高中数学专题2.14,等或不等解存在，转化值域可实现（解析版）
时间：2020-09-09 11:01:23 来源：达达文档网 本文已影响 人 
【题型综述】 导数研究方程的根或不等式的解集 利用导数探讨方程解的存在性，通常可将方程转化为，通过确认函数或的值域，从而确定参数或变量的范围；
类似的，对于不等式，也可仿效此法． [来源:Zxxk.Com] 【典例指引】 例1．已知函数． （1）若关于的方程在上有解，求实数的最大值；
（2）是否存在，使得成立？若存在，求出，若不存在，说明理由；
【思路引导】 （1）方程在上有解，等价于有解，只需求的最大值即可；
（2）假设存在，可推导出矛盾，即可证明不存在．[来源:学。科。网Z。X。X。K] 例2．已知函数的最大值为， 的图象关于轴对称． (Ⅰ)求实数的值；
[来源:Z*xx*k.Com] (Ⅱ)设，是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；
若不存在，请说明理由． 【思路引导】 (Ⅰ) 由题意得，可得在上单调递增，在上单调递减，可得的最大值为，可得。由的图象关于轴对称，可得。
(Ⅱ)由题知，则，从而可得在上递增。假设存在区间，使得函数在上的值域是，则，将问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根的问题，即在区间上是否存在两个不相等实根，令，，可得在区间上单调递增，不存在两个不等实根。
问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根， 即方程在区间上是否存在两个不相等实根， 令， ， 则, 设, 则， ， 故在上递增，学&科网 故，所以，故在区间上单调递增， 故方程在区间上不存在两个不相等实根， 综上，不存在区间使得函数在区间上的值域是． 点睛：（1）解决导数综合题时，函数的单调性、极值是解题的基础，在得到单调性的基础上经过分析可使得问题得以解决。
（2）对于探索性问题，在求解的过程中可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则说明假设不成立；
若无矛盾出现，则说明假设成立，从而说明所证明题成立。
例3．已知函数为常数 （1）当在处取得极值时，若关于x的方程 在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（2）若对任意的，总存在，使不等式 成立，求实数 的取值范围． 【思路引导】 （1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；
（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围． 当时，，所以在区间上单调递减，此时 所以不可能使恒成立，故必有，因为 若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求 若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是．学&科网 点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题．在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会． 【同步训练】 1．设函数， ，已知曲线在点处的切线与直线平行． （1）求的值；
（2）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；
如果不存在，请说明理由． 【思路引导】 （1）求出的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得；
（2）求出、的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在k=1． 又， 所以存在，使． 因为，所以当时， ，当时， ，学&科网 所以当时， 单调递增， 所以时，方程在内存在唯一的根． 点睛：本题考查函数的单调性、极值，同时考查零点存在定理和分段函数的最值，考查运算能力，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会． 2．已知函数． （1）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围． 【思路引导】 （1）由题意得导函数在其定义域内恒非负，再根据二次方程恒成立条件得实数的取值范围；
（2）将不等式有解问题，利用参变分离法转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值，即得实数的取值范围． 则原问题转化为在上至少存在一点，使得，即． ①时， ， ∵，∴， ， ，则，不符合条件；
②时， ， 由，可知，学&科网 则在单调递增， ，整理得． 综上所述， ． 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 3．已知函数，其中 （Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范围． 【思路引导】 （1）函数的单调区间与导数的符号相关，而函数的导数为，故可以根据的符号讨论导数的符号，从而得到函数的单调区间．（2）若不等式 在 上有解，那么在上， ．但在上的单调性不确定，故需分 三种情况讨论． （2）若在上存在，使得成立，则在上的最小值小于． ①当，即时，由（1）可知在上单调递增， 在上的最小值为，由，可得， ②当，即时，由（1）可知在上单调递减， 在上的最小值为，由，可得 ；
学&科网 ③当，即时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 在上的最小值为，因为，所以，即，即，不满足题意，舍去． 综上所述，实数的取值范围为． 点睛：函数的单调性往往需要考虑导数的符号，通常情况下，我们需要把导函数变形，找出能决定导数正负的核心代数式，然后就参数的取值范围分类讨论．又不等式的恒成立问题和有解问题也常常转化为函数的最值讨论，比如：“在 上有解”可以转化为“在 上，有”，而“在恒成立”可以转化为“在 上，有”． 4．已知函数． （1）若在上递增，求的取值范围；
（2）若，与至少一个成立，求的取值范围（参考数据：
）
【思路引导】 （1）由题意可得在， 上递增，又在上递增，故或，解得或，即为所求。（2）结合（1）中结论及条件可得， 。分，和两种情况可求得或． （2）由（1）知， 在上单调递减，在上单调递增 ∴， 又， ， ∴， 当，即时，显然成立；
学&科网 当，即时，可得或， ∴或 ∵， ∴， ∴或 综上或．学&科网 所以的取值范围为。
点睛：已知函数单调性求参数取值范围的方法 （1）若函数的单调区间容易求出，可转化为集合间的包含关系，在此基础上得到关于参数的不等式（组）求解。
（2）若函数的单调区间不易求出，可利用在所给区间上恒成立解决，解题时可根据分离参数的方法求解出参数的范围。
5．已知函数． 若，求函数的极值；
设函数，求函数的单调区间；
若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围． 【思路引导】 （1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号，确定极值（2）先求导数，求导函数零点，讨论与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性（3）正难则反，先求存在一点,使得成立时实数的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合（2）单调性可得实数的取值范围，最后取补集得结果 ，∴；
当时， 在上递减，在上递增 令，则 在递减， ， 无解， 即无解；
学&科网 综上：存在一点,使得成立，实数的取值范围为：
或． 所以不存在一点，使得成立，实数的取值范围为． 点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题． 6．已知函数 (为实常数)． (1)若,求曲线在处的切线方程; (2)讨论函数在上的单调性; (3)若存在,使得成立,求实数的取值范围． 【思路引导】 (1)求出切线的斜率， ，即可得出切线方程；
(2) [1,e]，分、三种情况讨论导数的符号，即可得出结论；
(3)分、三种情况讨论函数的单调性并求出最值,则易得结论． ⑶当时, 在上单调增, 的最小值为 当时, 在上单调减,在上单调增, 的最小值为．[来源:学,科,网Z,X,X,K] 因为学&科网 ． 当时, 在上单调减, 的最小值为,学&科网[来源:Z_xx_k.Com] ，综上, 7．已知，其中． （1）求函数的极大值点；
（2）当时，若在上至少存在一点，使成立，求的取值范围． 【思路引导】 （1）求导，对进行四类讨论，得到极大值的情况；
（2）在上至少存在一点，使成立，等价于当时， ，结合（1）的单调性情况，求，得到的取值范围． 8．已知函数（）
（1）若，求的极值；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【思路引导】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）问题转化为， 成立，设，根据函数的单调性求出a的范围即可． 试题解析：
（2）存在，使得成立， 等价于，（ ）成立 设 则 令，解得：
（舍），；
①当， 在递减 ∴ 令，解得：
学&科网 ②当时， 在递减，在递增 ∴与矛盾 综上， 9．已知函数，． （1）求函数的单调区间；
（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围． 【思路引导】 （1）函数求导，从而得单调区间；
（2）方程有实数根，即函数存在零点，分类讨论函数的单调性，从而得有零点时参数的范围． （2）由题得， ． 依题意，方程有实数根， 即函数存在零点． 又． 令，得． 当时，． 即函数在区间上单调递减， 而， ． 所以函数存在零点；
点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 10．已知函数，且直线是函数的一条切线． （1）求的值；
（2）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；
（3）已知方程有两个根，若，求证: ． 【思路引导】 （1）对函数求导， ，设直线与函数相切与点，根据导数的几何意义可得， ，解得，求出；
（2）对任意的 ，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用导数的方法分别求、的值域，即可求出的取值范围；
（3）根据题意得,两式相减得， ，所以，令，则，则，令，对求导，判断的单调，证明． (2) 由（1）得，所以，当， 时， ，所以在上单调递减，所以当， 时， ， ，当时， ，所以在上单调递增，所以当时， ，依题意得 ，所以，解得． (3) 依题意得,两式相减得，所以，方程可转化为
