透视椭圆，策略探讨，教学思考
时间：2020-12-31 06:02:14 来源：达达文档网 本文已影响 人 
黄水连
[摘 要] 椭圆是一种较为特殊的图形，以其为基础命制的解析几何问题具有较强的综合性，在解法上也极为灵活，基于问题特点可以从不同的角度加以转化突破，例如利用定义、函数、对称性、几何关联来解析问题. 文章以上述四种解题策略为依托，开展椭圆问题的解法探究，提出相应的教学建议.
[关键词] 椭圆;策略;函数;定义;函数;几何
解析几何中的椭圆问题是高中数学的重难点问题，由于具有综合性强、灵活度高、计算过程复杂等特点，很容易使学生解析受阻. 实际上对于椭圆问题可以采用相应的解析策略来降低思维难度，简化过程，下面举例探析.
椭圆问题的策略探讨
策略1：回归定义
椭圆的定义可以揭示椭圆的本质属性，在学习椭圆时需要从其定义入手，掌握椭圆的基本特性，只有这样才能深刻理解椭圆的内容本质. 在解析问题时可以考虑使用椭圆的基本定义，利用其定义来转化问题，构建思路.
例1：线段AB的长度为dd≥ ，其两个端点A和B分别在椭圆 + =1（a>b>0）上移动，设点M为线段AB的中点，试求点M到椭圆右准线l的最短距离.
解析：设点F为椭圆的右焦点，分别过点A，M，B作右准线l的垂线，垂足分别为点A′，M′，B′，如图1所示，则就是求MM′的最小值. 可利用椭圆的定义对其进行转化，即MM′= = + = （AF+BF）≥ = ，当且仅当AB经过椭圆的焦点F时等号成立，此时点M到椭圆右准线l的最短距离为 .
总结：利用定义法来转化问题可以避免烦琐的运算过程，而在定义学习时需要立足几何特征，深刻理解定义的内涵，掌握定义转化问题的思路.
策略2：巧借函数
解析几何具有函数的特性，对于有些椭圆问题可以借用函数知识，利用函数的性质来分析，尤其是函数的单调性和最值. 例如分析取值问题时可以构建关于未知量的函数关系，利用函数单调性来确定取值.
例2：椭圆 + =1的左、右端点分别为A和B，椭圆的右焦点为点F，点P位于椭圆上，且在x轴的上方，PA⊥PF，试回答下列问题.
（1）试求点P的坐标;
（2）设点M是椭圆长轴AB上的一个动点，动点M到直线AP的距离为MB，试求椭圆上的点到点M距离的最小值.
解析：（1）略. （2）该问求两点之间距离的最小值，可以构建两点之间距离的函数，利用函数的性质来加以分析.AP的方程为x- y+6=0，设点M（m，0），则点M到AP的距离为 ， =m-6. 又知-6≤m≤6，可解得m=2. 设椭圆上动点的坐标为（x，y），该点到M的距离为d，则d2= x- +15，结合-6≤x≤6可知当x= 时，d可以取得最小值，且最小值为 ，即椭圆上的点到点M距离的最小值为 .
总结：上述是涉及动点的椭圆最值问题，最为简洁的方式就是设定点的坐标参数，构建关于参数的函數方程，利用函数性质来求解，该思路也是求解椭圆线段最值问题最为有效的方法策略，解析时需要关注参数的取值范围.
策略3：妙用对称
椭圆具有一定的对称美，是典型的对称图形，包括轴对称和中心对称. 在解析问题时可以从几何角度观察，利用椭圆的对称性来发掘结论，简化过程，提高解析效率.
例3：已知椭圆 +y2=1的左、右焦点分别为F1和F2，点A和B均位于椭圆上，如果 =5 ，试求点A的坐标.
解析：本题目求椭圆上点A的坐标，其核心条件是向量关系，可以延长直线AF1，与椭圆的交点为点B1，如图2所示.椭圆属于中心对称图形，由其对称性可知 = ，进而有 =5 ，则可将问题转化为直线与椭圆的相交问题.根据椭圆的焦半径公式可得F1A= ·x1+ ，F B = x2+ ，根据向量关系可得 x1+ =5· x2+ ，又知x1+5x2= -6 ，从而可解得x1=0，所以点A的坐标为（0，±1）.
总结：上述利用椭圆的对称性进行了线段关系转化，实际上还可以用于运算过程的简化. 而在学习时要对椭圆对称性产生深刻的理解，其对称性不仅体现在外表上，同样体现在性质特征上，甚至对应方程中.
策略4：几何关联
解析几何中的椭圆问题同样可以视为几何问题，也可以依托椭圆来构建相应的几何图形，因此在求解某些问题时可以利用几何性质、结论来突破求解.
例4：如图3所示，椭圆C的方程为 + =1，点M是椭圆上的一点，椭圆的两个焦点分别为F1和F2，以M，F1和F2构建△MF1F2，设三角形的内心为点I，连接MI，并将其延长，与F1F2的交于点N，试求 的值.
解析：本题目在椭圆中构建了相应的三角形，并给出了三角形的内心，求相关线段的长，需要利用相应的几何知识.设△MF1F2底边F1F2上的高为h，点I到x轴的距离就为△MF1F2内切圆的半径，可以设为r，由等面积法可知S△MF1F2=S△IF1F2+S△MF1I+S△MF2I，即 ·F F ·h= （F1F2+MF1+MF2）r，进而可得h= ·r，所以 = = = ，即 的值为 .
总结：上述在求解线段比值时利用了几何上的等面积法，利用面积关系得出了代数关系，实现了问题的求解. 对于涉及几何图形的问题，需要利用几何与函数之间的关联，利用几何与函数知识来对其简单转化.
椭圆问题的解析思考
解析几何中的椭圆问题是高中数学的重难点问题之一，上述是对其问题常用的解析方法和构建思路的剖析，同样适用于同类型解析几何问题，解题时需要灵活选用，巧妙转化，下面提出几点教学建议.
1. 立足基本定义，牢实基础知识
方法是辅助解题的工具，而定义和性质才是问题突破的核心，因此在椭圆问题的学习中需要立足基本定义，从椭圆的基础知识出发，逐步完善知识结构，形成系统的解题思路，这也是课堂教学的正确流程. 教学时需要教师引导学生深入理解定义、性质的内涵，使学生掌握利用定义思考问题的方法，逐步内化吸收，形成自我的知识储备.
2. 关注知识关联，拓展解题思维
椭圆问题的突破方法和转化策略是多样的，但实际上是对关联知识的有效利用，例如利用椭圆与函数的关联分析最值，利用椭圆与向量的联系转化问题等. 因此解析方法的学习需要从知识关联入手，把握知识的关联点，教学时可引导学生思考椭圆问题与前后知识的联系，以解析几何的内容特性为基础展开知识拓展，构建相应的知识体系. 而在考题教学中可以开展问题变式，一题多解，引导学生进行多角度思考问题，探索解题方法，提升学生思维的多样性.
3. 重视问题总结，发展数学思想
开展考题教学的关键是对问题进行总结思考，即完成问题探究后还需要对问题的结构特征、突破思路及方法进行系统的总结，反思优化点和拓展点，上述就是基于椭圆问题进行的策略探究. 从问题的突破过程来看，除了需要灵活利用关联知识和方法外，还需要结合相应的数学思想，例如方程思想、模型思想、化归转化、数形结合思想等，这些思想是解题思路构建的基础，也是解题的灵魂所在. 教学中需要结合具体的内容来剖析解题思想，逐步发展学生的数学思想，提升学生的整体能力.
