二次旋转曲面的一种几何定义
时间：2021-02-09 22:09:03 来源：达达文档网 本文已影响 人 
玉素音·艾山
【摘要】本文中给出二次旋转曲面，即长形旋转椭球面，扁形旋转椭球面，单叶旋转双曲面，双叶旋转双曲面和旋转抛物面的一种几何定义.
【关键词】二次曲面;旋转曲面;几何定义
众所周知，三种圆锥曲线椭圆，双曲线和抛物线分别绕自己的对称轴旋转时分别产生五种不同的二次旋转曲面，它们分别为长形旋转椭球面，扁形旋转椭球面，单叶旋转双曲面，双叶旋转双曲面和旋转抛物面.本文将、分别给出它们的一种几何定义.
一、长形旋转椭球面与扁形旋转椭球面的几何定义
很显然在长形旋转椭球面上的任意点到原椭圆的两焦点的距离之和等于一个常数，即等于椭圆的长轴长.下面我们考虑如下一个问题，即在空间中到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是否为长形旋转椭球面？
建立空间直角坐标系o-xyz，设有两个定点F1（c，0，0）和F2（-c，0，0）（c>0），P（x，y，z）是空间中的任意点，那么|PF1|+|PF2|=2a（a是常数且a>c>0），即
（x-c）2+y2+z2+（x+c）2+y2+z2=2a，
上式乘方整理得
（a2-c2）x2+a2y2+a2z2=a2（a2-c2），
如果令a2-c2=b2（∵a2-c2>0），则b2x2+a2y2+a2z2=a2b2，即x2 a2+y2+z2 b2=1（a>b），这表示长形旋转椭球面.
因此，长形旋转椭球面的定义可以如下给出.
定义1 空间中到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹叫作长形旋转椭球面.
下面考虑扁形旋转椭球面.很显然它上的任意点到原椭圆的两焦点的距离之和不等于某个常数，因为椭圆绕短轴旋转时，它的焦点不是固定，而且它的轨迹是以原点为中心，半焦距为半径的一个圆（C），如果我们用通过短轴的平面π来截扁形旋转椭球面，则它们的交线是一个椭圆Γ，而且它上的任意点到对应的直径（平面π与圆（C）的交线）的两个端点的距离之和都等于同一个常数，即都等于椭圆的长轴长.下面证明一个结论.
定理1 设（C）是空间中的一个定圆，AB是（C）的任意一条直径，P是空间中的动点（其中平面πABP垂直于（C）），如果从P点到两点A与B的距离之和等于一个常数（大于|AB|），则P点的轨迹是扁形旋转椭球面.
证明 我们建立空间直角坐标系o-xyz，使（C）的方程为
如果令a2-r2=b2（∵a2-r2>0），则b2x2+a2y2+b2z2=a2b2，即x2+z2 a2+y2 b2=1（a>b），这表示扁形旋转椭球面.因此，扁形旋转椭球面的定义可以如下给出.
定义2 空间中到一个定圆的直径的两个端点的距离之和等于常数（大于直径的长）的点（点与直径所成的平面垂直于定圆）的轨迹叫作扁形旋转椭球面.
二、单叶旋转双曲面与双叶旋转双曲面的几何定义
很显然在双叶旋转双曲面上的任意点到原双曲线的两焦点的距离之差等于一个常数，即等于双曲线的实轴长.下面我们考虑如下一个问题，即在空间中到两个定点的距离之差等于常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹是否为双叶旋转双曲面？
我们建立空间直角坐标系o-xyz，设有两个定点F1（c，0，0）和F2（-c，0，0）（c>0），P（x，y，z）是空间中的任意点，那么||PF1|-|PF2||=2a（a是常数且c>a>0），
即（x-c）2+y2+z2-（x+c）2+y2+z2=±2a
上式乘方整理得（c2-a2）x2-a2y2-a2z2=a2（c2-a2），
如果令c2-a2=b2（∵c2-a2>0），则b2x2-a2y2-a2z2=a2b2，即x2 a2-y2+z2 b2=1，这表示双叶旋转双曲面.因此，双叶旋转双曲面的定义可以如下给出.
定义3 空间中到两个定点的距离之差等于常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹叫作双叶旋转双曲面.
下面考虑单叶旋转双曲面，很显然它上的任意点到原双曲线的两焦点的距离之差不等于某个常数，因为双曲线绕虚轴旋转时，它的焦点不是固定，而且它的轨迹是以原点为中心，半焦距为半径的一个圆（C），如果我们用通过虚轴的平面π来截单叶旋转双曲面，则它们的交线是一个双曲线Γ，而且它上的任意点到对应的直径（平面π与圆（C）的交线）的两个端点的距离之差都等于同一个常数，即都等于双曲线的实轴长.下面证明一个结论.
定理2 设（C）是空间中的一个定圆，AB是（C）的任意一条直径，P是空间中的动点（其中平面πABP垂直于（C）），如果从P点到两点A与B的距离之差等于一个常数（小于|AB|），则P点的轨迹是单叶旋转双曲面.
证明 我们建立空间直角坐标系o-xyz，使（C）的方程为
即（r2-a2）x2-a2y2+（r2-a2）z2=a2（r2-a2），如果令r2-a2=b2 （∵r2-a2>0），则b2x2-a2y2+b2z2=a2b2，即x2+z2 a2-y2 b2=1，这表示单叶旋转双曲面.因此，单叶旋转双曲面的定义可以如下给出.
定义4 空间中到一个定圆的直径的两个端点的距离之差等于常数（小于直径的长）的点（点与直径所成的平面垂直于定圆）的轨迹叫作单叶旋转双曲面.
三、旋转抛物面的几何定义
如果抛物线绕自己的对称轴旋转，则抛物線的焦点不动（即固定），但是它的准线绕对称轴旋转构成一个平面，并且这平面垂直于对称轴，此时旋转抛物面上的任意点到抛物线的焦点与这平面的距离都相等.下面我们考虑如下一个问题，即在空间中到一个定点和一个定平面（定点不在定平面上）的距离相等的点的轨迹是否为旋转抛物面？
设有一个定点F和一个定平面π（Fπ），我们建立空间直角坐标系o-xyz，使Fp 2，0，0，π：x=-p 2（p>0），P（x，y，z）是空间中的任意点，使|PF|=d（P，π），即x-p 22+y2+z2=x+p 2，两边乘方整理得y2+z2=2px，这表示旋转抛物面.因此，旋转抛物面的定义可以如下给出.
定义5 空间中到一个定点和一个定平面（定点不在定平面上）的距离相等的点的轨迹叫作旋转抛物面.
于是，最后我们得到了二次旋转曲面，即长形旋转椭球面，扁形旋转椭球面，单叶旋转双曲面，双叶旋转双曲面和旋转抛物面的一种几何定义.
【参考文献】
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[2]吕林根，许子道.解析几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006：152-174.
[3]朱鼎勋.空间解析几何[M].上海：上海科学技术出版社，1981：342-351.
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