利用因数分解巧解数谜问题
时间：2021-04-02 07:55:42 来源：达达文档网 本文已影响 人 
【摘要】本文介绍了用因数分解巧解数谜问题的两个例子.
【关键词】数谜；因数分解
数的魅力出奇大，使得数论在很早之前便成为数学家和学习数学的人所钟爱的学科，很多关于数字的游戏遂流传下来，一些上升为理论，一些则演变为考题.数谜是数学竞赛中长盛不衰的题材之一.
数字在生活中无处不在，很多数学家都表现出他们对数字的热爱.数学家哈代（G.H.Hardy）在去医院看望他的学生——印度数学家玛努金时，为了打开话题，哈代说：今天乘坐的出租车号码1729是一个无趣的数字.玛努金说：不，它是一个很有意义的数字，它是能用两种不同的方法表示成立方和的最小数.这个关于数字的小游戏，希望可以引起大家对数字的兴趣，对数字的研究.
数是所有平民百姓都能看得懂的东西，数字问题，题目大家都可以明白，但是解决数字问题的内涵却是非常大的，著名的费马猜想就是关于数字的问题.
数谜，是谜底为某些数字或数的谜，即数学问题以猜谜的形式出现，因此十分有趣，容易引起大家思考.一般解数迷问题会用到“穷举法”、“逐步推算法”、“解方程法”、“解不等式法”.本文介绍的是一种比较特殊的方法，对于一些特别的数，可以利用因数分解方法，为解决数谜问题带来极大的便利.
下面是“希望杯”竞赛中的一道题目.
例1 有两个两位数，它们的差是个位数字与十位数字相同的两位数，它们的积是个、十、百位上数字相同的三位数，求这两个两位数.
分析 一看到此题，设这两个两位数为x,y，则x+y=AA(AA代表个位与十位数字相同的两位数）,x×y=BBB,由于所求未知数是两位数，涉及数字少，大多数人会设这两个两位数分别为10a+b，10c+d，然后想办法求出a，b,c,d.这样做下去，运算容易出错，且不易求出a,b,c,d.如果换一个角度想一想，从等式x×y=BBB的右端出发，利用等式左边是乘法运算，等式右边BBB的个、十、百位数字相同这一特点，把BBB分解为B×111,进一步，要知道111又可以分解为3×37，这道题解题的突破口便出现了.下面详细写出解题过程.
解 设这两个两位数为x,y，则
x+y=AA，x×y=BBB=B×111=B×3×37.
∵37整除x×y，37是一个素数，x,y均为两位数，
故x,y中必有一个为37.
由于37×37>1000，
∴37必为两个数中较大的一个.
然后另一个两位数为3×B，对B进行试验，使37-3×B为一个各位数字相同的两位数，不难试出B=5.故这两个两位数分别为37,15.
例2 求一个是完全平方数的四位数，它的前两个数码和后两个数码分别相同.
分析 解这道题的突破口也是因数分解方法，学会把一些完全未知，但又规律的数字分解，需要一定的经验和对数的了解、熟悉.兼顾统筹，解起数字问题来才能得心应手.
解 四位的完全平方数必是一个两位数的平方，
设AB×AB=CCDD，CCDD=11×C0D，
∴11整除AB×AB，
∴11整除AB.
然后考察AB的可能性：44,55,66,77,88,99，便知AB为88.故这个完全平方数为7744.
小结 看到一些有重复数字的数，如BBB，CCDD，ABAB=AB×101这样的特殊数字，而题目中牵涉这些数字的等式有牵涉乘法运算的，不妨可以考虑一下因数分解，将为解题带来极大的便利.
数谜是一种有趣的数字游戏，可以锻炼各种数学思维，希望同学们在课余时间看看有关数谜的书，从中体会数字游戏的乐趣，将会获益良多.
【参考文献】
［1］［美］约翰•艾伦•保罗士.数盲——数学无知者的世界［M］.柳柏濂，译.上海：上海教育出版社，2005.
［2］柳柏濂，吴康.竞赛数学的原理和方法［M］.广州：广东教育出版社，2002.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
