统编版数学八年级上期末测试卷

期末试卷（1）
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（　　）
A． B． C． D． 2．（3分）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（　　）
A．0根 B．1根 C．2根 D．3根 3．（3分）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（　　）
A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE 4．（3分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（　　）
A．180° B．220° C．240° D．300° 5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a+3b=5ab B．（x+2）2=x2+4 C．（ab3）2=ab6 D．（﹣1）0=1 6．（3分）如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（　　）
A．（x+a）（x+a）
B．x2+a2+2ax C．（x﹣a）（x﹣a）
D．（x+a）a+（x+a）x 7．（3分）下列式子变形是因式分解的是（　　）
A．x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6 B．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）
C．（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6=（x+2）（x+3）
8．（3分）若分式有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a=0 B．a=1 C．a≠﹣1 D．a≠0 9．（3分）化简的结果是（　　）
A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x 10．（3分）下列各式：①a0=1；
②a2•a3=a5；
③2﹣2=﹣；
④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0；
⑤x2+x2=2x2，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 11．（3分）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（　　）
A． B． C． D． 12．（3分）如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（　　）
A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C 　 二、填空题：（每空3分，共18分）
13．（3分）分解因式：x3﹣4x2﹣12x=　　． 14．（3分）若分式方程：有增根，则k=　　． 15．（3分）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是　　．（只需填一个即可）
16．（3分）如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A=　　度． 17．（3分）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为　　． 18．（3分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，若10+=102×（a，b为正整数），则a+b=　　． 　 三.解答下列各题：（本题共7题，共66分）
19．（9分）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+5a2b），其中a=，b=﹣． 20．（9分）给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 21．（9分）解方程：=． 22．（9分）已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形． （1）求证：AD=CE；

（2）求证：AD和CE垂直． 23．（9分）如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB． 24．（9分）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；
若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 25．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，CE为△ACD的角平分线，EF⊥BC于点F，EF交CD于点G．求证：BE=CG． 参考答案与试题解析 一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（　　）
A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，符合题意；

C、不是轴对称图形，不符合题意；

D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选B． 【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 　 2．（3分）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（　　）
A．0根 B．1根 C．2根 D．3根 【考点】三角形的稳定性． 【专题】存在型． 【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可． 【解答】解：加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC， 故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单． 　 3．（3分）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（　　）
A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE 【考点】全等三角形的性质． 【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断． 【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C， ∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE， 故A、B、C正确；

AD的对应边是AE而非DE，所以D错误． 故选D． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，根据已知的对应角正确确定对应边是解题的关键． 　 4．（3分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（　　）
A．180° B．220° C．240° D．300° 【考点】等边三角形的性质；
多边形内角与外角． 【专题】探究型． 【分析】本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为360°，求出∠α+∠β的度数． 【解答】解：∵等边三角形的顶角为60°， ∴两底角和=180°﹣60°=120°；

∴∠α+∠β=360°﹣120°=240°；

故选C． 【点评】本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°，四边形的内角和是360°等知识，难度不大，属于基础题 　 5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a+3b=5ab B．（x+2）2=x2+4 C．（ab3）2=ab6 D．（﹣1）0=1 【考点】完全平方公式；
合并同类项；
幂的乘方与积的乘方；
零指数幂． 【分析】A、不是同类项，不能合并；

B、按完全平方公式展开错误，掉了两数积的两倍；

C、按积的乘方运算展开错误；

D、任何不为0的数的0次幂都等于1． 【解答】解：A、不是同类项，不能合并．故错误；

B、（x+2）2=x2+4x+4．故错误；

C、（ab3）2=a2b6．故错误；

D、（﹣1）0=1．故正确． 故选D． 【点评】此题考查了整式的有关运算公式和性质，属基础题． 　 6．（3分）如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（　　）
A．（x+a）（x+a）
B．x2+a2+2ax C．（x﹣a）（x﹣a）
D．（x+a）a+（x+a）x 【考点】整式的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】根据正方形的面积公式，以及分割法，可求正方形的面积，进而可排除错误的表达式． 【解答】解：根据图可知， S正方形=（x+a）2=x2+2ax+a2=（x+a）a+（x+a）x 故选C． 【点评】本题考查了整式的混合运算、正方形面积，解题的关键是注意完全平方公式的掌握． 　 7．（3分）下列式子变形是因式分解的是（　　）
A．x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6 B．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）
C．（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6=（x+2）（x+3）
【考点】因式分解的意义． 【专题】因式分解． 【分析】根据因式分解的定义：就是把整式变形成整式的积的形式，即可作出判断． 【解答】解：A、x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；

B、x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确；

C、（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误；

D、x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），故本选项错误． 故选B． 【点评】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 　 8．（3分）若分式有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a=0 B．a=1 C．a≠﹣1 D．a≠0 【考点】分式有意义的条件． 【专题】计算题． 【分析】根据分式有意义的条件进行解答． 【解答】解：∵分式有意义， ∴a+1≠0， ∴a≠﹣1． 故选C． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，要从以下两个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；

（2）分式有意义⇔分母不为零；

　 9．（3分）化简的结果是（　　）
A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x 【考点】分式的加减法． 【专题】计算题． 【分析】将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分． 【解答】解：=﹣===x， 故选：D． 【点评】本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；
如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． 　 10．（3分）下列各式：①a0=1；
②a2•a3=a5；
③2﹣2=﹣；
④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0；
⑤x2+x2=2x2，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 【考点】负整数指数幂；
有理数的混合运算；
合并同类项；
同底数幂的乘法；
零指数幂． 【专题】计算题． 【分析】分别根据0指数幂、同底数幂的乘法、负整数指数幂、有理数混合运算的法则及合并同类项的法则对各小题进行逐一计算即可． 【解答】解：①当a=0时不成立，故本小题错误；

②符合同底数幂的乘法法则，故本小题正确；

③2﹣2=，根据负整数指数幂的定义a﹣p=（a≠0，p为正整数），故本小题错误；

④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0符合有理数混合运算的法则，故本小题正确；

⑤x2+x2=2x2，符合合并同类项的法则，本小题正确． 故选D． 【点评】本题考查的是零指数幂、同底数幂的乘法、负整数指数幂、有理数混合运算的法则及合并同类项的法则，熟知以上知识是解答此题的关键． 　 11．（3分）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（　　）
A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，利用时间得出等式方程即可． 【解答】解：设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为：
=+， 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，把列方程的问题转化为列代数式的问题． 　 12．（3分）如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（　　）
A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C 【考点】全等三角形的判定． 【分析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C、AB=AC与∠1=∠2、AD=AD组成了SSA是不能由此判定三角形全等的． 【解答】解：A、∵AB=AC， ∴， ∴△ABD≌△ACD（SAS）；
故此选项正确；

B、当DB=DC时，AD=AD，∠1=∠2， 此时两边对应相等，但不是夹角对应相等，故此选项错误；

C、∵∠ADB=∠ADC， ∴， ∴△ABD≌△ACD（ASA）；
故此选项正确；

D、∵∠B=∠C， ∴， ∴△ABD≌△ACD（AAS）；
故此选项正确． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但SSA无法证明三角形全等． 　 二、填空题：（每空3分，共18分）
13．（3分）分解因式：x3﹣4x2﹣12x=　x（x+2）（x﹣6）　． 【考点】因式分解-十字相乘法等；
因式分解-提公因式法． 【分析】首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要彻底． 【解答】解：x3﹣4x2﹣12x =x（x2﹣4x﹣12）
=x（x+2）（x﹣6）． 故答案为：x（x+2）（x﹣6）． 【点评】此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识．此题比较简单，注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底． 　 14．（3分）若分式方程：有增根，则k=　1　． 【考点】分式方程的增根． 【专题】计算题． 【分析】把k当作已知数求出x=，根据分式方程有增根得出x﹣2=0，2﹣x=0，求出x=2，得出方程=2，求出k的值即可． 【解答】解：∵， 去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1， 整理得：（2﹣k）x=2， ∵分式方程有增根， ∴x﹣2=0， 解得：x=2， 把x=2代入（2﹣k）x=2得：k=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，把分式方程变成整式方程后，求出整式方程的解，若代入分式方程的分母恰好等于0，则此数是分式方程的增根，即不是分式方程的根，题目比较典型，是一道比较好的题目． 　 15．（3分）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是　∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）　．（只需填一个即可）
【考点】全等三角形的判定． 【专题】开放型． 【分析】要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加∠A=∠F，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）． 【解答】解：增加一个条件：∠A=∠F， 显然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可证三角形全等（答案不唯一）． 故答案为：∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定；
判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取． 　 16．（3分）如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A=　50　度． 【考点】三角形的外角性质；
等腰三角形的性质． 【分析】根据等角对等边的性质可得∠A=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠A+∠B=∠ACE， ∴∠A=∠ACE=×100°=50°． 故答案为：50． 【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键． 　 17．（3分）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为　2m+4　． 【考点】平方差公式的几何背景． 【专题】压轴题． 【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解． 【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x， 则4x=（m+4）2﹣m2=（m+4+m）（m+4﹣m）， 解得x=2m+4． 故答案为：2m+4． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键． 　 18．（3分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，若10+=102×（a，b为正整数），则a+b=　109　． 【考点】分式的定义． 【专题】规律型． 【分析】根据题意找出规律解答． 【解答】解：由已知得a=10，b=a2﹣1=102﹣1=99， ∴a+b=10+99=109． 【点评】本题属于找规律题目，关键是找出分母的规律，b=a2﹣1．根据题意解出未知数，代入所求代数式即可． 　 三.解答下列各题：（本题共7题，共66分）
19．（9分）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+5a2b），其中a=，b=﹣． 【考点】整式的加减—化简求值． 【分析】首先根据整式的加减运算法则将原式化简，然后把给定的值代入求值．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；
合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变． 【解答】解：原式=15a2b﹣5ab2﹣3ab2﹣15a2b=﹣8ab2， 当a=，b=﹣时，原式=﹣8××=﹣． 【点评】熟练地进行整式的加减运算，并能运用加减运算进行整式的化简求值． 　 20．（9分）给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 【考点】因式分解的应用；
整式的加减． 【专题】开放型． 【分析】本题考查整式的加法运算，找出同类项，然后只要合并同类项就可以了． 【解答】解：情况一：x2+2x﹣1+x2+4x+1=x2+6x=x（x+6）． 情况二：x2+2x﹣1+x2﹣2x=x2﹣1=（x+1）（x﹣1）． 情况三：x2+4x+1+x2﹣2x=x2+2x+1=（x+1）2． 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点． 熟记公式结构是分解因式的关键．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2． 　 21．（9分）解方程：=． 【考点】解分式方程． 【专题】计算题． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：x2+2x﹣x2+4=8， 移项合并得：2x=4， 解得：x=2， 经检验x=2是增根，分式方程无解． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 　 22．（9分）已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形． （1）求证：AD=CE；

（2）求证：AD和CE垂直． 【考点】全等三角形的判定与性质；
等腰直角三角形． 【专题】证明题． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，得出∠ABD=CBE，证出△ABD≌△CBE（SAS），得出AD=CE；

（2）△ABD≌△CBE得出∠BAD=∠BCE，再由∠BAD+∠ABC∠∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，得出∠AFC=∠ABC=90°，证出结论． 【解答】（1）证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形， ∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°， ∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC， 即∠ABD=CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD=CE；

（2）延长AD分别交BC和CE于G和F，如图所示：
∵△ABD≌△CBE， ∴∠BAD=∠BCE， ∵∠BAD+∠ABC∠∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°， 又∵∠BGA=∠CGF， ∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°， ∴∠AFC=∠ABC=90°， ∴AD⊥CE． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；
证明三角形全等是解决问题的关键． 　 23．（9分）如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】求出∠DCE=∠ACB，根据SAS证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出答案． 【解答】证明：∵∠DCA=∠ECB， ∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE， ∴∠DCE=∠ACB， ∵在△DCE和△ACB中 ， ∴△DCE≌△ACB， ∴DE=AB． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生能否运用全等三角形的性质和判定进行推理，题目比较典型，难度适中． 　 24．（9分）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；
若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 【考点】分式方程的应用． 【专题】应用题． 【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可． （2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可． 【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天， 根据题意得：（+）×15+=1． 解得：x=30． 经检验x=30是原分式方程的解． 答：这项工程的规定时间是30天． （2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）=18（天）， 则该工程施工费用是：18×（6500+3500）=180000（元）． 答：该工程的费用为180000元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答． 　 25．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，CE为△ACD的角平分线，EF⊥BC于点F，EF交CD于点G．求证：BE=CG． 【考点】全等三角形的判定与性质；
等腰三角形的性质． 【专题】证明题． 【分析】过点A作AP⊥BC于点P，求出∠BAP=∠PAC，求出∠BAP=∠PAC=∠BCD，∠ACE=∠ECD，推出2（∠BCD+∠ECD）=90°，求出∠BCE=∠FEC=45°，推出EF=FC，求出∠BEF=∠BAP=∠BCD，∠BFE=∠EFC=90°，根据ASA证出△BFE≌△GFC即可． 【解答】证明：过点A作AP⊥BC于点P，∠APB=90°， ∵AB=AC，∴∠BAP=∠PAC， ∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=180°﹣∠CDB=90°， ∵∠B+∠BAP=180°﹣∠APB=90°，∴∠BAP=∠PAC=∠BCD， ∵CE平分∠DCA，∴∠ACE=∠ECD， ∵∠APC+∠PCA+∠PAC=180°， ∴∠ACE+∠DCE+∠PCD+∠PAC=90° ∴2（∠BCD+∠ECD）=90°， ∴∠BCE=45°， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC=90° ∴∠FEC=180°﹣∠EFC﹣∠ECF=45°， ∴∠FEC=∠ECF， ∴EF=FC， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC=∠APC=90°， ∴EF∥AP， ∴∠BEF=∠BAP=∠BCD， ∵EF⊥BC， ∴∠BFE=∠EFC=90°， ∵在△BFE和△GFC中， ， ∴△BFE≌△GFC（ASA）， ∴BE=CG． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，题目的难度中等． 期末试卷（2）
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）将下列四种长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（　　）
A．2，5，8 B．3，4，5 C．2，2，4 D．1，2，3 2．（4分）下列图形是对圆的面积进行四等分的几种作图，则它们是轴对称图形的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4 3．（4分）下列运算中，正确的是（　　）
A．（a2）3=a5 B．a2•a4=a6 C．3a2÷2a=a D．（2a）2=2a2 4．（4分）若分式的值是零，则x的值是（　　）
A．x=﹣2 B．x=±3 C．2 D．x=3 5．（4分）长方形的面积为x2﹣2xy+x，其中一边长是x，则另一边长是（　　）
A．x﹣2y B．x+2y C．x﹣2y﹣1 D．x﹣2y+1 6．（4分）如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE 7．（4分）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1 8．（4分）如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（　　）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2 9．（4分）“五水共治”工程中，要挖掘一段a千米的排污管沟，如果由10个工人挖掘，要用m天完成；
如果由一台挖掘机工作，要比10个工人挖掘提前3天完成，一台挖掘机的工作效率是一个工人工作效率的（　　）
A． B． C． D． 10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P1（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，若点A1的坐标为（3，1），则点A2015的坐标为（　　）
A．（0，4）
B．（﹣3，1）
C．（0，﹣2）
D．（3，1）
　 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分 11．（5分）点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为　　． 12．（5分）因式分解：x2﹣4y2=　　． 13．（5分）等腰三角形一边等于4，另一边等于2，则周长是　　． 14．（5分）若a﹣b=5，ab=3，则a2+b2=　　． 15．（5分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”等于　　度． 16．（5分）如图，把面积为1的等边△ABC的三边分别向外延长m倍，得到△A1B1C1，那么△A1B1C1的面积是　　（用含m的式子表示）
　 三、解答题（本题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分 17．（4分）分解因式：4xy2+4x2y+y3． 18．（4分）解方程：． 19．（8分）先化简再求值：（﹣）÷，其中x=3． 20．（8分）在△ABC中，D是BC边上的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．求证：CF=BE． 21．（8分）一个等腰直角三角板如图搁置在两柜之间，且点D，C，E在同一直线上，已知稍高的柜高AD为80cm，两柜距离DE为140cm．求稍矮的柜高BE． 22．（10分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）该校打算用800元购买篮球和足球，恰好用完800元，问有哪几种购买方案？ 23．（12分）探究题：
（1）　　都相等，　　都相等的多边形叫做正多边形；

（2）如图，格点长方形MNPQ的各点分布在边长均为1的等边三角形组成的网格上，请在格点长方形MNPQ内画出一个面积最大的格点正六边形ABCDEF，并简要说明它是正六边形的理由；

（3）正六边形有　　条对角线，它的外角和为　　度． 24．（12分）阅读理解：（请仔细阅读，认真思考，灵活应用）
【例】已知实数x满足x+=4，求分式的值． 解：观察所求式子的特征，因为x≠0，我们可以先求出的倒数的值， 因为=x+3+=x++3=4+3=7 所以= 【活学活用】 （1）已知实数a满足a+=﹣5，求分式的值；

（2）已知实数x满足x+=9，求分式的值． 25．（14分）有公共顶点A的△ABD，△ACE都是的等边三角形． （1）如图1，将△ACE绕顶点A旋转，当E，C，B共线时，求∠BCD的度数；

（2）如图2，将△ACE绕顶点A旋转，当∠ACD=90°时，延长EC角BD于F， ①求证：∠DCF=∠BEF；

②写出线段BF与DF的数量关系，并说明理由． 　 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）将下列四种长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（　　）
A．2，5，8 B．3，4，5 C．2，2，4 D．1，2，3 【考点】三角形三边关系． 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可． 【解答】解：A、2+5＜8，不能组成三角形，故此选项错误；

B、3+4＞5，能组成三角形，故此选项正确；

C、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；

D、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；

故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 　 2．（4分）下列图形是对圆的面积进行四等分的几种作图，则它们是轴对称图形的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解即可． 【解答】解：第一个图形是轴对称图形；

第二个图形是轴对称图形；

第三个图形不是轴对称图形；

第四个图形是轴对称图形；

所以一共有三个轴对称图形． 故选C． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 　 3．（4分）下列运算中，正确的是（　　）
A．（a2）3=a5 B．a2•a4=a6 C．3a2÷2a=a D．（2a）2=2a2 【考点】整式的除法；
同底数幂的乘法；
幂的乘方与积的乘方． 【专题】计算题；
整式． 【分析】A、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；

B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；

C、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；

D、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式=a6，错误；

B、原式=a6，正确；

C、原式=a，错误；

D、原式=4a2，错误， 故选B 【点评】此题考查了整式的除法，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 4．（4分）若分式的值是零，则x的值是（　　）
A．x=﹣2 B．x=±3 C．2 D．x=3 【考点】分式的值为零的条件． 【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案． 【解答】解：∵分式的值是零， ∴x+2=0， 解得：x=﹣2． 故选：A． 【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键． 　 5．（4分）长方形的面积为x2﹣2xy+x，其中一边长是x，则另一边长是（　　）
A．x﹣2y B．x+2y C．x﹣2y﹣1 D．x﹣2y+1 【考点】整式的除法． 【专题】计算题；
整式． 【分析】根据面积除以一边长得到另一边长即可． 【解答】解：根据题意得：（x2﹣2xy+x）÷x=x﹣2y+1， 故选D 【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键． 　 6．（4分）如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE 【考点】全等三角形的判定． 【分析】由EB=CF，可得出EF=BC，又有∠A=∠D，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了． 【解答】解：A、添加DE=AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故A选项正确． B、添加DF∥AC，可得∠DFE=∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故B选项错误． C、添加∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项错误． D、添加AB∥DE，可得∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 　 7．（4分）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1 【考点】菱形的判定与性质；
含30度角的直角三角形． 【专题】几何图形问题． 【分析】过点P做PM∥CO交AO于M，可得∠CPO=∠POD，再结合题目推出四边形COMP为菱形，即可得PM=4，又由CO∥PM可得∠PMD=30°，由直角三角形性质即可得PD． 【解答】解：如图：过点P做PM∥CO交AO于M，PM∥CO ∴∠CPO=∠POD，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA ∴四边形COMP为菱形，PM=4 PM∥CO⇒∠PMD=∠AOP+∠BOP=30°， 又∵PD⊥OA ∴PD=PC=2． 令解：作CN⊥OA． ∴CN=OC=2， 又∵∠CNO=∠PDO， ∴CN∥PD， ∵PC∥OD， ∴四边形CNDP是长方形， ∴PD=CN=2 故选：C． 【点评】本题运用了平行线和直角三角形的性质，并且需通过辅助线求解，难度中等偏上． 　 8．（4分）如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（　　）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2 【考点】完全平方公式的几何背景． 【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案． 【解答】解：由题意可得，正方形的边长为（a+b）， 故正方形的面积为（a+b）2， 又∵原矩形的面积为4ab， ∴中间空的部分的面积=（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2． 故选C． 【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般． 　 9．（4分）
“五水共治”工程中，要挖掘一段a千米的排污管沟，如果由10个工人挖掘，要用m天完成；
如果由一台挖掘机工作，要比10个工人挖掘提前3天完成，一台挖掘机的工作效率是一个工人工作效率的（　　）
A． B． C． D． 【考点】列代数式（分式）． 【分析】此题可利用工作总量作为相等关系，借助方程解题． 【解答】解：设一台插秧机的工作效率为x，一个人工作效率为y． 则10my=（m﹣3）x． 所以=， 故选：D． 【点评】本题主要考查了列代数式的知识，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系，工程问题要有“工作效率”，“工作时间”，“工作总量”三个要素，数量关系为：工作效率×工作时间=工作总量． 　 10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P1（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，若点A1的坐标为（3，1），则点A2015的坐标为（　　）
A．（0，4）
B．（﹣3，1）
C．（0，﹣2）
D．（3，1）
【考点】规律型：点的坐标． 【分析】根据伴随点的定义，罗列出部分点A的坐标，根据点A的变化找出规律“A4n+1（3，1），A4n+2（0，4），A4n+3（﹣3，1），A4n+4（0，﹣2）（n为自然数）”，根据此规律即可解决问题． 【解答】解：观察，发现规律：A1（3，1），A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），…， ∴A4n+1（3，1），A4n+2（0，4），A4n+3（﹣3，1），A4n+4（0，﹣2）（n为自然数）． ∵2015=4×503+3， ∴点A2015的坐标为（﹣3，1）． 故选B． 【点评】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是发现规律“A4n+1（3，1），A4n+2（0，4），A4n+3（﹣3，1），A4n+4（0，﹣2）（n为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，罗列出部分点的坐标，根据点的坐标的变化发现规律是关键． 　 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分 11．（5分）点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为　（﹣3，﹣2）　． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标． 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【解答】解：点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2）． 故答案为：（﹣3，﹣2）． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 　 12．（5分）因式分解：x2﹣4y2=　（x+2y）（x﹣2y）　． 【考点】因式分解-运用公式法． 【分析】直接运用平方差公式进行因式分解． 【解答】解：x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）． 【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）． 　 13．（5分）等腰三角形一边等于4，另一边等于2，则周长是　10　． 【考点】等腰三角形的性质；
三角形三边关系． 【分析】因为等腰三角形的两边分别为4和2，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：当4为底时，其它两边都为2，2、2、4不可以构成三角形；

当4为腰时，其它两边为4和2，4、4、2可以构成三角形，周长为10， 故答案为：10． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；
对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 　 14．（5分）若a﹣b=5，ab=3，则a2+b2=　31　． 【考点】完全平方公式． 【专题】计算题；
整式． 【分析】把a﹣b=5两边平方，利用完全平方公式化简，将ab=3代入即可求出所求式子的值． 【解答】解：把a﹣b=5两边平方得：（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=25， 将ab=3代入得：a2+b2=31， 故答案为：31 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 　 15．（5分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”等于　90或60　度． 【考点】三角形内角和定理． 【分析】根据“特征角”的定义，结合直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：①“特征角”α为90°；

②“特征角”与“另一个内角”都不是直角时，设“特征角是2x”， 由题意得，x+2x=90°， 解得：x=30°， 所以，“特征角”是60°， 综上所述，这个“特征角”的度数为90°或60°． 故答案为：90或60． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 　 16．（5分）如图，把面积为1的等边△ABC的三边分别向外延长m倍，得到△A1B1C1，那么△A1B1C1的面积是　3m2+3m+1　（用含m的式子表示）
【考点】等边三角形的性质． 【分析】连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解． 【解答】解：如图，连接AA1，B1C2，BC1，如图所示：
∵把面积为1的等边△ABC的三边分别向外延长m倍， ∴△A1 AB的面积=△BC2C1 的面积=△AB1C2的面积=m×1=m， 同理：△A1B1 A的面积=△B1 C1 C2 的面积=△A1 BC1 的面积=m×m=m2， ∴△A1B1C1的面积=3m2+3m+1；

故答案为：3m2+3m+1． 【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键． 　 三、解答题（本题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分 17．（4分）分解因式：4xy2+4x2y+y3． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】首先提取公因式y，进而利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：4xy2+4x2y+y3 =y（4xy+4x2+y2）
=y（y+2x）2． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 　 18．（4分）解方程：． 【考点】解分式方程． 【专题】计算题． 【分析】观察可得2﹣x=﹣（x﹣2），所以可确定方程最简公分母为：（x﹣2），然后去分母将分式方程化成整式方程求解．注意检验． 【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2）， 得：x﹣3+（x﹣2）=﹣3， 解得x=1， 检验：x=1时，x﹣2≠0， ∴x=1是原分式方程的解． 【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根． （3）去分母时有常数项的不要漏乘常数项． 　 19．（8分）先化简再求值：（﹣）÷，其中x=3． 【考点】分式的化简求值． 【分析】先约分化简，再计算括号，最后代入化简即可． 【解答】解：原式=[﹣}× =（）× =× =﹣， 当x=3时，原式=﹣1 【点评】本题考查分式的混合运算、乘法公式等知识，解题的关键是灵活掌握分式的混合运算法则，注意简便运算，属于中考常考题型． 　 20．（8分）在△ABC中，D是BC边上的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．求证：CF=BE． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】利用CF∥BE和D是BC边的中点可以得到全等条件证明△BDE≌△CDF，从而得出结论． 【解答】证明：∵D是BC边上的中点， ∴BD=CD， 又∵CF∥BE， ∴∠E=∠CFD，∠DBE=∠FCD ∴△BDE≌△CFD， ∴CF=BE． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，难度适中． 　 21．（8分）一个等腰直角三角板如图搁置在两柜之间，且点D，C，E在同一直线上，已知稍高的柜高AD为80cm，两柜距离DE为140cm．求稍矮的柜高BE． 【考点】全等三角形的应用． 【分析】首先证明△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质可得AD=CE，DC=BE，进而可得CE的长，然后可得DC的长度，从而求出BE长． 【解答】解：由题意得：∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，AC=BC， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°， ∵∠BEC=90°， ∴∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD=∠CBE， 在△ADC和△CEB中，， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，DC=BE， ∵AD=80cm， ∴CE=80cm， ∵DE=140cm， ∴DC=60cm， ∴BE=60cm． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 　 22．（10分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）该校打算用800元购买篮球和足球，恰好用完800元，问有哪几种购买方案？ 【考点】分式方程的应用；
二元一次方程的应用． 【分析】（1）设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，根据题意可得等量关系：1500元购进的篮球个数=900元购进的足球个数，由等量关系可得方程，再求解即可；

（2）设恰好用完800元，可购买篮球m个和购买足球n个，根据题意可得篮球的单价×篮球的个数m+足球的单价×足球的个数n=800，再求出整数解即可得出答案． 【解答】解：设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，由题意得：
=， 解得：x=60， 经检验：x=60是原分式方程的解， 则x+40=100， 答：篮球和足球的单价各是100元，60元；

（2）设恰好用完800元，可购买篮球m个和购买足球n个， 由题意得：100m+60n=800， 整理得：m=8﹣n， ∵m、n都是正整数， ∴①n=5时，m=5，②n=10时，m=2；

∴有两种方案：
①购买篮球5个，购买足球5个；

②购买篮球2个，购买足球10个． 【点评】此题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 　 23．（12分）探究题：
（1）　各个角　都相等，　各条边　都相等的多边形叫做正多边形；

（2）如图，格点长方形MNPQ的各点分布在边长均为1的等边三角形组成的网格上，请在格点长方形MNPQ内画出一个面积最大的格点正六边形ABCDEF，并简要说明它是正六边形的理由；

（3）正六边形有　9　条对角线，它的外角和为　360　度． 【考点】正多边形和圆． 【分析】（1）直接用正多边形的定义得出结论即可；

（2）用网格线的特征和正六边形的性质，画出图形即可；

（3）根据多边形的对角线条数的确定方法和多边形的外角和定理即可． 【解答】解：（1）由正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形；

故答案为：各个角；
各条边；

（2）如图， ∵AB=2，BC=2，CD=2，DE=2，EF=2，FA=2， ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA， ∵网格是等边三角形的网格， ∴∠FAB=2×60°=120°， 同理：∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°， ∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°， ∴六边形ABCDEFA是正六边形． 最大面积为24；

（3）正六边形的对角线条数为=9， ∵多边形的外角和是360°， ∴正六边形的外角和为360°， 故答案为：9；
360°． 【点评】此题是正多边形和圆，主要考查了正多边形的定义，正六边形的性质，网格线的特点，多边形的对角线的确定和多边形的外角和定理，解本题的关键掌握正六边形的性质． 　 24．（12分）阅读理解：（请仔细阅读，认真思考，灵活应用）
【例】已知实数x满足x+=4，求分式的值． 解：观察所求式子的特征，因为x≠0，我们可以先求出的倒数的值， 因为=x+3+=x++3=4+3=7 所以= 【活学活用】 （1）已知实数a满足a+=﹣5，求分式的值；

（2）已知实数x满足x+=9，求分式的值． 【考点】分式的值． 【专题】阅读型；
分式． 【分析】（1）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；

（2）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）∵a+=﹣5， ∴=3a+5+=3（a+）+5=﹣15+5=﹣10；

（2）∵x+=9， ∴x+1≠0，即x≠﹣1， ∴x+1+=10， ∵==x+1++3=10+3=13， ∴=． 【点评】此题考查了分式的值，将所求式子就行适当的变形是解本题的关键． 　 25．（14分）有公共顶点A的△ABD，△ACE都是的等边三角形． （1）如图1，将△ACE绕顶点A旋转，当E，C，B共线时，求∠BCD的度数；

（2）如图2，将△ACE绕顶点A旋转，当∠ACD=90°时，延长EC角BD于F， ①求证：∠DCF=∠BEF；

②写出线段BF与DF的数量关系，并说明理由． 【考点】三角形综合题． 【分析】（1）先由等边三角形得出AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，从而判断出∠DAC=∠BAE，得到△DAC≌△BAE，最后用平角的定义即可；

（2）①同（1）的方法判断出△DAC≌△BAE，再用直角三角形的性质即可；

②作出辅助线，利用①的结论即可得出DF=BF． 【解答】解：∵△ABD，ACE都是等边三角形， ∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，AD=AB，AC=AE ∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠BAE=∠CAE+∠BAC， ∴∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中， ∴△DAC≌△BAE， ∴∠ACD=∠E=60°， ∵E，C，B共线， ∴∠BCD=180°﹣∠ACD﹣∠ACE=60°；

（2）①∵△ABD，ACE都是等边三角形， ∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，AD=AB，AC=AE ∵∠DAC=∠DAB﹣∠BAC，∠BAE=∠CAE﹣∠BAC， ∴∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中， ∴△DAC≌△BAE， ∴∠AEB=∠ACD=90°， ∴∠BEC=∠AEB﹣∠AEC=90°﹣60°=30°， ∵∠DCF=180°﹣∠ACD﹣∠ACE=30°， ∴∠DCF=∠BEF；

②DF=BF， 理由：如图， 在EF上取一点G，使BG=BF， ∴∠GFB=∠FGB， ∴∠DFC=∠BGE， 由（1）知，△DAC≌△BAE，CD=EB， ∠DCF=∠BEC， ∴△DCF≌△BGE， ∴DF=BG， ∴DF=BF． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解本题的关键是∠DAC=∠BAE． 期末试卷（3）
一、选择题：（每题2分，共20分）
1．（2分）下列说法中正确的是（　　）
A．两个直角三角形全等 B．两个等腰三角形全等 C．两个等边三角形全等 D．两条直角边对应相等的直角三角形全等 2．（2分）下列各式中，正确的是（　　）
A．y3•y2=y6 B．（a3）3=a6 C．（﹣x2）3=﹣x6 D．﹣（﹣m2）4=m8 3．（2分）计算（x﹣3y）（x+3y）的结果是（　　）
A．x2﹣3y2 B．x2﹣6y2 C．x2﹣9y2 D．2x2﹣6y2 4．（2分）如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．2.5 5．（2分）若2a3xby+5与5a2﹣4yb2x是同类项，则（　　）
A． B． C． D． 6．（2分）如图图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2分）若分式的值为零，则x的值是（　　）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．4 8．（2分）如图在△ABC中，AB=AC，D，E在BC上，BD=CE，图中全等三角形的对数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2分）满足下列哪种条件时，能判定△ABC与△DEF全等的是（　　）
A．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D B．AB=DE，BC=EF，∠C=∠F C．AB=DE，BC=EF，∠A=∠E D．∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E 10．（2分）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（　　）
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm 　 二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）当a　　时，分式有意义． 12．（3分）计算：3x2•（﹣2xy3）=　　，（3x﹣1）（2x+1）=　　． 13．（3分）多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m=　　． 14．（3分）若a+b=4，ab=3，则a2+b2=　　． 15．（3分）用科学记数法表示0.00000012为　　． 16．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠ABD=　　． 17．（3分）线段AB=4cm，P为AB中垂线上一点，且PA=4cm，则∠APB=　　度． 18．（3分）若实数x满足，则的值=　　． 19．（3分）某市在“新课程创新论坛”活动中，对收集到的60篇”新课程创新论文”进行评比，将评比成级分成五组画出如图所示的频数分布直方图．由直方图可得，这次评比中被评为优秀的论文有　　篇．（不少于90分者为优秀）
20．（3分）如图，一个矩形（向左右方向）推拉窗，窗高1.55米，则活动窗扇的通风面积S（平方米）与拉开长度b（米）的关系式是　　． 　 三、解答题（共50分）
21．（6分）分解因式 （1）a3﹣ab2 （2）a2+6ab+9b2． 22．（8分）解方程：
（1）
（2）． 23．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=3． 24．（6分）如图， （1）画出△ABC关于Y轴的对称图形△A1B1C1；

（2）请计算△ABC的面积；

（3）直接写出△ABC关于X轴对称的三角形△A2B2C2的各点坐标． 25．（7分）如图，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上的一点，求证：BD=CD． 26．（7分）如图，AB=DC，AC=BD，AC、BD交于点E，过E点作EF∥BC交CD于F． 求证：∠1=∠2． 27．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G． 求证：（1）DF∥BC；
（2）FG=FE． 　 参考答案与试题解析 一、选择题：（每题2分，共20分）
1．（2分）下列说法中正确的是（　　）
A．两个直角三角形全等 B．两个等腰三角形全等 C．两个等边三角形全等 D．两条直角边对应相等的直角三角形全等 【考点】全等三角形的判定． 【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、两个直角三角形只能说明有一个直角相等，其他条件不明确，所以不一定全等，故本选项错误；

B、两个等腰三角形，腰不一定相等，夹角也不一定相等，所以不一定全等，故本选项错误；

C、两个等边三角形，边长不一定相等，所以不一定全等，故本选项错误；

D、它们的夹角是直角相等，可以根据边角边定理判定全等，正确． 故选D． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 　 2．（2分）下列各式中，正确的是（　　）
A．y3•y2=y6 B．（a3）3=a6 C．（﹣x2）3=﹣x6 D．﹣（﹣m2）4=m8 【考点】幂的乘方与积的乘方；
同底数幂的乘法． 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；
幂的乘方，底数不变指数相乘；
对各选项计算后利用排除法求解． 【解答】解：A、应为y3•y2=y5，故本选项错误；

B、应为（a3）3=a9，故本选项错误；

C、（﹣x2）3=﹣x6，正确；

D、应为﹣（﹣m2）4=﹣m8，故本选项错误． 故选C． 【点评】本题考查同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键． 　 3．（2分）计算（x﹣3y）（x+3y）的结果是（　　）
A．x2﹣3y2 B．x2﹣6y2 C．x2﹣9y2 D．2x2﹣6y2 【考点】平方差公式． 【分析】直接利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（x﹣3y）（x+3y）， =x2﹣（3y）2， =x2﹣9y2． 故选C． 【点评】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 　 4．（2分）如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．2.5 【考点】全等三角形的性质． 【专题】计算题． 【分析】根据全等三角形性质求出AC，即可求出答案． 【解答】解：∵△ABE≌△ACF，AB=5， ∴AC=AB=5， ∵AE=2， ∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3， 故选B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 　 5．（2分）若2a3xby+5与5a2﹣4yb2x是同类项，则（　　）
A． B． C． D． 【考点】同类项；
解二元一次方程组． 【分析】根据同类项的定义，即所含字母相同，且相同字母的指数也相同，相同字母的指数也相同，可先列出关于m和n的二元一次方程组，再解方程组求出它们的值． 【解答】解：由同类项的定义，得 ， 解得． 故选：B． 【点评】同类项定义中的两个“相同”：
（1）所含字母相同；

（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 解题时注意运用二元一次方程组求字母的值． 　 6．（2分）如图图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】中心对称图形；
轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：第一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形， 第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形， 第三个图形不是轴对称图形，是中心对称图形， 第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形， 故选：B． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 　 7．（2分）若分式的值为零，则x的值是（　　）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．4 【考点】分式的值为零的条件． 【专题】计算题． 【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0． 【解答】解：由x2﹣4=0，得x=±2． 当x=2时，x2﹣x﹣2=22﹣2﹣2=0，故x=2不合题意；

当x=﹣2时，x2﹣x﹣2=（﹣2）2﹣（﹣2）﹣2=4≠0． 所以x=﹣2时分式的值为0． 故选C． 【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点． 　 8．（2分）如图在△ABC中，AB=AC，D，E在BC上，BD=CE，图中全等三角形的对数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】全等三角形的判定． 【分析】根据AB=AC，得∠B=∠C，再由BD=CE，得△ABD≌△ACE，进一步推得△ABE≌△ACD 【解答】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 又BD=CE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）， ∴∠AEB=∠ADC， ∴△ABE≌△ACD（AAS）． 故选C． 【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． 　 9．（2分）满足下列哪种条件时，能判定△ABC与△DEF全等的是（　　）
A．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D B．AB=DE，BC=EF，∠C=∠F C．AB=DE，BC=EF，∠A=∠E D．∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E 【考点】全等三角形的判定． 【分析】根据判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．逐条判断即可． 【解答】解：A、边不是两角的夹边，不符合ASA；

B、角不是两边的夹角，不符合SAS；

C、角不是两边的夹角，不符合SAS；

D、符合ASA能判定三角形全等；

仔细分析以上四个选项，只有D是正确的． 故选：D． 【点评】重点考查了全等三角形的判定．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 　 10．（2分）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（　　）
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】求△ABC的周长，已经知道AE=3cm，则知道AB=6cm，只需求得BC+AC即可，根据线段垂直平分线的性质得AD=BD，于是BC+AC等于△ADC的周长，答案可得． 【解答】解：∵AB的垂直平分AB， ∴AE=BE，BD=AD， ∵AE=3cm，△ADC的周长为9cm， ∴△ABC的周长是9+2×3=15cm， 故选：C． 【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．对线段进行等效转移时解答本题的关键． 　 二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）当a　≠﹣　时，分式有意义． 【考点】分式有意义的条件． 【分析】根据分式有意义的条件可得2a+3≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：2a+3≠0， 解得：a≠﹣， 故答案为：≠﹣． 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 　 12．（3分）计算：3x2•（﹣2xy3）=　﹣6x3y3　，（3x﹣1）（2x+1）=　6x2+x﹣1　． 【考点】多项式乘多项式；
单项式乘多项式． 【分析】第一题按单项式乘单项式的法则计算， 第二题按多项式乘多项式的法则计算． 【解答】解：3x2•（﹣2xy3）=﹣6x3y3， （3x﹣1）（2x+1）=6x2+3x﹣2x﹣1=6x2+x﹣1． 【点评】本题主要考查了单项式乘单项式、多项式乘多项式的运算，要熟练掌握单项式乘单项式的法则和多项式乘多项式的法则． 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式． 多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 　 13．（3分）多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m=　±8　． 【考点】完全平方式． 【分析】根据完全平方公式结构特征，这里首尾两数是x和8的平方，所以中间项为加上或减去它们乘积的2倍． 【解答】解：∵x2+2mx+64是完全平方式， ∴2mx=±2•x•8， ∴m=±8． 【点评】本题是完全平方公式的应用，要熟记完全平方公式的结构特征：两数的平方和，再加上或减去它们乘积的2倍，为此应注意积的2倍有符号有正负两种，避免漏解． 　 14．（3分）若a+b=4，ab=3，则a2+b2=　10　． 【考点】完全平方公式． 【专题】计算题． 【分析】首先根据完全平方公式将a2+b2用（a+b）与ab的代数式表示，然后把a+b，ab的值整体代入求值． 【解答】解：∵a+b=4，ab=3， ∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab， =42﹣2×3， =16﹣6， =10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了完全平方公式，关键是要熟练掌握完全平方公式的变形，做到灵活运用． 　 15．（3分）用科学记数法表示0.00000012为　1.2×10﹣7　． 【考点】科学记数法—表示较小的数． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.00000012=1.2×10﹣7． 故答案为1.2×10﹣7． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 　 16．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠ABD=　36°　． 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】设∠ABD=x，根据等边对等角的性质求出∠A，∠C=∠BDC=∠ABC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和用x表示出∠C，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【解答】解：设∠ABD=x， ∵BC=AD， ∴∠A=∠ABD=x， ∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC， 根据三角形的外角性质，∠BDC=∠A+∠ABD=2x， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠=180°， 即x+2x+2x=180°， 解得x=36°， 即∠ABD=36°． 故答案为：36°． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，主要利用了等边对等角的性质，三角形的内角和定理，三角形外角性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 　 17．（3分）线段AB=4cm，P为AB中垂线上一点，且PA=4cm，则∠APB=　60　度． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等和30°的角所对的直角边是斜边的一半解答． 【解答】解：如图，因为PC⊥AB 则∠ACP=90° 又因为AC=BC 则AC=AB=×4=2cm 在Rt△PAC中，∠APC=30° 所以∠APB=2×30°=60°． 【点评】本题主要考查了线段的垂直平分线上的性质和30°的角所对的直角边是斜边的一半． 　 18．（3分）若实数x满足，则的值=　7　． 【考点】完全平方公式． 【专题】计算题． 【分析】先根据完全平方公式变形得到x2+=（x+）2﹣2，然后把满足代入计算即可． 【解答】解：x2+ =（x+）2﹣2 =32﹣2 =7． 故答案为7． 【点评】本题考查了完全平方公式：（x±y）2=x2±2xy+y2．也考查了代数式的变形能力以及整体思想的运用． 　 19．（3分）某市在“新课程创新论坛”活动中，对收集到的60篇”新课程创新论文”进行评比，将评比成级分成五组画出如图所示的频数分布直方图．由直方图可得，这次评比中被评为优秀的论文有　15　篇．（不少于90分者为优秀）
【考点】频数（率）分布直方图． 【专题】图表型． 【分析】根据题意可得不少于90分者为优秀，读图可得分数低于90分的作文篇数．再根据作文的总篇数为60，计算可得被评为优秀的论文的篇数． 【解答】解：由图可知：优秀作文的频数=60﹣3﹣9﹣21﹣12=15篇；
故答案为15． 【点评】本题属于统计内容，考查分析频数分布直方图和频数的求法．解本题要懂得频率分布直分图的意义，了解频率分布直分图是一种以频数为纵向指标的条形统计图． 　 20．（3分）如图，一个矩形（向左右方向）推拉窗，窗高1.55米，则活动窗扇的通风面积S（平方米）与拉开长度b（米）的关系式是　S=1.55　． 【考点】列代数式． 【分析】通风面积是拉开长度与窗高的乘积． 【解答】解：活动窗扇的通风面积S米2）与拉开长度b（米）的关系是S=1.55b． 故答案是：S=1.55． 【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 　 三、解答题（共50分）
21．（6分）分解因式 （1）a3﹣ab2 （2）a2+6ab+9b2． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】（1）直接提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案；

（2）直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：（1）a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）；

（2）a2+6ab+9b2=（a+3b）2． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键． 　 22．（8分）解方程：
（1）
（2）． 【考点】解分式方程． 【专题】计算题． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）去分母得：x+3=4x， 解得：x=1， 经检验x=1是分式方程的解；

（2）去分母得：x﹣3+2x+6=12， 移项合并得：3x=9， 解得：x=3， 经检验x=3是增根，分式方程无解． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 　 23．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=3． 【考点】分式的化简求值． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x=3代入计算可得． 【解答】解：原式=[﹣]• =• =， 当x=3时，原式==3． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 　 24．（6分）如图， （1）画出△ABC关于Y轴的对称图形△A1B1C1；

（2）请计算△ABC的面积；

（3）直接写出△ABC关于X轴对称的三角形△A2B2C2的各点坐标． 【考点】作图-轴对称变换． 【分析】（1）从三角形的各点向对称轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接即可；

（2）先求出三角形各边的长，得出这是一个直角三角形，再根据面积公式计算；

（3）利用轴对称图形的性质可得． 【解答】解：（1）如图 （2）根据勾股定理得AC==， BC=，AB=， 再根据勾股定理可知此三角形为直角三角形， 则s△ABC=；

（3）根据轴对称图形的性质得：A2（﹣3，﹣2），B2（﹣4，3），C2（﹣1，1）． 【点评】做轴对称图形的关键是找出各点的对应点，然后顺次连接． 　 25．（7分）如图，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上的一点，求证：BD=CD． 【考点】角平分线的性质． 【分析】先利用HL判定Rt△PAB≌Rt△PAC，得出∠APB=∠APC，再利用SAS判定△PBD≌△PCD，从而得出BD=CD． 【解答】证明：∵PB⊥BA，PC⊥CA， 在Rt△PAB，Rt△PAC中， ∵PB=PC，PA=PA， ∴Rt△PAB≌Rt△PAC， ∴∠APB=∠APC， 又D是PA上一点，PD=PD，PB=PC， ∴△PBD≌△PCD， ∴BD=CD． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 　 26．（7分）如图，AB=DC，AC=BD，AC、BD交于点E，过E点作EF∥BC交CD于F． 求证：∠1=∠2． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】根据AB=DC，AC=BD可以联想到证明△ABC≌△DCB，可得∠DBC=∠ACB，从而根据平行线的性质证得∠1=∠2． 【解答】证明：∵AB=DC，AC=BD，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB． ∴∠DBC=∠ACB． ∵EF∥BC， ∴∠1=∠DBC，∠2=∠ACB． ∴∠1=∠2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；
由全等得对应角相等是一种很重要的方法，也是解决本题的关键． 　 27．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G． 求证：（1）DF∥BC；
（2）FG=FE． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，从而得到对应角相等，再根据同位角相等两直线平行，得到DF∥BC；

（2）已知DF∥BC，AC⊥BC，则GF⊥AC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到FG=EF． 【解答】（1）证明：∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠DAF． 在△ACF和△ADF中， ∵， ∴△ACF≌△ADF（SAS）． ∴∠ACF=∠ADF． ∵∠ACB=90°，CE⊥AB， ∴∠ACE+∠CAE=90°，∠CAE+∠B=90°， ∴∠ACF=∠B， ∴∠ADF=∠B． ∴DF∥BC． ②证明：∵DF∥BC，BC⊥AC，∴FG⊥AC． ∵FE⊥AB， 又AF平分∠CAB， ∴FG=FE． 【点评】此题考查了学生以全等三角形的判定及平行线的判定的理解及掌握． 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 人教版数学八年级上册期末达标检测卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是(　　) 2．使分式有意义的x的取值范围是(　　) A．x≥ B．x≤ C．x＞ D．x≠ 3．已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠OAD＝(　　) A．95° B．85° C．75° D．65° 4．设M＝(x－3)(x－7)，N＝(x－2)(x－8)，则M与N的关系为(　　) A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定 5．下列说法：①满足a＋b＞c的a，b，c三条线段一定能组成三角形；
②三角形的三条高一定交于三角形内一点；
③三角形的外角大于它的任何一个内角．其中错误的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，且AD＝AE，点O是BD和CE的交点，则：①△ABD≌△ACE；
②△BOE≌△COD；
③点O在∠BAC的平分线上，以上结论(　　) A．都正确 B．都不正确 C．只有一个正确 D．只有一个不正确 7．已知2m＋3n＝5，则4m·8n＝(　　) A．16 B．25 C．32 D．64 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于点D，E，则∠BAE＝(　　) A．80° B．60° C．50° D．40° 9．甲地到乙地之间的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由甲地到乙地的行驶时间缩短了1.5小时，设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是(　　) A.－1.8＝ B.＋1.8＝ C.＋1.5＝ D.－1.5＝ 10．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于点D，则DE的长为(　　) A. B. C. D．不能确定 二、填空题(每题3分，共30分) 11．(1)分解因式：ax2－2ax＋a＝________；

(2)计算：÷＝________． 12．若x2＋bx＋c＝(x＋5)(x－3)，其中b，c为常数，则点P(b，c)关于y轴对称的点的坐标是________． 13．化简＋的结果是________． 14．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝________．
15．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点D在线段BE上．若∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝______． 16．将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形．已知∠CEB′＝50°，则∠B′AD的度数为________． 17．如图，已知正六边形ABCDEF的边长是5，点P是AD上的一动点，则PE＋PF的最小值是________． 18．一张纸的厚度约为0.000 008 57米，用科学记数法表示其结果是_______米． 19．若关于x的方程－1＝0无解，则a的值为________． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点共有________个． 三、解答题(23题6分，24题10分，27题12分，其余每题8分，共60分) 21．计算：(1)x(x－2y)－(x＋y)2；

(2)÷. 22．(1)先化简，再求值：(2＋a)(2－a)＋a(a－2b)＋3a5b÷(－a2b)4，其中ab＝－. (2)因式分解：a(n－1)2－2a(n－1)＋a. 23．解方程：
(1)＝＋1；
　　　　　　　　　　(2)＝－. 24．如图，已知网格上最小的正方形的边长为1. (1)分别写出A，B，C三点的坐标；

(2)作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(不写作法)，想一想：关于y轴对称的两个点之间有什么关系？ (3)求△ABC的面积． 25．如图，△ABC为等边三角形，D是BC延长线上一点，连接AD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE，用你学过的知识探索AC，CD，CE三条线段的长度的关系．试写出证明过程． 26．甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍． (1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米；

(2)若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？ 27．如图①，在四边形ABCD中，已知∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE.　 (1)求证：△ABC≌△ADE；

(2)求证：CA平分∠BCD；

(3)如图②，若AF是△ABC的边BC上的高，求证：CE＝2AF. 答案 一、1．A　2．D　3．B　4．B　5．D　6．A　7．C　8．D　9．D 10．B　点拨：过点P作PF∥BC交AC于点F.由△ABC为等边三角形，易得△APF也是等边三角形，∴AP＝PF.∵AP＝CQ，∴PF＝CQ.又PF∥CQ，∴∠DPF＝∠DQC，∠DFP＝∠DCQ，∴△PFD≌△QCD.∴DF＝DC.∵PE⊥AF，且PF＝PA，∴AE＝EF.∴DE＝DF＋EF＝CF＋AF＝AC＝×1＝. 二、11．(1)a(x－1)2　(2) 12．(－2，－15) 13． 14．132°　15．55°　16．40° 17．10　点拨：利用正多边形的性质可得点F关于直线AD的对称点为点B，连接BE交AD于点P′，连接FP′，那么有P′B＝P′F.所以P′E＋P′F＝P′E＋P′B＝BE.当点P与点P′重合时，PE＋PF的值最小，最小值为BE的长．易知△AP′B和△EP′F均为等边三角形，所以P′B＝P′E＝5，所以BE＝10.所以PE＋PF的最小值为10. 18．8.57×10－6 19．－3或1　点拨：将方程－1＝0去分母，得ax＋3－(x－1)＝0，整理，得(a－1)x＝－4.∵关于x的方程－1＝0无解，∴可将x＝1代入方程(a－1)x＝－4，得a－1＝－4，解得a＝－3；
或a－1＝0，解得a＝1.因此a的值为－3或1. 20．6 三、21．解：(1)原式＝x2－2xy－x2－2xy－y2＝－4xy－y2. (2)原式＝·＝·＝. 22．解：(1)原式＝4－a2＋a2－2ab＋3a5b÷a8b4＝4－2ab＋3a－3b－3.当ab＝－时，原式＝4－2×＋3×＝4＋1－＝5－24＝－19. (2)原式＝a[(n－1)2－2(n－1)＋1]＝a(n－1－1)2＝a(n－2)2. 23．解：(1)方程两边乘x2－1，得x(x＋1)＝3(x－1)＋x2－1， 解得x＝2. 检验：当x＝2时，x2－1≠0. ∴原分式方程的解为x＝2；

(2)去分母，得2(x＋1)＝6(2x－1)－4(2x＋1)， 去括号，得2x＋2＝12x－6－8x－4， 解得x＝6. 经检验x＝6是分式方程的解． ∴原分式方程的解为x＝6. 24．解：(1)A(－3，3)，B(－5，1)，C(－1，0)． (2)图略，关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等(两点连线被y轴垂直平分)． (3)S△ABC＝3×4－×2×3－×2×2－×4×1＝5. 25．解：CE＝AC＋CD. 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°. 又∵△ADE为等边三角形， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE.∵AC＝BC，∴BD＝BC＋CD＝AC＋CD，∴CE＝AC＋CD. 26．解：(1)设甲工程队每天修路x千米，则乙工程队每天修路(x－0.5)千米． 根据题意，得1.5×＝， 解得x＝1.5. 经检验，x＝1.5是原分式方程的解，且符合题意，则x－0.5＝1. 答：甲工程队每天修路1.5千米，乙工程队每天修路1千米． (2)设甲工程队修路a天，则乙工程队需要修路(15－1.5a)千米， ∴乙工程队需要修路＝(15－1.5a)(天)． 由题意可得0.5a＋0.4(15－1.5a)≤5.2， 解得a≥8， 答：甲工程队至少修路8天． 27．证明：(1)∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADE＋∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADE. 在△ABC与△ADE中， ∴△ABC≌△ADE. (2)∵△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，∠BCA＝∠E， ∴∠ACD＝∠E， ∴∠BCA＝∠ACD，即CA平分∠BCD. (3)如图，过点A作AM⊥CE，垂足为点M. ∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA＝∠ACD， ∴AF＝AM. ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠CAE＝∠CAD＋∠DAE＝∠CAD＋∠BAC＝∠BAD＝90°， ∴∠ACE＝∠E＝45°. ∵AM⊥CE， ∴M为CE的中点． ∴CM＝AM＝ME. 又∵AF＝AM， ∴CE＝2AM＝2AF. 期末达标测试卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列运算正确的是(　　) A．a·a2＝a2 B．(a5)3＝a8 C．(ab)3＝a3b3 D．a6÷a2＝a3 2．下列长度的三条线段，不能构成三角形的是(　　) A．3，3，3 B．3，4，5 C．5，6，10 D．4，5，9 3．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000 000 076 g．将数0.000 000 076用科学记数法表示为(　　) A．7.6×10－9 B．7.6×10－8 C．7.6×109 D．7.6×108 4．在如图所示的4个汽车标志图案中，属于轴对称图形的有(　　) (第4题) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．化简＋的结果是(　　) A．x＋1 B. C．x－1 D. 6．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC等于(　　) A．100° B．110° C．120° D．150° (第6题)　　　　　 (第9题) 7．下列各式中，计算结果是x2＋7x－18的是(　　) A．(x－1)(x＋18) B．(x＋2)(x＋9) C．(x－3)(x＋6) D．(x－2)(x＋9) 8．已知y2＋10y＋m是完全平方式，则m的值是 (　　) A．25 B．±25 C．5 D．±5 9．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB边上的点E处．若BC＝24，∠B＝30°，则DE的长是(　　) A．12 B．10 C．8 D．6 10．施工队要铺设一段长2 000 m的管道，因在中考期间需要停工两天，实际每天施工需要比原计划多50 m，才能按时完成任务．求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x m，则根据题意所列方程正确的是(　　) A.－＝2 B.－＝2 C.－＝2 D.－＝2 二、填空题(每题3分，共24分) 11．若式子＋(x－4)0有意义，则实数x的取值范围是______________． 12．分解因式：xy－xy3＝________________． 13．一个多边形的每个内角都是150°，这个多边形是________边形． 14．如图，在△ABC和△DEF中，已知CB＝DF，∠C＝∠D，要使△ABC≌△EFD，还需添加一个条件，那么这个条件可以是____________． (第14题)　　 　 (第15题)　
(第18题) 15．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，已知∠CEB′＝50°，则∠AEB′的度数为________． 16．计算：(2a＋b)(2a－b)＋b(2a＋b)－8a2b÷2b＝________． 17．已知点P(1－a，a＋2)关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是____________． 18．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，交AD于F，FG∥BC，FH∥AC.下列结论：①AE＝AF；
②AF＝FH；
③AG＝CE；
④AB＋FG＝BC. 其中正确的结论有____________(填序号)． 三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分) 19．先化简，再求值：÷，其中x＝－3. 20. 解分式方程：－1＝. 21．如图，已知EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.求证∠B＝∠D. (第21题) 22．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，点A的坐标为(－3，2)．请按要求分别完成下列各题：
(1)把△ABC向下平移7个单位长度，再向右平移7个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；

(2)画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2；
画出△A1B1C1关于y轴对称的△A3B3C3；

(3)求△ABC的面积． (第22题) 23．如图，在△ABC中，AB＝BC ，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于点F. (1)若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；

(2)若点F是AC的中点，求证∠CFD＝∠B. (第23题) 24．新冠肺炎疫情期间，某商店老板第一次用1 000元购进了一批口罩，很快销售完毕；
第二次购进时发现每个口罩的进价比第一次上涨了2.5元．老板用2 500元购进了第二批口罩，所购进口罩的数量是第一次购进口罩数量的2倍，同样很快销售完毕，两批口罩的售价均为每个15元． (1)第二次购进了多少个口罩？ (2)商店老板第一次购进的口罩有3%的损耗，第二次购进的口罩有5%的损耗，商店老板销售完这些口罩后是盈利还是亏本？盈利或亏本多少元？ 25．(1)在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A，B分别是y轴、x轴上的两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E. ①如图①，已知点C的横坐标为－1，求点A的坐标；

②如图②，当点D恰好为AC中点时，连接DE，求证∠ADB＝∠CDE. (2)如图③，点A在x轴上，且A(－4，0)，点B在y轴的正半轴上，分别以OB，AB为直角边在第一、二象限作等腰直角三角形BOD和等腰直角三角形ABC且∠OBD＝90°，∠ABC＝90°，连接CD交y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化，请说明理由；
若不变化，请求出BP的长． (第25题) 答案 一、1.C　2.D　3.B　4.B　5.A　6.C 7．D　8.A　9.C　10.A　 二、11.x≠3且x≠4　12.xy(1＋y)(1－y) 13．十二　14.AC＝ED(答案不唯一) 15．65°　16.2ab　17.－2＜a＜1 18．①②③④ 三、19.解：÷＝÷＝÷＝·＝. 当x＝－3时，原式＝＝＝2. 20．解：方程两边同时乘(x＋2)(x－2)， 得x(x＋2)－(x＋2)(x－2)＝8. 去括号，得x2＋2x－x2＋4＝8. 移项、合并同类项，得2x＝4. 系数化为1，得x＝2. 检验：当x＝2时，(x＋2)(x－2)＝0，即x＝2不是原分式方程的解． 所以原分式方程无解． 21．证明：∵∠BCE＝∠DCA， ∴∠BCE＋∠ACE＝∠DCA＋∠ACE， 即∠ACB＝∠ECD. 在△ACB和△ECD中， ∴△ACB≌△ECD(ASA)． ∴∠B＝∠D. 22．解：(1)如图所示． (第22题) (2)如图所示． (3)S△ABC＝2×3－×2×1－×1×2－×1×3＝6－1－1－＝. 23．(1)解：∵∠AFD＝155°， ∴∠DFC＝25°. ∵DF⊥BC，DE⊥AB， ∴∠FDC＝∠AED＝90°. ∴∠C＝180°－90°－25°＝65°. ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C＝65°. ∴∠EDF＝360°－65°－155°－90°＝50°. (2)证明：如图，连接BF. (第23题) ∵AB＝BC，且点F是AC的中点， ∴BF⊥AC, ∠ABF＝∠CBF＝∠ABC. ∴∠CFD＋∠BFD＝90°. ∵FD⊥BC， ∴∠CBF＋∠BFD＝90°. ∴∠CFD＝∠CBF. ∴∠CFD＝∠ABC. 24．解：(1)设第一次购进了x个口罩． 依题意，得＝－2.5， 解得x＝100. 经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意． 则2x＝2×100＝200. 答：第二次购进了200个口罩． (2)[100(1－3%)＋200(1－5%)]×15－1 000－2 500＝805(元)． 答：商店老板销售完这些口罩后盈利，盈利805元． 25．(1)①解：如图①，过点C作CF⊥y轴于点F，则∠CAF＋∠ACF＝90°. ∵∠BAC＝90°， 即∠BAO＋∠CAF＝90°， ∴∠ACF＝∠BAO. 又∵∠AFC＝∠BOA＝90°，AC＝BA， ∴△AFC≌△BOA(AAS)． ∴CF＝AO＝1. ∴点A的坐标是(0，1)． ②证明：如图②，过点C作CG⊥AC，交y轴于点G. ∵CG⊥AC，∴∠ACG＝90°. ∴∠CAG＋∠AGC＝90°. ∵∠AOD＝90°， ∴∠ADO＋∠DAO＝90°. ∴∠AGC＝∠ADO. 又∵∠ACG＝∠BAD＝90°，AC＝BA， ∴△ACG≌△BAD(AAS)． ∴CG＝AD＝CD. ∵∠ACB＝45°，∠ACG＝90°， ∴∠DCE＝∠GCE＝45°. 又∵CD＝CG，CE＝CE， ∴△DCE≌△GCE(SAS)． ∴∠CDE＝∠CGE. ∴∠ADB＝∠CDE. (第25题) (2)解：BP的长度不变． 如图③，过点C作CE⊥y轴于点E. ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBE＋∠ABO＝90°. ∵∠BAO＋∠ABO＝90°， ∴∠CBE＝∠BAO. ∵∠CEB＝∠AOB＝90°，AB＝BC， ∴△CBE≌△BAO(AAS)． ∴CE＝BO，BE＝AO＝4. ∵BD＝BO， ∴CE＝BD. ∵∠CEP＝∠DBP＝90°， ∠CPE＝∠DPB， ∴△CPE≌△DPB(AAS)． ∴BP＝EP＝2.