提高留学生学习兴趣的离散数学实践教学探索

胡亚红 郑红波

摘  要：
离散数学内容丰富、概念多、定理多、抽象性强，加上很多留学生的数学基础比较薄弱、理解能力差，因此部分留学生学习兴趣低、学习困难。为此，提出对留学生离散数学的教学进行改革。改革的主要内容包括添加应用性教学内容、引入实践环节、建设题库和改革考核方式等。教学实践表明，这些举措有效地提高了留学生学习离散数学的兴趣、减轻了学习难度，培养了学生应用所学理论解决实际工程问题的能力。

关键词：
离散数学; 实践教学; 留学生; 学习兴趣

中图分类号：G642          文献标识码：A     文章编号：1006-8228（2020）03-73-04

Practical teaching of discrete mathematics for improving the learning

interest of international students

Hu Yahong， Zheng Hongbo

（College of Computer Science and Technology， Zhejiang University of Technology， Hangzhou， Zhejiang 310023， China）

Abstract：
There are many concepts and theorems in discrete mathematics， and it is rather abstract. The mathematical foundation and understanding ability of many international students are not good enough， so some of them have low interest in learning discrete math. In order to solve this problem， the teaching reform of discrete mathematics for foreign students is proposed. The main contents of the reform include adding practical teaching contents， introducing practical links， building question bank and introducing new assessment methods， etc. Teaching practice shows that the proposed method can improve the interest of foreign students in learning discrete mathematics and reduce their difficulty of learning effectively. At the same time， the students" ability to solve practical engineering problems using theories is cultivated.

Key words：
discrete mathematics; practical teaching; international student; learning interest

0 引言

離散数学是现代数学的重要分支，在计算机理论研究及软、硬件开发的各个领域都有着广泛的应用。作为一门重要的专业基础课，离散数学所提供的训练有益于学生抽象概括能力、逻辑思维能力、归纳构造能力和创新能力的提高以及学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。因此对于计算机大类的学生来说，学习离散数学具有极其重要的意义。

目前，我校招收的留学生数学基础普遍比较薄弱、理解能力差，而离散数学课程内容丰富，很多留学生反映这门课程定理多、概念多，而且抽象性极强。因此出现了部分学生学习困难、丧失学习兴趣的问题。针对这种情况，笔者进行了留学生离散数学实践教学改革，目标是从学生毕业要求出发，提高留学生学习离散数学的兴趣、加深学生对所学知识的理解、提高学生使用离散数学知识解决实际工程问题的能力。

实践教学改革主要包括应用性教学内容的添加、实践环节的引入、题库的建设和考核方式的改革等。下面逐一介绍各部分的工作。

1 应用性教学内容的添加

不少学生反映离散数学内容抽象枯燥，根本原因是目前授课过于注重理论介绍，而缺少理论联系实际的内容。因此在教学改革实施过程中，从以下两方面引入了应用性教学内容。

1.1 增加离散数学在社会各领域的应用

留学生普遍好奇心强，对应用型知识很感兴趣，非常希望了解学习了离散数学到底有什么用处，因此将离散数学在社会各个领域的应用介绍给他们，能够大大增强他们的学习热情。

案例：报警系统的设计

逻辑门电路是计算机硬件的基础，逻辑电路设计对学生而言很有新鲜感。因此在介绍命题逻辑最基本的概念之后引入逻辑电路的设计，这样的教学安排不但让学生能够了解所学知识的使用方法，还能及时复习前面的内容。具体有以下步骤。

⑴ 引入报警系统的逻辑电路设计问题

需要设计一个报警系统， 其功能需求如下：
在三个不同的位置安装有三个不同的控制面板。如果要启用报警系统，要求至少两个面板中的开关必须处于“打开”位置。如果少于两个开关是处于“打开”位置，系统将被禁用。

⑵ 需求的表示

将自然语言给出的报警系统进行形式化的表达能培养学生的数学建模能力。因此要求学生以表格的形式给出此系统的输入和输出，即给出三个开关的状态和报警器状态之间的关系。

⑶ 报警系统需求的二进制转换

要求学生将上一步得到的需求用离散数学中的离散量表示，这样很自然地将这一实际问题和离散数学联系了起来。可以用1表示开关“打开”和报警器“启用”状态，0则表示开关“关闭”和报警器“禁用”状态。

⑷ 基本逻辑门电路的引入

由于学生对于传统的电路相对熟悉，并联和串联的概念很清楚，因此利用熟悉的概念去接受新的逻辑门电路也就相对容易。因此首先介绍传统电路和逻辑与、或、非运算的联系，在此基础上，引入与门、或门和非门三种基本的逻辑门就很容易被学生接受了。

⑸ 得到电路的输入/输出表

从易到难，先介绍当逻辑电路已知时，如何得到它的输入/输出表。引导学生自主分析出电路的输入和输出的关系，并逐一计算每种输入对应的输出。再利用真值表的构成方法，帮助学生顺利画出逻辑电路的输入/输出表。

⑹ 生成布尔表达式，完成逻辑电路设计

从反方向引导学生思考，有了逻辑电路可以得到其对应的输入/输出表，那么如何根据电路的功能画出输入/输出表，并设计出对应的逻辑电路？这个问题就和案例开始时提出的问题相互呼应。这时介绍如何根据输入/输出表计算电路对应的布尔表达式，再由布尔表达式逐步画出电路图。

这样一个循序渐进的过程中，逻辑电路设计被分解为一个个相关的小问题。每个小问题对应着一个知识点，通过一个个小问题的解决，最终的报警系统电路设计也得以完成。学生在这个学习过程中，巩固了前面所学的合式公式的演算，也明白了公式化简的作用。学生们表示，这个应用的介绍很有趣，使他们明白了离散数学确实能解决实际问题，而不光是纸上谈兵，因而学习热情也提高了不少。

1.2 引入与离散数学相关的最新科研成果的介绍

离散数学是专业基础课，和它相关的科研成果曾出不穷。在教学实践中，笔者选择了一些较新颖有趣并且和课程内容紧密相关的研究成果介绍给学生。通过介绍这些最新科研成果，让学生了解到和离散数学相关的学科发展前沿，增强了其学习兴趣，培养了探索与创新精神。以下给出几个介绍给学生的研究案例。

⑴ 案例1：基于多色集合理论的医院工作流建模研究[1]

现在病人看病花费的时间主要用于排队等候和进行各种检查的过程中，使用数学模型描述医院的工作流对提高患者就医体验非常重要。文献[1]使用多色集合理论及其扩展对医院的工作流过程进行建模，并且结合Warshall算法对单个系统内工作流过程的多色图模型进行可达性验证。对多色集合理论和对应运算的介绍拓展了课内知识，有助于提高学生的数学建模能力。

⑵ 案例2：基于一阶逻辑的知识表示与自动提取[2]

近年来人工智能领域取得了很多新的研究成果，一阶逻辑是人工智能的理论基础。文献[2]解决的是在线辅导系统存在的问题，包括初等数学知识表示和文本知识分类和获取。介绍这篇论文，能够打开学生的眼界，对他们认识和了解一阶逻辑如何运用到科研实践中起到了良好的作用。

⑶ 案例3：基于最小生成树的遥感影像分割[3]

最小生成树是图论中重要的内容，文献[3]提出了一种基于最小生成树的遥感影像分割算法。算法首先根据像素间的相似性测度构建遥感影像的无向带权图，然后通过Prim算法生成遥感影像的最小生成树用于刻画影像的像素间相似性结构，并建立最小生成树的拓扑结构和分割模型。介绍这个案例不但强化了学生对最小生成树生成算法的理解，還帮助他们对遥感影像的处理产生一定的认知。

⑷ 案例4：基于图论的社交网络关键节点挖掘和推荐算法研究[4]

近年来社交网络发展非常迅猛，学生很喜欢使用社交网络与同伴进行交流和分享，因此介绍与社交网络相关的应用很能引起共鸣。文献[4]研究社交网络信息传播中主节点的选择和传播信息的选择问题，以更好地进行舆论引导与控制，同时更有效地为用户提供信息服务。通过粗浅的介绍这项研究，学生对于如何使用图论中的概念和方法解决社交网络的问题产生了极大的兴趣。

2 实践环节的引入

以往的离散数学教学以理论教学为主，对算法的介绍也停留在伪代码的层面上，造成一些学生对所学内容理解不深的问题。因此笔者增加了几个算法的实现环节，让学生将典型的算法编程实现。这个过程不但让学生加深了对离散数学知识的理解，还培养了他们的编程能力。

2.1 真值表的生成

给定一个合式公式，编程实现其对应真值表的输出。这个过程中，学生能够掌握真值表表头的获取方法，还能够在进行真值计算的过程中复习堆栈的设计和使用。

2.2 数组的运算

在介绍了数组的并、交、补运算后，笔者特别介绍了一种数组存储的数据结构，即用一个0/1字符串，保存数组的各个元素。这个实践要求学生用传统的结构和0/1字符串的形式完成数组的存储，并实现数组的并、交、补等运算。同时要求学生对比两种设计方式在存储和运行效率上的差异。学生通过自主进行程序实现和对实验结果的分析，对算法分析的基本思想也有更好的了解。

2.3 哈夫曼树生成算法

哈夫曼树在实际中有很多应用，是图论中非常重要的内容，需要学生掌握。在完成算法描述和运行结果的可视化展示后，要求学生自主完成算法的实现。在这一过程中，学生们对哈夫曼树的生成方法加深了理解，也有效提高了编程能力。

3 题库建设

在题库建设中，着重做了以下几方面的工作：①分析平时学生出错较多的题目，找出题目对应的知识点。针对这些学生学习薄弱的知识点，收集、设计题目。②题目分层次。因为留学生学习能力差异很大，因此对同一知识点，都根据难易程度来出一系列的题目，以供不同程度的学生使用。③每道题目配备详细的解答和分析。因为题目是提供给学生课后自主练习的，因此详细的题解能帮助学生找到自己解题过程中存在的问题，加深对知识点的理解。④自主设计综合性应用题目。比如笔者所在的学校风景优美，那么设计一个上下课从宿舍出发又回到宿舍，且不走重复道路的问题就很能吸引学生的兴趣。⑤集思广益，鼓励学生出题。现在的学生知识面广，接触的东西多，对问题的理解常常超出教师的想象。学生出的题有不少内容新颖、综合型强。学生在出题的过程中，需要全面了解知识点。给出题目标准答案的过程也是学生自身提高的过程。通过参与出题，学生被动接受知识转化为主动探索知识，学习兴趣得到了极大提高。

4 考核方式的改革

传统的离散数学考核方式包括作业评分和期末考试成绩。为了能够全方位地监督和管理学生的学习过程，对考核方式进行了一定的改革，现包括：

新的考核方式更注重于学生学习过程的监督，避免了学生到期末临时抱佛脚。留学生为了得到理想的成绩，积极参加课堂学习，及时复习，有不懂的问题会也及时和教师沟通。高质量完成作业的人数比以往增加了不少。

为了发挥学生的积极性和创造性，课程报告只是指定了一个大的范围，要求学生找出自己身边的离散数学应用，不限定具体的题目。学生在广泛收集资料基础上，完成报告的写作，不少学生提交了高质量的报告。例如使用欧拉图的知识为快递小哥规划送货路径;利用哈密顿图的知识安排会议代表的座位等等。报告的写作，不仅培养了学生应用理论解决实际问题的能力，也锻炼了资料收集和论文写作的能力，为日后科研素养的培养起到了积极的作用。

5 实践教学改革实施效果

本实践教学改革措施于2017/18学年第二学期和2018/19学年第二学期分别应用于计算机留学生1701班和1801班的离散数学教学实践中，取得了良好的效果。

⑴ 学生学习热情增加

学生反映课程内容充实、有趣，使他们变得更加严谨，逻辑思维能力有了一定的提高。学生学习热情很高，经常主动找教师进行问题的研讨。

⑵ 总体学习成绩提升

图1给出了16级、17级和18级学生学期总评分数的比较。这三年的授课内容一致，期末考试难度相当。16级和17级的平均成绩都不及格，18级的达到了68.3分。16级和17级两届学生的不及格率相近，16级有1个学生成绩优秀，但总体成绩偏低。17级学生总体水平高于16级学生，中等及良好学生比例相比16级有了较大幅度的提高。经过二年的教学实践，18级的教学效果有了显著的提高，不及格率从16级的35.9%下降到13.3%。

⑶ 学生应用理论解决实际问题的能力得到提高

离散数学学习的重要目的是培养学生的数学建模能力和应用理论解决实际问题的能力。通过教学改革的实施，学生们理论联系实际的能力大大增强。在课程报告中，不少同学运用理论巧妙地解决了身边的应用问题。

6 结束语

为了提高留学生学习离散数学的兴趣，减轻学习难度，本文开展了实践教学改革。主要包括：在授课中增加与离散数学相关的科学研究的介绍、增加离散数学应用的介绍、增设实践环节。教学实践表明，本教改方案的实施能够提升学生的学习兴趣和提高学习质量。

下一步教学改革将从以下几个方面展开。

⑴ 继续制作更多更好的实践案例，完成案例库的建设。

⑵ 继续跟踪科研前沿，找到更多更好的与离散数学教学相关的研究成果介绍给学生。

⑶ 学生错题本的实现。学生在完成题目的过程中难免犯错，而从错误中发现学习的薄弱环节是提高学习效率的有效手段。拟实现错题本，对学生每次作业或考试的错题进行管理，同时分析这些错题对应的知识点，主动为学生推送这些知识点对应的题目，帮助他们完成知识的内化。

参考文献（References）：

[1] 冉梅梅.基于多色集合理论的医院工作流建模研究[D].贵州大学硕士学位论文，2018.

[2] 王勇.基于一阶逻辑的知识表示与自动提取[D].电子科技大学硕士学位论文，2015.

[3] 王智敏，郭正胜.基于最小生成树的遥感影像分割[J].测绘与空间地理信息，2019.42（1）：150-153

[4] 鄭吉.基于图论的社交网络关键节点挖掘和推荐算法研究[D].江苏大学硕士学位论文，2018.