近断层脉冲型地震动的降维模拟

贾路　阮鑫鑫　刘章军

摘要：提出一种近断层脉冲型地震动模拟的降维方法，将近断层脉冲型地震动分解为高频和低频2个部分：采用谱表示与随机函数方法生成高频加速度时程，并转化为相应的速度时程;采用Gabor小波模拟低频速度脉冲时程，将高低频的速度时程叠加得到合成的地震动速度时程，并转化得近断层脉冲型地震动的加速度和位移时程。结果表明：用3个基本随机变量模拟的近断层脉冲型地震动时程，可以反映近断层脉冲型地震动的方向性效应、速度大脉冲等特征，进而可为近断层区域工程结构的随机地震反应和抗震可靠度分析提供合理的输入。

关键词：脉冲型地震动;速度脉冲;高频加速度;随机过程;降维模拟

中图分类号：P315.914 文献标志码：A 文章编号：1000-0666（2019）04-0516-07

0 引言

近断层地震动的形成机理较为复杂，它强烈地依赖于断层破裂机制（如断层破裂过程以及断层面位错的发展过程、滑动方向、滑动速度等）。近断层地震动具有明显的向前方向性效应和滑冲效应，这2种效应极易使得近断层地震动出现明显的长周期大脉冲和地面永久位移现象，且一次地震动的大部分能量都集中在单个或少数几个频率的脉冲上（刘启方等，2006;贺秋梅等，2006）。Loma Prieta地震、Landers地震、集集地震等的近场台站记录到了地震动中伴有明显的低频速度脉冲（Shrivastava et al，2015）。Bertero等（1978）的研究表明，低频速度脉冲对结构设计的影响很大，不容忽视。

虽然在过去的几十年中地震台站记录到的地震动数量持续增加，但记录中显示脉冲特性的近断层地震动数量依然匮乏。由于对具体地震环境和场地条件的限制，现有的近场地震动记录难以满足近场工程结构抗震分析的需求。因此，人工模拟近断层地震动成为了研究热点（李启成等，2013;魏勇等，2018）。Menun和Fu（2002）提出用一个包含2段的分段函数模型来模拟速度脉冲，这2段分别表示成强度调制函数与正弦函数的乘积，限定2个脉冲周期以外的值取为零。Mavroeidis（2003）提出的分段速度脈冲模型能模拟单半波、两半波、三个及以上半波的脉冲形状。田玉基等（2007）提出了利用单一连续函数形式来表达速度脉冲时程。上述模型是确定性方法，操作简便，且能较好地反映近断层脉冲型地震的基本特征，但是其模拟结果至多具有统计平均的意义，不具有可靠度评估的能力。鉴于此，Yang和Zhou（2015）基于近断层地震动形成的物理过程，推导并建立了一种近断层地震动功率谱模型，通过拟合42条实测近断层脉冲型地震记录的平均功率谱确定了功率谱模型参数，最后用谱表达方法生成了具有脉冲特征的非平稳加速度时程样本。由于谱表达中相位角的随机性，相邻频率段谐波叠加可能会导致速度时程的脉冲特性减弱甚至消失（Luco，Bazzurro，2007;Grigoriu，2010）。以往的对于近断层地震动的研究大多是用确定性方法来人工合成的，本文建立一种随机模型，分别用含1个随机变量的谱表示与随机函数模拟方法来对高频分量进行降维模拟，用含2个随机变量的Gabor小波模型对低频脉冲分量进行模拟，最后叠加得降维模拟的近断层地震动，这样做能较好地复现近场地震的脉冲特性。

1 近断层脉冲型地震动的随机建模

近断层脉冲型地震动时程包含低频脉冲成分和由地面随机振动引起的高频成分。杨庆山和田玉基（2014）对11次地震动28条地震记录分析后发现近断层脉冲成分的频率一般小于1 Hz，可以分别模拟低频脉冲成分和高频成分最后叠加得到近断层脉冲型地震动。Dickinson和Gavin（2010）把近断层脉冲型地震动的高低频成分的频率分界值确定为1.5 Hz，实现了对近断层脉冲型地震动的模拟。王宇航（2015）对国内外的17次地震124条地震记录进行脉冲识别并提取出了速度脉冲，接着计算得到了速度脉冲和残余部分的功率谱，研究发现这124条地震记录的脉冲功率谱和残余部分功率谱的界限频率与脉冲周期负相关，统计得到这一负相关关系为：

式中：fr表示近断层脉冲型地震动的高低频分量的频率分界值;TP表示脉冲周期。

并非所有近场脉冲记录的高低频率分界值都是1 Hz或者1.5 Hz，原因在于不同脉冲具有不同的周期，具有不同周期的脉冲在频域上的能量分布会有所差异。而式（1）从源头上解释了为什么近断层脉冲型地震动可以分为高低频2部分模拟。本文拟采用式（1）来确定高低频分量的频率分界值，并分别模拟高低频分量叠加合成近断层脉冲型地震动。

1.1 高频分量的降维建模

长周期脉冲分量分离后的残余高频加速度分量与远场地震动加速度时程较为相似，可以用谱表示方法对其进行模拟。刘章军等（2015）和Liu等（2016，2018）把随机函数引入到源谱表示方法中，实现了对高频加速度分量这一随机过程的降维模拟。

高频加速度时程ah可表示为：

式中：S（t，ω）为非平稳地震动加速度时程的双边演变功率谱;Δω为频率离散步长;N为频域离散点数;ω1和ωu分别是下限截止频率和上限截止频率，且有Δω=（ωu-ω1）/N;{Xk，Yk}为一组标准正交随机变量，应满足如下基本条件：

式中：k，l=1，2，…，N;δkl为Kronecker符号;E[·]为数学期望。应用随机函数的思想，可将标准正交随机变量{Xk，Yk}表达为基本随机变量Θ1的函数，即：

式中：k，k=1，2，… N，Θ1为在（0，2π）上服从均匀分布的随机变量。k为k的某种确定性映射，笔者采用Matlab工具箱中自带的函数rand（′state′，0）和temp=randperm（N）来实现，即k和k之间一一对应的确定性关系可表示为k=temp（k）。可以证明，式（4）满足标准正交随机变量的基本条件式（3）。

式（2）中的演变功率谱S（t，ω），可由平稳功率谱与强度调制函数得到，即：

式中：S（ω）为平稳地震动过程的功率谱密度函数;A（t）为强度调制函数。

将式（4）带入式（2）中，即可得到基于谱表示与随机函数法的高频加速度时程的模拟公式：

值得指出的是，若用式（2）来模拟高频加速度时程这一随机过程，需要利用Monte Carlo模拟方法进行大量的随机抽样以获取2×N（N通常大于1 000）个基本随机变量的代表性点集，并且由于Monte Carlo模拟方法无法在全概率信息上描述非平稳地震动随机过程的概率特性，这为复杂工程的随机动力响应和动力可靠度的精细化分析带来了困难。而应用随机函数法的降维思想，将模拟高频加速度时程所需的随机变量的数量降低至1个，从而可以采用数论方法对基本随机变量选取概率信息完备的代表性点集，极大地降低了随机模拟的计算量，也为结合概率密度演化理论对复杂工程结构的随机地震反应和抗震可靠度分析奠定了基础。

1.2 低频脉冲分量的随机建模

近断层脉冲型地震动的典型特征主要包含方向性效应和滑冲效应，本文仅对其方向性效应产生的速度大脉冲进行模拟研究。

采用由Dickinson和Gavin（2010）建议的Gabor小波对低频脉冲速度时程vp进行模拟：

式中：Vp，Tp，Tpk，Nc和φ分别表示脉冲峰值速度、脉冲周期、脉冲峰值时刻、脉冲循环数和脉冲相位角，其中，Nc和φ为随机变量;TPK为高频分量速度时程的峰值时刻的均值;本文拟用地震动峰值速度PGV代替脉冲峰值速度Vp，即：

已有研究（Mavroeidis，2003;Bray，Rodriguez，2004;Psycharis et al，2013）表明，这样做可以保证地震响应分析和抗震设计偏于安全;其余参数可以通过以下方法确定。

地震动峰值速度PGV可采用Somerville（1997）建议的经验公式确定：

式中：MW是断层处可能发生的矩震级;R表示断层距。

速度脉冲周期Tp可采用Somerville（2003）建议的经验公式确定：

采用Gabor小波对低频脉冲速度时程进行模拟。其中半波数Nc和相位角φ作为随机变量处理，该模型可以模拟不同脉冲数且脉冲峰值不等的速度脉冲，可以方便地生成特定地震动。

通过式（4）的引入，并采用数论方法选取基本随机变量的代表性点集，模拟高频加速度时程所需的随机变量数量由2×N个降低至1个，极大地减少了生成代表性样本的计算量，实现了随机过程的高效降维。再加上模拟低频速度时程所需的2个随机变量，本文方法仅需3个随机变量就可对近断层脉冲型地震动进行降维模拟。

2 近断层脉冲型地震动的合成

2.1 近断层脉冲型地震动的合成方法

前面提及的2个随机模型分别模拟的是近断层脉冲型地震动的高频加速度時程和低频速度时程，首先需要将降维模拟的高频加速度时程转化为对应的速度时程。假定在ti到ti+1的时间间隔内，近断层地震动加速度为[a（ti）+a（ti+1）]/2，对降维模拟的近断层地震动高频加速度时程ah（t）进行积分得到高频速度时程vh（t）。然后利用残余速度峰值vres对vh（t）进行调幅得到标准化的高频速度时程（Dickinson，Gavin，2010）：

式中：vres=0.509×PGV（Yang，Zhou，2015）是对实测地震动记录进行脉冲识别并提取后的残余速度峰值。

由标准化高频速度时程vs（t）与低频速度脉冲时程vp（t）进行叠加得到降维模拟的近断层脉冲型地震动速度时程：

同理，在Δt的时间间隔内，假定近断层地震动速度线性变化，对合成的近断层脉冲型地震动速度时程v（t）进行微分得到降维模拟的近断层脉冲型地震动的加速度时程a（t）;同样可以对降维模拟的近断层脉冲型地震动速度时程v（t）积分得到降维模拟的近断层脉冲型地震动的位移时程u（t）。

2.2 算法步骤

近断层脉冲型地震动的随机模拟可以分解为高频分量和低频分量2个随机过程的模拟，其中高频分量采用含1个基本随机变量的谱表示与随机函数方法来模拟，低频分量采用含2个基本随机变量的Gabor小波来模拟。

首先，利用数论方法（Li，Chen，2007）在区间上均匀分布的三维空间选取一组含有nsel个点的代表性点集{θ1，m，θ2，m，θ3，m}nselm=1，每一个代表性点的赋得概率Pm=1/nsel。其次，将第一维度的点集{θ1，m}nselm=1一一映射到区间（0，2π）上，得到基本随机变量Θ的代表性点集。同时，利用等概率反变换方法将第二维度的点集{θ2，m}nselm=1和第三维度的点集{θ3，m}nselm=1分别映射到指定的对数正态分布和正态分布（Yang，Zhou，2015），得到基本随机变量Nc和φ的代表性点集。因此，三维随机变量{Θ，Nc，Φ}的代表性点集就可以唯一确定，每个代表性点的赋得概率仍为Pm。最后，选取基本随机变量Θ的代表性点集用于生成近断层脉冲型地震动高频加速度时程集合，取基本随机变量Nc和φ的代表性点集用于生成近断层脉冲型地震动低频速度脉冲时程集合。从而，可生成近断层脉冲型地震动加速度、速度和位移时程。

需要指出的是，利用数论方法选出3个基本随机变量的代表性点集，使其具有赋得概率Pm，且所有代表性点构成了完备的概率集合，便于在进一步的研究中结合概率密度演化理论（Li，Chen，2006）对结构的动力反应及抗震可靠度进行分析。

3 数值算例

3.1 模型参数

假设断层所在场地为第II类场地，选用第一组设计地震参数。假设断层处可能发生MW7.0地震，工程场址的断层距R=40 km;根据式（9）和式（10）分别计算得到PGV=49.18 cm/s，Tp=2.52 s。

对于近断层地震动高频加速度过程对应的平稳功率谱密度函数S（ω），本文采用Clough-Penzien谱，即

式中：ωg和ζg分别是场地土的卓越圆频率和阻尼比;ωf和ζf分别是基岩的卓越圆频率和阻尼比;S0表示谱强度因子：

式中：amax是地震动峰值加速度的均值，根据地震动的能量衰减关系（张齐等，2013），本文取为240 cm/s2;r是峰值因子。因为近断层脉冲型地震动具有脉冲幅值大、持时短的特点，本文采用欧进萍和王光远（1998）提出的强度包络函数：

式中：参数c是控制地震动加速度的到达时刻，参数d是控制强度包络函数A（t）形状的参数，取Liu等（2018）的建议值。

高频分量的计算参数及其取值见表1，低频脉冲分量随机建模的统计参数见表2。

3.2 结果分析

图1a为本文方法生成的185条代表性样本的高频加速度时程。由图可知，生成的代表性样本时程曲线具有地震动加速度时程的非平稳特性。图1b为本文方法生成的代表性样本的低频速度时程。从图中可以看出，本文方法模拟的是单一成分的速度脉冲。

图2为对随机变量进行标准化处理后生成的185条代表性样本的高频加速度时程集合的均值、标准差和目标值。均值相对误差为7.6×10-10，标准差相对误差为4.2%，均小于误差限值5%，满足误差要求。其中，均值误差无限趋近于零，可以将模拟值近似看作是一个零均值的随机过程。

图3为185条代表性样本的低频速度时程集合的均值、标准差和目标值。可以看出，模拟值与目标值拟合较好，这证明了本文降维模拟方法的正确性。

图4为本文方法降维模拟的近断层脉冲型地震动时程，图4a是降维模拟的加速度代表性时程，体现出了近断层脉冲型地震动明显的强度非平稳特性和脉冲特性;图4b是降维模拟的速度代表性时程，表现为少数时间节点上的速度跳跃性，更为明显地体现出了降维模拟的近断层脉冲型地震动的速度大脉冲特性和向前方向性效应;图4c是降维模拟的位移代表性时程，同样体现出了该类地震动的脉冲特性。

4 结论

本文提出了一种参数化的近断层脉冲型地震动模拟的降维方法，将地震动分成高频分量和低频分量2部分模拟。高频分量的模拟中，采用了谱表示与随机函数方法，极大地降低了随机过程的随机度，提高了模拟效率;低频分量的模拟中，采用了Gabor小波模型对低频脉冲速度时程进行模拟，其中半波数Nc和相位角φ作为随机变量处理，该模型可以模拟不同脉冲数且脉冲峰值不等的速度脉冲。本文方法的高低频模型中都引入了随机参数，可以方便地模拟生成不同地震环境和不同场地条件下的近断层脉冲型地震动。

本文方法合成的地震动包含了近断层地震动的主要特征，如向前方向性效应，速度大脉冲等。通过分别模拟高频和低频时程然后叠加合成近断层脉冲型地震动时程，可以方便地为近断层地区的工程结构随机地震反应分析和抗震設防研究提供合理的地震动输入。

本文在撰写过程中得到三峡大学张齐博士及大连理工大学陈国海博士后的帮助，在此向他们表示感谢。

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Dimension Reduction Simulation for Near-field FaultPulse-like Ground Motion

JIA Lu1，RUAN Xinxin2，LIU Zhangjun2

（1.College of Civil Engineering and Architecture，China Three Gorges University，Yichang 443002，Hubei，China）（2.School of Civil Engineering and Architecture，Wuhan Institute of Technology，Wuhan 430074，Hubei，China）

Abstract

A dimension reduction method for the simulation of near-field fault pulse-like ground motions is proposed.The near-field fault pulse-like ground motions are decomposed into two parts，including high-frequency component and low-frequency component.The spectral representation-random function method is used to generate the time-series of high-frequency acceleration，which is then converted to the corresponding velocity time-series.The Gabor wavelet is used to simulate the time-series of low-frequency velocity pulse.And the time-series of high and low frequency velocity are superposed to get the synthetic velocity time-series of ground motion，which are then transformed to obtain the acceleration，displacement time-series of near-field fault pulse-like ground motion.The calculating example shows that the time-series simulated by this method with only three basic random variables can reflect the characteristics of the near-fault pulse-like ground motion，such as directivity effect and large velocity pulse，and thus can provide reasonable input for the random seismic respond and aseismic reliability analysis of engineering structures in the near-field fault region.

Keywords：pulse-like ground motion;velocity pulse;high-frequency acceleration;random process;dimension reduction simulation