高中数学专题2.11,已知不等恒成立，分离参数定最值（原卷版）
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专题11 已知不等恒成立，分离参数定最值 【题型综述】 不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；
②直接化为最值＋分类讨论；
③缩小范围＋证明不等式；
④分离函数＋数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；
直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。
俗话说，形缺数时难入微。
【典例指引】 例1 己知函数. （1）若函数在处取得极值，且，求；
（2）若，且函数在上单调递増，求的取值范围. 解：（1），由题意可得：，又，所以.经检验适合题意. (2) ， 在上单调递增在上恒成立在上恒成立 法一（分离参数＋函数最值）：则在上恒成立，令， 下面求在上的最大值. ，令，则.显然，当时，，即单调递减，从而. 所以，当时，，即单调递减，从而.因此，. 法二（直接化为最值＋分类讨论）：令，.令， ①当时，，所以，即在上单调递减.而，与在上恒成立相矛盾. ②当时，则开口向上 (方案一）：Ⅰ.若，即时，,即，所以在上递增，所以，即. Ⅱ.若，即时，此时，不合题意. (方案二）：Ⅰ.若对称轴，即时，则在上为增函数， ，即，所以在上递增，所以，即. Ⅱ.若对称轴，即时，则，不合题意. 法三（缩小范围＋证明不等式）：令，则. 另一方面，当时，则有，令，开口向上，对称轴，故在上为增函数，所以在上为增函数，则，故适合题意. 例2. (2016全国新课标Ⅱ文20)己知函数. （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围. 简析：（Ⅰ）的定义域为.当时，，，，所以曲线在处的切线方程为. （Ⅱ）法一（参考答案，系数常数化）：在恒成立在恒成立，令， ①当时，则)时， ,故，在上是增函数，故有 ②当时，则，，由， 故，在上是减函数，故有，故不适合题意. 综上，实数的取值范围为 法二（直接化为最值）：在恒成立，则 (导函数为超越函数）；
在为增函数，则（1）当即时，则(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意. （2）当即 时，则，且，故在有唯一实根，则在为减函数，在增函数，又有，则存在,使得，故不适合题意.综上，实数的取值范围为. 法三（分离参数）：在恒成立在恒成立（端点自动成立），则设，令在为增函数，则在为增函数，又因，故实数的取值范围为 法四（缩小范围）：在恒成立，且，则存在，使得在上为增函数在上恒成立，令. 又当时，在为增函数，则(当且仅当(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意. 综上，实数的取值范围为. 点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则，缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。
2.(重庆市2015届一诊理20)已知曲线在点处的切线的斜率为1；
（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 解：（Ⅰ）
由题知 ∴， ，在上单减，∴在上恒成立 即在上恒成立，，∴；
（Ⅱ）法一（直接化为最值）令，则在上恒成立， 当即时，，在上单减，∴，符合题意；
当时，，在上单增，∴当时，，矛盾；
当时，在上单减，上单增，而，矛盾；
综上，. 法二（分离参数）在上恒成立（端点自动成立）
设，令 在上为减函数，则在上为减函数，又因，故实数的取值范围为 法三 （缩小范围）：令，则在上恒成立，注意到，，则存在，使得在上为减函数 在上恒成立，又有.则存在，使得在上为减函数[来源:学科网ZXXK] 在上恒成立，又有. 又当时，则 [来源:学科网] （1）若时，，在上单减，∴，符合题意；
（2）若时，则，故在上单减，上单增，而，矛盾；
[来源:学+科+网] 综上，实数的取值范围为 点评：（1)在端点处恰好适合题意，分离参数所得函数却在时得到下确界，值得留意. （2）缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类的层级数，缩短解题步骤。
（3）构造反例，寻找合适的特殊值，具有很强的技巧性。因函数分解为二次函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数函数的零点为，而二次函数的零点为及，又知当时，零点，故易得，从而导出矛盾。
【扩展链接】 洛必达法则简介：[来源:学科网] 法则1 若函数和满足下列条件：（1) 及；
（2）在点的去心邻域内，与可导，且；
（3），那么. 法则2 若函数和满足下列条件：（1) 及；
（2），和在与上可导，且；
（3），那么. 法则3 若函数和满足下列条件：（1) 及；
（2）在点的去心邻域内，与可导且；
（3），那么. 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
①将上面公式中的换成洛必达法则也成立。
②洛必达法则可处理型。[来源:学科网] ③在着手求极限以前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会 出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
【同步训练】 1．已知函数. （1）若，求证：当时，；
（2）若存在，使，求实数的取值范围. 2．已知， 是的导函数． （Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围． 3．已知函数． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围． 4．已知函数，. (Ⅰ)当时，求证：过点有三条直线与曲线相切；
(Ⅱ)当时，，求实数的取值范围. 5．已知函数（）. （1）当曲线在点处的切线的斜率大于时，求函数的单调区间；
（2）若 对恒成立，求的取值范围.（提示：）
6．已知函数在点处的切线方程为,且. (Ⅰ)求函数的极值；
(Ⅱ)若在上恒成立，求正整数的最大值. 7．已知函数， ，其中， . （1）若的一个极值点为，求的单调区间与极小值；
（2）当时， ， ， ，且在上有极值，求的取值范围. 8．已知函数. (1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设， ， 证明：
. 9．已知函数， 为自然对数的底数). (1)讨论函数的单调性；
(2)当时， 恒成立，求实数的取值范围. 10．设函数. （1）当时,求函数在点处的切线方程；
（2）对任意的函数恒成立，求实数的取值范围. 11．设函数，其中， 是自然对数的底数. （Ⅰ）若是上的增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）若，证明：
. 12．已知函数（）与函数有公共切线． （Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若不等式对于的一切值恒成立，求的取值范围． 13．已知函数，. （1）求证：（）；
（2）设，若时，，求实数的取值范围.
