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    大胆猜想,小心求证

    时间:2021-02-11 20:04:08 来源:达达文档网 本文已影响 达达文档网手机站

    赵俊达

    2019年天津市中考有一道题引起了广泛的关注。题目如下:

    如图1,在每个小正方形的边长为1的网格中。△ABC的顶点A在格点上。点B是小正方形边的中点。∠ABC=50°。∠BAC=30°。经过点A,B的圆的圆心在边AC上。

    (I)线段AB的长等于

    但题目要求仅用无刻度的直尺画图,这样就必须进一步挖掘点P的性质,再利用网格和圆的特点来实现单尺画图的目标。

    文[1]结合图形直观启示,经历观察、猜想、验证、计算、推理等数学活动,从而确认标准答案点P位于点P1的合理性。并且進一步通过猜想、论证,获得点P异于标准答案的另一个位置点P2的单尺画法,这是一个意外的收获。笔者阅后,深受启发,但也有疑惑,兹列举如下:

    1.文[1]在探究点P1准确位置时,推导大致如下:

    由图2中尺规作图的分析知,△ABC内部只有一个点P符合∠PAC=∠PBC=∠PCB。由此得到标准答案中的画图方法。

    2.在探究另一个符合条件的点只的相关的角时,文[1]运用了高中三角函数的相关知识。作为中考题目。其解答的依据要从高中范围寻找支撑,怎么也说不过去。能不能在已有的点P1的结论的基础上用初中几何知识解决呢?笔者顺着文[1]的思路,做了以下探究:

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