以上材料，回答下列问题：

　 数列 4, 3，的价值为 ;

　将“ 4, 3，”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值

　的最小值为 ，取得价值最小值的数列为 (写出一个即可);

　将，9, (a 1)这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列.

　若这些数列的价值的最小值为 1,则的值为 .

　五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)

　23.在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y X2 (m 1)x m (m 0)与x轴交于A, B两点(点A 在点B的左侧)，与y轴交于点C.

　求点A的坐标；

　当Sa ABC =15时，求该抛物线的表达式；

　 在(2)的条件下，经过点 C的直线l:y kx b (k 0)与抛物线的另一个交点为 D.该抛 物线在直线l上方的部分与线段 CD组成一个新函数的图象?请结合图象回答：若新函数的最小 值大于 8，求的取值范围.

　yj

　10

　9

　8

　—

　7

　■

　6

　一

　5

　一

　4

　-

　3

　一

　2

　-

　1

　■

　1 1 1ft 1 II .

　1 H 1 1 I j

　 ■―

　-6 -5 -4 -3 -2 -O

　1 2 3 4 5 6

　-1

　L

　-2

　—

　-3

　—

　-4

　■

　-5

　一

　-6

　一

　-7

　-

　-8

　-

　-9

　一

　-1(

　卜

　x

　将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC,继续旋转(0° 120°)得到线段AD，连接

　CD .

　(1)连接BD,

　如图1，若= 80°，则/ BDC的度数为 ;

　在第二次旋转过程中， 请探究/ BDC的大小是否改变.若不变，求出/ BDC的度数；若改变，

　请说明理由.

　如图2,以AB为斜边作直角三角形 ABE，使得/ B=Z ACD，连接CE , DE . 若/ CED=90。，求的值.

　如图，在平面直角坐标系 xOy中，点P(a,b)在第一象限.以P为圆心的圆经过原点，与 y轴的 另一个交点为A.点Q是线段OA上的点(不与O,A重合)，过点Q作PQ的垂线交O P于点B(m, n), 其中m》0.

　备用图 ?

　备用图

　 ?

　OQ=8，求线段BQ的长;

　(1 )若b 5，则点A坐标是 (2 )在(1 )的条件下，若

　若点P在函数y x2 (x 0)的图象上，且△ BQP是等腰三角形

　直接写出实数 a的取值范围： ;

　在，一6 , 、、10这三个数中，线段 PQ的长度可以为 ，并求出此时点 B的坐标.

　4

　海淀区九年级第一学期期中练习

　2014.11

　2014.11

　数学试卷答案及评分参考

　阅卷须知：

　为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细 ，阅卷时，只要考生将主要过程

　正确写出即可?

　 TOC \o "1-5" \h \z 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分 ?

　评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数 .

　、选择题（本题共 32分，每小题4 分）

　题号

　1

　2

　3

　4

　5

　6

　7

　8

　答案

　B

　A

　C

　A

　D

　B

　D

　A

　 TOC \o "1-5" \h \z 二、填空题（本题共 16分，每小题4分）

　9. 5 ; 10. 4 ;

　11. > ; 12. 30。或60°.（注：每个答案 2分）

　三、解答题（本题共 30分海小题5 分）

　（本小题满分5分）

　解： a1,b3,c

　解： a

　1,b

　3,c 1 ,

　32

　4 1 （ 1）=13>0 .

　3 、

　3 、13

　2

　3 .13

　2 .

　■?4

　5

　b2 4ac

　"2a

　3 .13

　2 ,X2

　（本小题满分5分）

　证明：I/ DAB= / EAC,

　/ DAB+ / BAE= / EAC+ / BAE .

　/ DAE= / BAC

　在厶BAC和厶DAE中，

　AB AD,

　BAC DAE,

　AC AE,

　△ BAC◎△ DAE .

　 BC=DE. ……

　（本小题满分5分）

　2

　解：设二次函数的解析式为 y a x 2 5 （a 0）.

　二次函数的图象经过点 （0,1）.

　 TOC \o "1-5" \h \z 二次函数的解析式为 y x2 4x 1. 5 分

　（本小题满分5分）

　解：四边形 ABCD内接于O O ,

　/ ADC+ / ABC =180 ° 1 分

　/ ABC=130° ,

　/ ADC =180 °Z ABC=50° . 2 分

　/ AOC=2 / ADC =100 ° 3 分

　?/ OA=OC ,

　/ OAC= / OCA . 4 分

　1

　?/ OAC=_（180o AOC） 40°. 5 分

　（本小题满分5分）

　解：依题意，得1 4m 2m2 0. 2分

　2

　?- 2m 4m 1 . 3 分

　2 2 2 八

　二 2 m 1 +3=2 m 2m 1 3 2m 4m 5 1 5 4 . 5 分

　（本小题满分5分）

　解：设每期减少的百分率为 x. 1分

　2

　由题意，得 450 1 x 288 . …2?分

　1 9

　解方程得 x1 — , x2 —. …分3

　 \o "Current Document" 5 5

　— 1

　经检验，x - 1不合题意，舍去；x -符合题意. 4分

　5 5

　答：每期减少的百分率为 20% . 5分

　四、解答题（本题共 20分，每小题5分）

　1—.（本小题满分5分）

　解：（1） 3. 2 分

　（2）小丁随机选择该月 1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等. 3分

　由图可知，其中有 —天空气质量优良. …4?分

　—3

　所以，P （到达当天空气质量优良） 二7 …分

　15 5

　（本小题满分5分）

　解：(1)： a 0,

　原方程为一元二次方程.

　2

　a 3 4 a ( 3) 1 分

　a 3 .

　2

　 a 3 > 0.

　此方程总有两个实数根. ?…

　(2)解原方程，得 x1 1 , x2 -.

　a

　此方程有两个负整数根，且为整数，

　a 1 或 3.

　 Xi X2 ,

　a 3.

　a 1 .

　(本小题满分5分)

　证明：连接OC .

　?/ OC=OD，/ D=30° ,

　/ OCD=Z D= 30 °

　/ G=30° ,

　/ DCG=180°/ D / G=120° .

　/ GCO = Z DCG- / OCD=90°.

　OC 丄 CG.

　又 OC是O O的半径.

　CG是O O的切线.

　解：T AB是O O的直径，CD丄AB,

　1

　…CE CD 3.

　2

　"2 分…3 分 \o "Current Document" 4 分在 Rt△ OCE

　"2 分

　…3 分

　 \o "Current Document" 4 分

　OE 1OC , OC2 OE2 CE2 .

　设 OE x ,贝U OC 2x.

　2 2 2

　2x x 3

　解得x . 3 (舍负值).

　OC 2 3 . 4 分

　OF 2 3 .

　在厶 OCG 中，/ OCG=90° , / G=30°,

　OG 2OC 4 3 .

　?当点

　?当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为 9，不符合题意.

　?当点

　?当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为 9，不符合题意.

　 GF GO OF 2 3 .

　22.

　答:

　（本小题满分5分）

　（1）.

　（2）,

　五、

　23.

　解:

　3,2, 4或 2, 3, 4 .

　（3） 11或.（每个答案各

　解答题（本题共 22分，第

　（本小题满分7分）

　1）T抛物线y x2

　令

　y 0,即

　解得

　X2

　（写出一个即可）

　1分)

　23题7分，第24题7分，第25题8 分）

　(m

　(m

　点A在点

　(3)

　1）x m （m 0）与x轴交于A、B两点,

　1)x m 0.

　B左侧，且

　又

　?点A的坐标为（1,0）.

　（2）由（1）可知点B的坐标为

　抛物线与y轴交于点C, 点C的坐标为

　(0, m).

　(m,0).

　t m 0,

　? AB m 1 ,

　T Sa ABC 15 ,

　l(m 1)m

　2

　m

　OC m.

　15.

　-m

　? m

　?抛物线的表达式为

　y x2 4x 5.

　由（2）可知点C的坐标为（0, 5）.

　直线

　I: y kx b (k 0)经过点 C,

　5.

　?直线

　l的解析式为y kx 5 (k 0).

　2 2

　y x 4x 5 (x 2) 9,

　8

　8 .

　8

　8 .

　当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于

　 TOC \o "1-5" \h \z 令 y 8，即 x2 4x 5 8 .

　解得Xi 1 （不合题意，舍去）， X2 3.

　抛物线经过点（3, 8）.

　当直线y kx 5（k 0）经过点（3, 8）时，可求得k 1 . 6分

　由图象可知，当 1 k 0时新函数的最小值大于 8. 7 分

　24.（本小题满分7分）

　解：（1）① 30°

　②不改变，/ BDC的度数为30o .

　方法一：

　由题意知，AB=AC=AD .

　 TOC \o "1-5" \h \z 点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上. 2 分

　/ BDC= / BAC= 30o . 3 分 方法二：

　由题意知，AB=AC=AD .

　?/ AC =AD，/ CAD =,

　/ ADC /C” 9。°

　?/ AB=AD，/ BAD =60°

　120°

　° 1

　-60 -

　2

　2

　180° 60°

　/ ADB / B -

　2

　1)(60°

　1

　)(60° ) 30°. 3 分

　BDC / ADC / ADB (90° -

　2

　(2)过点A作AMCD于点M，连接EM .

　? AMC 90°.

　在厶AEB与厶AMC中，

　AEB AMC,

　B ACD,

　AB AC,

　△ AEB 也厶 AMC

　AE AM , BAE CAM .

　EAM

　EAC CAM

　EAC BAE BAC 60°.

　△ AEM是等边三角形.

　二 EM AM AE ?

　 AC AD , AM CD ,

　? CM DM ?

　又 Q DEC 90°,

　EM CM DM ?

　AM CM DM ?

　点A、C、D在以M为圆心，MC为半径的圆上.

　CAD 90°

　25.

　解:

　(本小题满分8分)

　(1)( 0, 10)

　(2)连接BP、OP，作PH丄OA于点H.

　 b 5, PH 丄 OA,

　1

　…OH AH OA 5 ?

　2

　1 分

　在 Rt△ QHP 中，

　PQ2

　QH2

　PH2

　9

　PH 2 ?

　在 Rt △ PHO 中，

　po2

　OH 2

　PH 2

　25

　2

　PH

　2

　BP ?

　在 Rt △ BQP 中，

　BQ2

　BP2

　PQ2

　(25

　2

　PH )

　2

　(9 PH ) 16

　?/ OQ=8,

　? QH OQ OH 3 ?

　? BQ 4 ?

　(3 ［① a>1 ?

　解： △ BQP是等腰直角三角形， PQ .10 ,

　?半径 BP 2.5 ?

　2

　又P(a,a ),

　? OP

　4

　a a

　(2、.5)2 ?

　即a4

　a2 20 0

　?解得a 2?

　?/ a

　0,

　? a

　2 ?

　 6

　分

　?- P(2,4).

　综上，当PQ ,10时，点坐标为(,6,6 , 6)或G.6,2 .6).