2020.1海淀区高一数学期末试卷及答案
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海淀区高一年级第一学期期末练习
数学 2018.1
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题(共8小题,每小题4分,共32分。在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
(1)已知集合{}1,3,5A ={}
,(1)(3=0B x x x =--)
,则A B = A. Φ B. {}1 C. {}3 D. {}1,3 (2)2sin()3
π
-
=
A. 12- C. D. 12
(3)若幂函数()y f x =的图像经过点(2,4)-,则在定义域内 A.为增函数B.为减函数C.有最小值D.有最大值
(4)下列函数为奇函数的是
A. 2x y =
B. sin ,[0,2]y x x π=∈
C. 3y x =
D. lg y x =
(5)如图,在平面内放置两个相同的三角板,其中0
30A ∠=,且,,B C D 三点共线,则下列结论不成立的是
A. CD =
B. 0CA CE ?=
C. AB 与DE
D. CA CB ?= CE CD ?
(6)函数()f x 的图像如图所示,为了得到2sin y x =函数的图像,可以把函数()f x 的图像
A.每个点的横坐标缩短到原来的
12(纵坐标不变),再向左平移3
π个单位 B.每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移6
π
个单位 C. 先向左平移
6π
个单位,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), D.先向左平移3π个单位,再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
(纵坐标不变)
(7)已知21
()log ()2
x
f x x =-,若实数,,a b c 满足0a b c ,且()()()
0f a f b f c ,实数0x 满足0()0f x =,那么下列不等式中,一定成立的是
A. 0x a
B. 0x a
C. 0x c
D. 0x c
(8)如图,以AB 为直径在正方形内部作半圆O ,P 为半圆上与,A B 不重合的一动点,下面关于
PA PB PC PD +++
的说法正确的是
A.无最大值,但有最小值
B.既有最大值,又有最小值
C.有最大值,但无最小值
D.既无最大值,又无最小值
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上) (9)已知向量a (1,2)=,写出一个与a 共线的非零向量的坐标 .
(10)已知角θ的终边经过点(3,4)-,则cos θ= .
(11)已知向量a ,在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示,则a ?b = .
(12)函数2,(),0x x t
f x x x t ?≥=??
(0)t 是区间(0,)+∞上的增函数,则t 的取值范围是 .
(13)有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%.有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从 年开始,快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.
(参考数据:lg 20.3010,lg30.4771≈≈)
(14)函数()sin f x x ω= 在区间(0,
)6
π
上是增函数,则下列结论正确的是
(将所有符合题意的序号填在横线上) ①函数()sin f x x ω=在区间(,0)6
π
-
上是增函数;
②满足条件的正整数ω的最大值为3; ③()4
f π≥(
)12
f π
.
三、解答题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题10分) 已知向量a (sin ,1)x =, b (1,)k =,()f x =a ?b .
(Ⅰ)若关于x 的方程()1f x =有解,求实数k 的取值范围; (Ⅱ)若1
()3
f k α=
+且(0,)απ∈,求tan α.
(16)(本小题12分)
已知二次函数2()f x x bx c =++满足(1)f =(3)3f =-. (Ⅰ)求,b c 的值;
(Ⅱ)若函数()g x 是奇函数,当0x ≥时,()g x =()f x , (ⅰ1)直接写出
()g x 的单调递减区间: ;
(2ⅱ)若()g a a ,求a 的取值范围.
(17)(本小题12分)
某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ω?=+(0,0,)2
A π
ω? 在某一个周期内的图像时,列表并填
入了部分数据,如下表:
(Ⅰ)请将上表数据补充完整,函数()f x 的解析式为()f x = (直接写出结果即可); (Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间; (Ⅲ)求函数()f x 在区间[,0]2
π
-上的最大值和最小值.
(18)(本小题13分)
定义:若函数()f x 的定义域为R ,且存在非零常数T ,对任意x R ∈,()()f x T f x T +=+恒成立,则称()f x 为线周期函数,T 为()f x 的线周期.
(Ⅰ)下列函数,①2x
y =,②2l g y o x =,③[]y x =,(其中[]x 表示不超过x 的最大整数),是线周期函数的是 (直接填写序号);
(Ⅱ)若()g x 为线周期函数,其线周期为 T ,求证:函数()()G x g x x =-为线周期函数; (Ⅲ)若()sin x x kx ?=+为线周期函数,求k 的值.
海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案
2018.1
数学
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
9.答案不唯一,纵坐标为横坐标2倍即可,例如()24,等.
10.
3
5
11.312.1t ≥13.202114.①②③ 注:第14题选对一个给1分,选对两个给2分,选对三个给4分.
三、解答题: 本大题共4小题,共44分.
15. 解:(Ⅰ)
∵向量=(sin ,1)x a ,=(1,)k b ,()f x =?a b , ∴
()f x =?a b =sin +x k .--------------------------2分
关于x 的方程()1f x =有解,即关于x 的方程sin 1x k =-有解.--------------------------3分
∵[]sin 11x ∈
-,,
∴当[]
111k ,-∈-时,方程有解.--------------------------4分 则实数k 的取值范围为[]
02,.--------------------------5分 (Ⅱ)因为1()3f k α=
+,所以1sin ++3
k =k α,即1
sin 3=α.--------------------------6分
当π(0]2
,α∈时,cos 3α==,sin tan cos 4
=ααα=分
当π(,π)2α∈时,cos α==,tan =α.-------------------------10分
16.解:(Ⅰ)4b =-;--------------------------2分
0c =.--------------------------4分
(Ⅱ)(ⅰ)[]
22,-. --------------------------6分 (ⅱ)由(Ⅰ)知
2()4f x x x =-,则当0x ≥时,2()4g x x x =-;
当0x <时,0x ->,则22()()4()4g x x x x x -=---=+
因为()g x 是奇函数,所以2()()4g x g x x x =--=--. -------------------------8分 若()g a a >,则
2
0,
4;a a a a >??->?或20,4.
a a a a ≤??-->?--------------------------10分 解得5a >或50a -<<.--------------------------12分 综上,a 的取值范围为5a >或50a -<<.
17. 解:(Ⅰ)
分
解析式为:π
()2sin(2)6
f x x =+
--------------------------6分 (Ⅱ)函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ??
-++?
???
,k Z ∈.---------------------------8分 (Ⅲ)因为π
02
x -
≤≤,所以5πππ2666x -≤+≤. 得:π1
1sin(2)62x -≤+≤.
所以,当ππ
262
x +=-即π3x =-时,()f x 在区间[,0]2π-上的最小值为2-.-----------10分
当ππ
266
x +
=即0x =时,()f x 在区间[,0]2π-上的最大值为1.--------------------12分
18.解:
(Ⅰ)③;--------------------------2分
(Ⅱ)证明:∵()g x 为线周期函数,其线周期为T ,
∴存在非零常数T ,对任意x ∈R ,()()g x T g x T +=+恒成立.
∵()()G x g x x =-,
∴(+)()()G x T g x T x T =+-+()()g x T x T =+-+()g x x =-()G x =. ∴()()G x g x x =-为周期函数.--------------------------6分
(Ⅲ)∵()sin x x kx ?=+为线周期函数,
∴存在非零常数T ,对任意x ∈R ,sin()()sin x T k x T x kx T +++=++. ∴sin()sin x T kT x T ++=+.
令0x =,得sin T kT T +=;---------------------① 令πx =,得sin T kT T -+=;---------------② ①②两式相加,得22kT T =. ∵0T ≠,
∴1k =.--------------------------8分 检验:
当1k =时,()sin x x x ?=+.存在非零常数2π,对任意x ∈R ,
(2π)sin(2π)2πsin 2π()2πx x x x x x ??+=+++=++=+,
∴()sin x x x ?=+为线周期函数.
综上,1k =. --------------------------10分