不可小觑的点子图
时间：2021-01-08 20:00:06 来源：达达文档网 本文已影响 人 
唐明
[摘 要]针对不少教师对点子图弃而不用的现状，探究点子图在不同领域的作用，使教师清晰地认识到点子图在计算教学中的价值。通过“笔算两位数乘两位数”的课堂教学及后续思考，发现教学中借助点子图，有助于学生掌握算法、理解算理，培养学生的运算能力和推理能力。
[关键词]点子图;数形结合;推理;运算能力
[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）23-0048-02
在人教版教材三年級下册“笔算两位数乘两位数”中，新版教材首次引入点子图这一计算模型来帮助学生探索算法、理解算理。然而，大多数教师并没有对点子图予以重视，认为使用点子图是浪费时间、多此一举。这一现状引发了笔者对于点子图的关注。
一、点子图在笔算教学中发挥着怎样的作用？
对比新旧人教版教材这部分的内容（如图1），情境类似，但新版教材增加了用点子图解释算法的部分，这样编排的依据是该阶段学生的认知规律。三年级学生还需要有较多的动手操作和直观表象作为支撑。点子图可以使学生通过数形结合理解算理、掌握算法。如果没有点子图，学生只能借助教师的语言描述理解算法和算理，由于缺乏直观图式的辅助，学生可能表面上会计算，实际上并不完全理解算理。
教学”笔算两位数乘两位数”时，理解算理是难点。当学生发现不能直接计算时，教师适时引出点子图，启发学生利用点子图圈一圈、分一分、算一算，把未知的数学问题转化成已知的知识来探索。
例如，计算：23×13。
点子图在计算教学中起到沟通的作用。当学生不会算的时候，可以借助点子图探究计算方法;当学生会算了，却说不清、道不明的时候，可以借助点子图来解释自己为什么这样算。作为直观模型的点子图，让学生在计算的过程中眼中有“数”，脑中有“形”，数形结合、算理沟通，清晰构建出两位数乘两位数的竖式模型。
二、怎样在点子图上将算式表征和图形表征保持一致？
因为之前没有使用点子图的经验，有的学生对于点子图茫然无措，有的学生会写算式，但不会在点子图上表示出来，还有的学生点子图和算式表达的内容不一致。
北师大版教材“笔算两位数乘两位数”用两节课的时间让学生识图、用图，经历算法多样化的过程，这样安排时间是比较合理的。教学本课之前，教师可以让学生先在点子图上圈一圈（如图3），表示出加、减、乘、除的算式，明确算式中的每个数在点子图中的什么位置。然后，让学生尝试用点子图计算“14×12”。只要给学生思考的时间，他们的思维空间会非常开阔，这样得出的每一种方法都真实记录了学生的思维过程，展示了学生多样化的学习方式（如图4）。虽然学生计算的方法不完全相同，但都是依循“先分后合”的思路，这一点恰恰是乘法竖式计算的基本思路。
三、怎样挖掘点子图的更多价值？
张景中院士认为，计算和推理是相通的，计算要有方法，这方法里就体现了推理，即寓理于算的思想;计算是具体的推理，推理是抽象的计算。
那么，点子图的作用仅仅在“笔算两位数乘两位数”时昙花一现吗？单元练习出现了探究“两位数乘11”和“几十五自乘”的规律，先让学生通过具体计算发现积与乘数之间的关系，再介绍一些口诀帮助记忆，合情合理。但规律背后深层次的原理呢？计算活动中学生的高层次思维呢？还是需要借助点子图厘清推理的步骤和过程，引导学生掌握一定的推理方法，发展推理能力。
如，在学生概括、总结“两位数乘11”的规律时，可结合点子图帮助理解31×11的算理。如图5所示，“两头一拉”实际是30×10=300，即积的百位是3，个位1×1=1，则积的个位是1;“中间相加”是30×1+10×1=40，则积的十位是4。
又如，学生在计算15×15，25×25，35×35等算式后发现，积的后两位数都是25，但前面高位数的规律不好表述。教学时，教师可以将点子图抽象成矩形图（如图6），将15×15看成（10+5）×（10+5），学生就能清楚地看到积由4个部分构成。将其中5×10的矩形移到第一行，则第一行的三个部分从“形”上构成了一个长为10+5+5、宽为10的长方形，可以用20×10表示它的点子数。这样原来的大正方形点子图就转化成了两部分，上面的长方形是20×10，下面的小正方形是5×5。因此，“几十五自乘”的规律为：积的后两位数都是25，前面的高位数是乘数的十位数×（乘数的十位数+1）。基于数形结合，学生在理解规律背后的道理时有了“移动”“合并”的直观印象，明白了“为什么这样算”的问题，获得了正确、可靠的思维依据。
计算教学的价值不仅仅是让学生正确、熟练地运算，更重要的是让学生体会运算原理、推理的思想方法、规定算法的合理性等。点子图作为一种计算模型，具有形象性和概括性，其作用不可小觑。教师应充分挖掘此类素材，培养学生集计算、算理、算法和推理转化等多种数学思想方法于一体的综合能力。
（责编 李琪琦）
