小车-吊重-桥机主梁耦合系统键合图建模及动力学分析

梁岗 程天聪 王桂昇

摘要：为保证桥机安全可靠工作，桥机振动问题是大型起重设备中十分重要的研究课题，而传统所采用的是单一能域建模方法。鉴于此，针对小车-吊重-桥机主梁耦合系统，利用键合图分块建模的特点，分别建立小车运动系统和简支梁承重结构对应的键合图模型。根据两个子系统之间的功率守恒，组合完成耦合系统的键合图模型，借此建立耦合系统的状态方程。针对小车运行加速-匀速-减速的实际工况，根据状态方程计算系统的耦合频率，采用状态空间迭代解法求解主梁跨中动力响应。分析吊重与小车质量比、绳长和吊重摆动对系统耦合频率和主梁跨中动力响应的影响。结果表明：利用键合图法可以快速有效地构建复杂耦合系统的动力学模型;小车-吊重-桥机主梁耦合系统的动力学特性不仅与小车运行的速度、加速度有关，而且与吊重与小车质量比、绳长和吊重摆动有关。

关键词：
键合图; 状态空间迭代解法; 桥式起重机; 耦合频率

中图分类号：
TH215    文献标志码：
A

Modeling and dynamics analysis on trolley-lifting weight-bridge crane

main girder coupling system with bond graphs

LIANG Gang， CHENG Tiancong， WANG Guisheng

（Logistics Engineering College， Shanghai Maritime University， Shanghai 201306， China）

Abstract：
In order to ensure the safe and reliable work of the bridge crane， the vibration of the bridge crane is a very important research topic in the large lifting equipment， while the traditional method is a single energy domain modeling method. In view of this， for the trolley-lifting weight-bridge crane main girder coupling system， using the characteristic of block modeling of bond graphs， the bond graph models of the trolley motion system and the simply supported girder bearing structure are established， respectively. According to the power conservation between the two subsystems， the bond graph model of the coupling system is completed， and the state equation of the coupling system is built. According to the working conditions of acceleration-uniform speed-deceleration of the trolley， the coupling frequency of the system is calculated by the state equation， and the mid-span dynamic response of the main girder is solved by the state space iterative method. The influences of the mass ratio of the lifting weight to the trolley， the length of wire and the lifting weight swing on the system coupling frequency and the mid-span dynamic response of the main girder are analyzed. The results show that：
using the bond graph method， the dynamic model of complex coupling systems can be constructed quickly and effectively; the dynamic characteristics of the trolley-lifting weight-bridge crane main girder coupling system are not only related to the speed and acceleration of the trolley， but also related to the mass ratio of the lifting weight to the trolley， the length of wire and the lifting weight swing.

Key words：
bond graph; state space iterative method; bridge crane; coupling frequency

0 引 言

橋式起重机（以下简称桥机）是用于港口货物装卸的主要设备，其装卸能力和工作效率直接决定码头作业生产率。随着港口机械朝着大型化、高速化方向发展，桥机起升的重量不断加大，小车运行速度也加快，吊重与桥机主梁的耦合作用增强，因此研究其动态特性有重要意义。

考虑桥机主梁结构与小车的耦合振动时，由于货物在起吊过程中会发生摆动，往往将模型简化为移动质量-吊重-简支梁耦合系统。文献[1]以欧拉梁为研究对象，在建立动力学方程时引入狄拉克函数，通过引入“关键速度”对耦合问题进行研究。文献[2-3]基于拉格朗日方程推导了耦合系统的运动微分方程组，分析了移动速度和加速度、吊重质量等对梁体振动响应的影响。利用上述传统的建模方法很难达到复杂系统和多自由度系统的建模要求，键合图理论与方法一直被认为是一种物理系统建模与仿真的有效工具。

文献[4]基于键合图法研究了柔性梁的建模问题，降低了模型的复杂度;文献[5]提出了相应的矢量键合图法，描述了用键合图法对平面柔性多体系统建模的一般过程;文献[6-9]建立了在不同边界条件和不同支撑条件下梁横向振动的键合图模型;文献[10]根据杆件的几何关系得到摆动导杆机构键合图模型;文献[11]建立了单摆在不同工况下的键合图模型，并给出了相应的状态方程。对耦合系统的状态方程求解可以采用状态空间法：文献[12-13]利用状态空间理论建立了车桥耦合振动有限元分析的状态空间法;文献[14-15]应用状态空间法求解Timoshenko梁的振型和频率;文献[16]基于结构动力响应的状态方程，建立迭代计算格式，对结构动力响应进行了计算。

本文以小车-吊重-桥机主梁耦合系统为研究对象，利用键合图分块建模的特点，分别建立小车运动系统和简支梁承重结构对应的键合图模型，根据两个子系统之间的功率守恒，用适当的元件将两个子系统联接起来，组合完成小车-吊重-桥机主梁耦合系统的键合图模型，建立耦合系统的状态方程。针对小车运行加速-匀速-减速的实际工况，根据状态方程计算系统耦合频率，采用状态空间迭代解法求解主梁跨中动力响应。对比分析吊重与小车质量比、绳长、吊重摆动等对系统耦合频率和主梁跨中动力响应的影响。该方法与传统的方法相比：利用它可以灵活、方便地建立系统的状态方程，避免烦琐的求导过程;利用它建立的模型十分便于修改和完善，工作量小。键合图法是以图形表示和描述系统动态结构的，是对工程系统进行动态数字仿真的有效的建模工具，具有结构简明、信息量大和动力学建模过程规则化等特点，为复杂系统建模提供了良好的解决方案。

1 小车-吊重-桥机主梁耦合系统键合图模型的建立1.1 键合图模型

键合图是描述系统功率的传输、转换、贮存和耗散的图形，是以能量守恒为基础的，核心思想是功率流在特定激励作用下重新分布与调整的过程。键合图将多种物理参量统一地归纳成势、流、变位和动量变量，根据系统中功率流的方向，按照规定步骤制定系统的键合图模型，并列出系统的状态方程。

在建立耦合系统的力学模型时：将桥机简化为简支梁;由于吊绳的质量相对于整个系统的质量而言可以忽略，为简化分析，将吊绳假设为无质量刚性吊绳;将吊重简化为质点，通过无质量的刚性吊绳悬挂在小车上，随着小车一起运动并且在平面内摆动。小车-吊重-简支梁的耦合系统力学模型如图1所示：采用欧拉梁模型;假定小车在移动过程中不脱离梁体，则其位移与梁所在位置的挠度是一致的;小车质量为M;吊重质量为m;梁的弹性模量为E，惯性矩为I，单位长度质量为mb，跨度为lb;刚性吊绳的长度为lr;吊绳与中心线之间的夹角为θ。

对耦合系统的建模有多种方法，但对复杂系统和多自由度系统建模时，采用传统的建模方法很难达到要求。键合图法作为一种系统动力学建模方法，可以将复杂系统划分为几个较简单的子系统，分别用键合图建模。键合图建模的优势就是可以将不同模块的键合图进行组合，构成新的模型[17]。

对小车运动系统建模时，只考虑小车吊重的横向摆动，吊绳的质量及其长度变化可以忽略不计，不计空气阻力、风力以及小车与轨道之间的摩擦力。首先对吊重摆动建立键合图模型，确定各键的功率方向，接着将小车的水平速度作为流源，并将两个模块的键合图进行组合，得到小车运动系统键合图模型，见图2。图2中：v（t）是小车的瞬时速度;Sf与Se分别是系统的流源和势源;I是惯性元件;变换器MTF7和MTF8的模数分别为7和8，7=lrcos θ，8=-lrsin θ。

对简支梁进行建模，按照键合图建模步骤[18]，建立移动力作用下简支梁键合图模型，见图3。该模型输入端口的外力乘以速度等于各模态力与相应模态流乘積之和，满足功率守恒定律。该模型是键合图模型的基本模块，是复杂结构组成单元。

图3中：惯性元件I的参数m1，m2，…，mN表示简支梁的模态质量;C为容性元件，其参数k1，k2，…，kN表示简支梁的模态刚度;MTF的模数是位置随时间变化的振型函数;F为随时间变化的集中力。

 将小车运动系统键合图模型和简支梁键合图模型根据两个子系统之间的功率守恒联接起来，组合完成小车-吊重-桥机主梁耦合系统的键合图模型，见图4。对于简支梁键合图模型，由于前几阶模态影响较大，而高阶模态能量占比太低，对整个结构振动影响不大，因此取有限模态N=5。小车-吊重-桥机主梁耦合系统键合图模型能以直观的方式描述系统中有关的物理效应、元件之间的相互联接关系以及功率传输情况，并且模型本身隐含着描述耦合系统动态性能的状态方程。

变换器MTFi的模数i=sin（iπxc/lb），i=1，2，…，5;变换器MTF6的模数6=5i=1ηi（t）×di（xc）dx;xc为小车在t时刻在x方向所在位置;ηi为广义振型坐标。

对于刚性梁，当小车以瞬时速度v（t）在梁上运动时，小车底部的垂直速度等于小车的水平速度与梁变形瞬时斜率的乘积。

1.2 系统微分方程及状态方程

根据键合图法则[19]，取具有积分因果关系的惯性元件的广义动量和容性元件的广义位移作为系统的状态变量。设系统状态变量和系统的输入向量分别为X=（p1，p2，p3，p4，p5，p35，q1，q2，q3，q4，q5）T

U=（Mg，mg，v（t））T式中：pi为模型广义动量，qi为模型广义位移，并且pi=miη ·i，qi=ηi（i=1，2，…，5）。

由键合图因果关系及势方程、流方程可知p ·i=-kiqi+Fi， i=1，2，…，5

q ·i=pi/mi， i=1，2，…，5

p ·35=（mf ·28-mg）sin θcos θ

θ ·=p35-mv（t）mlrcos θ

（1）式中：F=Mg-e22-e26。由键合图理论可知e22=Mf ·22=Mf ·21

（2）

e26=e28-e27=mf ·28-mg

（3）

f21=φ6v（t）+5i=1（pii/mi）

（4）

f28=5i=1（′ i（xc）v（t）ηi（t）+

i（xc）η ·i（t））-lrθ ·sin θ

（5）  将pi、qi以及式（2）、（3）、（4）、（5）代入式（1），可得耦合系统的动力学微分方程如下：

mjη · ·j（t）+（M+m）j（xc）×

5i=1（″ i（xc）v2（t）ηi（t）+

′ i（xc）v ·（t）ηi（t） + 2′ i（xc）v（t）η ·i（t） +

i（xc）η · ·i（t））-g+kjηj（t）-

j（xc）mlr（sin（θθ · ·） + cos（θθ ·2）） = 0

（j=1，2，…，5）

θ · ·+v ·（t）cos θ/lr+gsin θ/lr=

sin θ/lr5i=1（″ i（xc）v2（t）ηi（t）+

′ i（xc）v ·（t）ηi（t） + 2′ i（xc）v（t）η ·i（t） +

i（xc）η · ·i（t））

（6）

由式（6）与文献[2]对比可知，由键合图法推导出的系统动力学微分方程与其是完全相同的，从而验证了用键合图法建模的可行性和正确性。

另外，引入状态变量X（t）=（ηiη ·i）T

（7）将式（7）代入式（1）中，可直接得到耦合系统的状态方程如下：X ·=AX+P

（8）式中：A=0I

-M-1K-M-1C，P=0

M-1F（t），其中，M、C和K分别为耦合系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，F（t）为载荷列阵。矩阵A的特征值为系统的各阶耦合频率，状态方程（式（8））描述了一个动态的过程。根据状态空间理论，式（8）的解为X=eAtX（0）+∫t 0eA（t-τ）P（τ）dτ

（9）式（9）中包含位移响应量和速度响应量。

2 状态空间迭代解法

状态方程的解法有很多[20]，状态空间法具有计量小、计算效率快和精度高的特点。采用状态空间迭代解法求解结构的动力响应问题，不用求矩阵A的特征值，也不必解线性方程或求矩阵的逆，只需做矩阵相乘运算。

将某段时间划分为许多Δt，对于任意时刻ti=iΔt（i=0，1，…），耦合系統的动力响应量为Xi（ti）=eAtiX（0）+∫ti0eA（ti-τ）P（τ）dτ

（10）设i=1，则X1（t1）=eAΔtX（0）+EP（t1）

（11）式中：E=∫Δt 0eA（Δt-τ）dτ=（eAΔt-I）A-1

因此，状态空间迭代解法的迭代计算式为Xk+1（tk+1）=Φ1Xk（tk）+τΦ2P（tk）

（12）式中：Φ1=∞k=0（Aτ）kk！，Φ2=∞k=0（Aτ）k（k+1）！

3 耦合系统动力学分析

3.1 算法验证

为验证本文模型及求解方法的正确性，选取文献[2]中的计算实例进行求解，将本文计算的结果与文献[2]中基于拉格朗日方程计算的结果相比较。假定小车质量与吊重质量之和一定;定义吊重与小车质量比为r，r=m/M;定义绳长lr与梁长lb之比为n，n=lr/lb。

当r=0（即吊重质量m=0）时，本文模型变为小车过桥模型，取小车初始速度v0=20 m/s，加速度a=0，计算结果见图5。当r=1（即吊重与小车的质量相同）时，取n=0.05（绳长为5 m），加速度a=2 m/s2，计算结果见图6。

利用本文模型和求解方法得到的结果与文献[2]的计算结果相差不大，说明取有限模态N=5可以完全满足精度要求，从而验证了基于键合图法建立的状态方程及状态空间迭代解法的可行性和正确性。

3.2 系统耦合频率的计算与分析

通过矩阵A的特征值计算，可获得小车-吊重-桥机主梁耦合系统的各阶耦合频率。针对小车运行加速-匀速-减速的实际工况，对比分析吊重与小车质量比、绳长和吊重摆动等对系统耦合频率的影响。在实际工况中小车质量是固定的，但往往会起升不同质量的吊重，不同质量的吊重对系统耦合频率和动力响应有不同的影响。因此，吊重与小车质量比既考虑了小车与吊重质量之和一定的情形，也考虑了小车质量一定的情形。

通过查阅桥机相关参数以及梁上小车运动情况的相关文献[21]，为让对比结果更明显，本文将梁的参数和小车运动情况进行简化，计算参数见表1。

设初始摆角θ（0）=0，根据小车运行速度曲线（见图7），通过状态空间迭代解法求得ti时刻的动态响应，进而求得ti+1时刻的θ值。取加速阶段结束时的摆角和摆动角速度作为匀速阶段的计算初值，取匀速阶段结束时的摆角和摆动角速度作为减速阶段的计算初值。不同绳长的吊重摆角曲线见图8。

由图7和8可知：加速阶段吊重的摆角较小，匀速阶段和减速阶段吊重的摆角明显增大;小车的加速度一定时，绳长是影响吊重摆角的主要因素，绳越短，吊重的摆角越大。

当小车与吊重质量之和一定（4.8×104 kg）时：取r=1（m=M=2.4×104 kg），绳长lr分别取5 m和10 m，研究绳长对耦合频率的影响，见图9;分别取r=1（m=M=2.4×104 kg）和r=4（M=0.96×104 kg、m=3.84×104 kg），绳长lr=5 m，得到系统耦合频率，见图10。当小车质量一定（M=1.2×104 kg）时，分别取r=1（m=1.2×104 kg）和r=4（m=4.8×104 kg），绳长lr=5 m，得到系统耦合频率，见图11。

由图8和9可知，当小车与吊重质量之和一定时，吊重摆角随绳长lr的减小而增大，进而使系统耦合频率波动幅度增大，说明吊重的摆动对系统耦合频率有一定影响。由图10和11可知：当小车与吊重质量之和一定时，随着r的增大，系统耦合频率略微增大;当小车质量一定时，系统耦合频率随着r的增大而减小。在上述两种情况下，系统耦合频率在小车运行的各个阶段均会产生不同幅度的波动，此波动是由吊重摆动引起的。吊重在加速阶段摆角较小，系统耦合频率波动幅度不大;吊重在匀速阶段和减速阶段摆角逐渐增大，系统耦合频率波动幅度增大，尤其在减速阶段其波动幅度更大。

3.3 吊重质量对主梁跨中位移的影响

采用状态空间迭代解法建立迭代计算格式，取i时刻的响应量作为i+1时刻的计算初值，进而求解主梁跨中动力响应。

在小车与吊重质量之和一定（4.8×104 kg）时，分别取r=1和r=4，绳长lr=5 m，计算结果见图12。在小车质量一定（M=1.2×104 kg）时，分别取r=1和r=4，绳长lr=5 m，计算结果见图13。

由图8、12、13可知：在小车与吊重质量之和一定时，随着r的增大，主梁跨中位移有一定增大;在小车质量一定时，主梁跨中位移随着r的增大而增大。不同吊重与小车质量比并没有改变主梁跨中位移的变化趋势，只对其变化幅度有所影响。在上述两种情况下，由于吊重摆动，主梁跨中位移在小车运行的各个阶段产生不同幅度的波动。主梁跨中位移在加速阶段波动幅度很小，而在匀速阶段和减速阶段波动幅度增大，说明吊重摆角的增大会使主梁跨中位移的波动幅度增大。

4 结 论

本文以小车-吊重-桥机主梁耦合系统为研究对象，利用键合图分块建模的特点，根据各子系统之间的功率守恒，组合完成小车-吊重-桥机主梁耦合系统的键合图模型，建立了耦合系统的状态方程。根据状态方程计算了系统的耦合频率，采用状态空间迭代解法求解了主梁跨中动力响应。得到以下结论：

（1）利用键合图法不仅可以快速有效地建立复杂耦合系统的动力学模型，而且从建模到计算都非常简单和实用，在数学建模方面也更简便;利用键合图法建立的模型十分便于修改和完善;键合图法具有结构简明、信息量大及动力学建模过程规则化等特点，为复杂系统建模提供了良好的解决方案。（2）系统耦合频率随着吊重与小车质量比的变化而变化;吊重的摆动会引起系统耦合频率的波动变化，且波动幅度随摆角的增大而增大;吊绳长度的变化会引起吊重摆角的变化，进而引起系统耦合频率波动。（3）不同吊重与小车质量比只对主梁跨中位移的变化幅度有所影响;在小车运行的各个阶段，主梁跨中位移的波動幅度随着吊重摆角的增大而增大。

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（编辑 赵勉）

收稿日期：
2019- 06- 28 修回日期：
2019- 12- 04

作者简介：
梁岗（1969—），男，河南开封人，副教授，博士，研究方向为起重机动力学、起重机智能结构振动控制、大型起重机结构轻量化设计及优化研究，（E-mail）gangliang@shmtu.edu.cn