高中理科高考数学试卷

高中理科高考数学试卷 （含答案及试题解析）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（　　）
A．k=1且c与d同向 B．k=1且c与d反向 C．k=﹣1且c与d同向 D．k=﹣1且c与d反向 3．（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（　　）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 4．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（　　）
A． B．1 C． D． 5．（5分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（5分）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（　　）
A．45 B．55 C．70 D．80 7．（5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（　　）
A．324 B．328 C．360 D．648 8．（5分）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（　　）
A．直线l上的所有点都是“点” B．直线l上仅有有限个点是“点” C．直线l上的所有点都不是“点” D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点” 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．（5分）=　　． 10．（5分）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为　　． 11．（5分）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为　　． 12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=　　，∠F1PF2的大小为　　． 13．（5分）若函数则不等式的解集为　　． 14．（5分）{an}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，n∈N*则a2009=　　；
a2014=　　． 三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，． （Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积． 16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC． （1）求证：BC⊥平面PAC；

（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；

（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由． 17．（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min． （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望． 18．（13分）设函数f（x）=xekx（k≠0）． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求k的取值范围． 19．（14分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x= （I）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值． 20．（13分）已知数集A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…an，n≥2）具有性质P；
对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A． （I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；

（Ⅱ）证明：a1=1，且；

（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列． 高中高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）（2009?北京）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限． 【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i， ∴复数z所对应的点为（﹣2，1）， 故选B 2．（5分）（2009?北京）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（　　）
A．k=1且c与d同向 B．k=1且c与d反向 C．k=﹣1且c与d同向 D．k=﹣1且c与d反向 【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=﹣1是否满足条件，从而选出应选的选项． 【解答】解：∵=（1，0），=（0，1），若k=1， 则=+=（1，1），=﹣=（1，﹣1）， 显然，与不平行，排除A、B． 若k=﹣1，则=﹣+=（﹣1，1），=﹣=（1，﹣1）， 即∥ 且与反向，排除C， 故选 D． 3．（5分）（2009?北京）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（　　）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案． 【解答】解：∵， ∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 故选C． 4．（5分）（2009?北京）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（　　）
A． B．1 C． D． 【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可． 【解答】解：依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离， ∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=， 故选：D． 5．（5分）（2009?北京）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论． 【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时， cos2a=cos（4kπ+）=cos= 反之，当cos2a=时， 有2a=2kπ+?a=kπ+（k∈Z）， 或2a=2kπ﹣?a=kπ﹣（k∈Z）， 故选A． 6．（5分）（2009?北京）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（　　）
A．45 B．55 C．70 D．80 【分析】利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b，求出a+b 【解答】解析：由二项式定理得：
（1+）5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（）4+C55?（）5 =1+5+20+20+20+4 =41+29， ∴a=41，b=29，a+b=70． 故选C 7．（5分）（2009?北京）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（　　）
A．324 B．328 C．360 D．648 【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数． 【解答】解：由题意知本题要分类来解， 当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法， 因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256 当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果， 共有9×8×1=72 根据分类计数原理知共有256+72=328 故选B 8．（5分）（2009?北京）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（　　）
A．直线l上的所有点都是“点” B．直线l上仅有有限个点是“点” C．直线l上的所有点都不是“点” D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点” 【分析】根据题设方程分别设出A，P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A，B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线l上的所有点都符合． 【解答】解：设A（m，n），P（x，x﹣1）则，B（2m﹣x，2n﹣x+1）
∵A，B在y=x2上 ∴n=m2，2n﹣x+1=（2m﹣x）2 消去n，整理得关于x的方程 x2﹣（4m﹣1 ）x+2m2﹣1=0 ∵△=8m2﹣8m+5＞0恒成立， ∴方程恒有实数解， ∴故选A． 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．（5分）（2009?北京）=　　． 【分析】通过因式分解把原式转化为=，消除零因子后得到，由此能够得到的值． 【解答】解：
= = =． 故答案为：． 10．（5分）（2009?北京）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为　﹣6　． 【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过（4，﹣2）点时s有最小值． 【解答】解：画可行域如图阴影部分，令s=0作直线l：y﹣x=0 平移l过点A（4，﹣2）时s有最小值﹣6， 故答案为﹣6． 11．（5分）（2009?北京）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为　﹣1　． 【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象，根据对称性即可解决本题． 【解答】解；
取f（x）=x2﹣1，如图， 易得该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为﹣1． 故应填﹣1． 12．（5分）（2009?北京）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=　2　，∠F1PF2的大小为　120°　． 【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；
第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解． 【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6， ∴|PF2|=6﹣|PF1|=2． 在△F1PF2中， cos∠F1PF2 = ==﹣， ∴∠F1PF2=120°． 故答案为：2；
120° 13．（5分）（2009?北京）若函数则不等式的解集为　[﹣3，1]　． 【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集． 【解答】解：①由． ②由． ∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1， 故答案为：[﹣3，1]． 14．（5分）（2009?北京）{an}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，n∈N*则a2009=　1　；
a2014=　0　． 【分析】由a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项，而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0． 【解答】解：∵2009=503×4﹣3， ∴a2009=1， ∵a2014=a1007， 1007=252×4﹣1， ∴a2014=0， 故答案为：1，0． 三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（13分）（2009?北京）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，． （Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积． 【分析】（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和cosA代入即可求出值；

（Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和（Ⅰ）可知公式里边的a不知道，所以利用正弦定理求出a即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且＞0， ∴A为锐角， 则sinA== ∴ ∴sinC=sin（﹣A）=cosA+sinA=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA=，sinC=， 又∵， ∴在△ABC中，由正弦定理，得 ∴a==， ∴△ABC的面积S=absinC=×××=． 16．（14分）（2009?北京）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC． （1）求证：BC⊥平面PAC；

（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；

（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由． 【分析】（1）欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC，而AC⊥BC，满足定理所需条件；

（2）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在Rt△ADE中，求出AD与平面PAC所成角即可；

（3）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角，而PA⊥AC，则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角． 【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC． 又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC． （2）∵D为PB的中点，DE∥BC， ∴DE=BC． 又由（1）知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E， ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角． ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB． 又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形， ∴AD=AB． 在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=AB， ∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===， 即AD与平面PAC所成角的正弦值为． （3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC． 又∵AE?平面PAC，PE?平面PBC， ∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角． ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC， ∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC． 这时，∠AEP=90°， 故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角． 17．（13分）（2009?北京）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min． （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望． 【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果． （2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望． 【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A， ∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”， ∴事件A的概率为 （Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）
事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4）， ∴， ∴即ξ的分布列是 ξ 0 2 4 6 8 P ∴ξ的期望是 18．（13分）（2009?北京）设函数f（x）=xekx（k≠0）． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求k的取值范围． 【分析】（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． （II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可；

（III）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，若k＜0，则当且仅当﹣≥1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，由此即可求k的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（1+kx）ekx，f′（0）=1，f（0）=0， 曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x；

（Ⅱ）由f′（x）=（1+kx）ekx=0，得x=﹣（k≠0）， 若k＞0，则当x∈（﹣∞，﹣）时， f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x∈（﹣，+∞，）时，f′（x）＞0， 函数f（x）单调递增， 若k＜0，则当x∈（﹣∞，﹣）时， f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， 当x∈（﹣，+∞，）时， f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1， 即k≤1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增， 若k＜0，则当且仅当﹣≥1， 即k≥﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增， 综上可知，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增时， k的取值范围是[﹣1，0）∪（0，1]． 19．（14分）（2009?北京）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x= （I）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值． 【分析】（ I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；
即可求出双曲线方程． （II）先求出圆的切线方程，再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，， 解得a=1，c=， b2=c2﹣a2=2， ∴所求双曲C的方程． （Ⅱ）设P（m，n）（mn≠0）在x2+y2=2上， 圆在点P（m，n）处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m）， 化简得mx+ny=2． 以及m2+n2=2得 （3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m2=0， ∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且0＜m2＜2， 3m2﹣4≠0，且△=16m2﹣4（3m2﹣4）（8﹣2m2）＞0， 设A、B两点的坐标分别（x1，y1），（x2，y2）， x1+x2=，x1x2=． ∵， 且 =x1x2+[4﹣2m（x1+x2）+m2x1x2] =+[4﹣+] =﹣=0． ∴∠AOB的大小为900． 20．（13分）（2009?北京）已知数集A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…an，n≥2）具有性质P；
对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A． （I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；

（Ⅱ）证明：a1=1，且；

（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列． 【分析】（I）根据性质P；
对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；

（Ⅱ）由性质P，知anan＞an，故anan?A，从而1=∈A，a1=1．再验证又∵＜＜…＜＜，，，…，，从而++…++=a1+a2+…+an，命题得证；

（Ⅲ）跟据（Ⅱ），只要证明即可． 【解答】解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3，4， ∴该数集不具有性质P． 由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6， ∴该数集具有性质P． （Ⅱ）∵A={a1，a2，…，an}具有性质P， ∴anan与中至少有一个属于A， 由于1≤a1＜a2＜…＜an，∴anan＞an 故anan?A． 从而1=∈A，a1=1． ∵1=a1＜a2＜…an，n≥2，∴akan＞an（k=2，3，4，…，n）， 故akan?A（k=2，3，4，…，n）． 由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）． 又∵＜＜…＜＜， ∴，，…，， 从而++…++=a1+a2+…+an， ∴且；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n=5时， 有，，即a5=a2?a4=a32， ∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4?A， 由A具有性质P可知∈A． 由a2?a4=a32，得∈A， 且1＜，∴， ∴， 即a1，a2，a3，a4，a5 是首项为1，公比为a2等比数列．