中小学数学中的无字证明
时间：2021-02-09 22:09:40 来源：达达文档网 本文已影响 人 
梁凝湘 曹婉盈 吴淑娜
【摘要】中小学中部分重要定理的证明过程，对中小学生来说，显得相对枯燥难以理解.无字证明是帮助学生更好地理解、消化定理的一个较优方法.本文主要列举了基本不等式以及由基本不等式的拓展不等式链的无字证明.
【关键词】中小学;无字证明;不等式;不等式链
【基金项目】广东省大学生创新创业训练计划项目（201811847121）.
无字证明即无需言语的证明，指只用图像或再仅加以一两个式子帮助解释就能不证自明的数学命题.很多情况下，几何模型可以用来辅助枯燥沉闷的证明，而且简单优美的无字证明甚至能够在瞬间就看到定理的真相.但是，无字证明并不是严格的证明，它只代表了个别特殊的情况，适合用来帮助学生理解所学定理，并能很好地锻炼学生的数学抽象、直观想象能力.
本文主要讨论了基本不等式以及由此延伸出来的不等式链，并将严格证明与无字证明进行了简单的对比说明.
一、基本不等式a+b 2≥ab
《普通高中课程标准实验教科书·数学·选修4-5》上的证明[1]利用重要不等式a2+b2≥2ab，对a+b进行简单变形.因为
a+b=（a）2+（b）2≥2a·b=2ab，
所以a+b 2≥ab，
当且仅当a=b，即a=b时，等号成立.
教材所使用证明方法并不复杂，其证明过程容易理解，但是，在进行严格证明之前，a+b 2与ab的大小关系，却并不能轻易看出来，而若利用无字证明，则会显得更为直观，能瞬间比较出a+b 2与ab的大小关系.
作一个半圆，令该半圆的半径EO的长度为a+b 2，并在直径AC上取一点B，使CB=b，过点B作垂線交半圆于点D.根据△ABD∽△DBC，有AB DB=DB BC，由此可求出DB的长度等于ab，又因为EO≥DB，所以有a+b 2=ab.当点B与点O重合时，有a+b 2=ab.
二、不等式链
在基本不等式的应用中，往往不止上述所提，时常会用到以下这一不等式链[2]：
a2+b2 a+b>a2+b2 2>a+b 2>ab>2ab a+b.（1）
若以一般的文字证明，证明过程如下：
当a≠b≠0时，则有（a-b）2>0，即
a2+b2>2ab.（2）
1.ab>2ab a+b：
在（2）式两边同时加上2ab，则（a+b）2>4ab.
不等式两边同时乘ab，且因为a≠b≠0，所以（a+b）2≠0，不等式两边同时除以（a+b）2，则有
ab>4a2b2 （a+b）2.
因为不等式两边皆大于零，两边同时开方，则有
ab>2ab a+b.
2.a+b 2>ab：
此不等式，在上面已经证明过，当a≠b≠0，等号不取，即证.
3.a2+b2 2>a+b 2：
在（2）式两边同时除以4，则有
a2+b2 4>ab 2.
再在上式不等号两边同时加上a2+b2 4，则有
a2+b2 2>（a+b）2 4.
因为a≠b≠0，可知与前面的问题类似，则有
a2+b2 2>a+b 2.
4.a2+b2 a+b>a2+b2 2：
在（2）式的不等号两边同时乘a2+b2，则有
（a2+b2）2>2ab（a2+b2）.
两边再同时加上（a2+b2）2，则有
2（a2+b2）2>（a+b）2（a2+b2）.
对不等号两边同时除以2（a+b）2，则有
（a2+b2）2 （a+b）2>a2+b2 2.
最后对不等号两边同时开方，得
a2+b2 a+b>a2+b2 2.
由上述证明过程可见，若要将不等式链（1）一一证明出来，过程十分烦琐复杂，但若通过无字证明，以函数曲线交点的横坐标（图2）将这一组不等式链表现出来，则能在同一个坐标系中，快速判断出这一组不等式的大小关系.
1.利用给定的a，b，可以作三条曲线：x+y=a+b，xy=ab，x2+y2=a2+b2.这三条线与x=y的交点分别为点A、点G、点R，而这三点的横坐标恰好就是ama+b 2，gm（ab），rmsa2+b2 2.
2.利用曲线x2+y2=a2+b2与直线x=y的交点R，作曲线xy=a2+b2 2.
3.由图2，纵坐标为a+b 2（即am）的点H、点C等等，但当取曲线xy=ab上的点H，其横坐标是hm2ab a+b;取曲线xy=a2+b2 2上的点C，其横坐标是cma2+b2 a+b.
由图2可知，这些横坐标之间有这样的关系：cm>rms>am>gm>hm，即a2+b2 a+b>a2+b2 2>a+b 2>ab>2ab a+b.
无字证明最大的特点便是其简洁直观性，一些看似难以理解的定理，能通过一个图或一组图，再配以少许简单式子就可以将定理说明白.将无字证明用于中小学课堂上，能让数学课堂变得更加生动有趣，也让学生更容易消化理解相对枯燥的定理，甚至能开拓学生创新思维，体会到数学的趣味，能很好地发展学生的几何直观、推理能力、创新意识.
【参考文献】
[1]Roger B.Nelsen.数学写真集（第1季）无需语言的证明[M].北京：机械工业出版社，2014：49.
[2]Roger B.Nelsen.数学写真集（第1季）无需语言的证明[M].北京：机械工业出版社，2014：56-57.
